4 Toplamsallık ve Süreklilik
Ölçülebilir kümelerin bir σ-cebiri oluşturduğunu ve bu σ-cebirinin her aralığı içerdiğini biliyoruz. Bu bölümde dış ölçüyü ölçülebilir kümelere kısıtladığımızda kazandığımız asıl özelliği kanıtlıyoruz: ayrık ölçülebilir kümeler üzerinde dış ölçü artık yalnız alt toplamsal değil, tam anlamıyla toplamsaldır.
Bu toplamsallıktan iki kullanışlı sonuç çıkar: ölçünün artan ve azalan küme dizileri boyunca sürekliliği ve Borel–Cantelli lemması. Lemma, “sıfır ölçülü bir küme dışında” demenin kısa yolu olan hemen her yerde kavramını doğal olarak ortaya çıkarır.
4.1 Sayılabilir Toplamsallık
Önce iki küçük gözlemle başlayalım; ikisi de ölçülebilirlik tanımının doğrudan sonucudur. Ölçülebilir bir \(E\) kümesinin ölçüsü \(m(E) = m^*(E)\) dir (bkz. Tanım 2.8).
- Sonlu toplamsallık. \(E_1, \dots, E_n\) ayrık ve ölçülebilir ise \(m\big(\bigcup_{k=1}^n E_k\big) = \sum_{k=1}^n m(E_k)\) dir. Gerçekten, \(U_n = \bigcup_{k=1}^n E_k\) için Carathéodory koşulunu (Tanım 1.6) \(E_n\) kümesine ve test kümesi \(U_n\) ye uygularsak, ayrıklık sayesinde \(U_n \cap E_n = E_n\) ve \(U_n \setminus E_n = U_{n-1}\) olur; dolayısıyla \(m(U_n) = m(E_n) + m(U_{n-1})\) dir ve tümevarım sonucu verir.
- Çıkarma özelliği (excision property). \(A \subseteq B\) ölçülebilir ve \(m(A) < \infty\) ise \(m(B \setminus A) = m(B) - m(A)\) dır. Çünkü \(B = A \cup (B \setminus A)\) ayrık birleşimdir; sonlu toplamsallıktan \(m(B) = m(A) + m(B \setminus A)\) olur ve \(m(A)\) sonlu olduğundan çıkarılabilir.
Teorem 4.1 (Ölçünün Sayılabilir Toplamsallığı) Lebesgue ölçüsü sayılabilir toplamsaldır (countably additive): \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) ayrık ölçülebilir kümelerden oluşan bir topluluksa \[ m\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) = \sum_{k=1}^\infty m(E_k). \]
İspat
Birleşim ölçülebilirdir, çünkü ölçülebilir kümeler bir σ-cebiridir (Teorem 2.4). İki eşitsizliği ayrı ayrı gösteririz.
Adım 1 (\(\le\)). Dış ölçünün sayılabilir alt toplamsallığından (Teorem 1.3) \[ m\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) \le \sum_{k=1}^\infty m(E_k). \]
Adım 2 (\(\ge\)). Her \(n\) için \(\bigcup_{k=1}^n E_k \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty E_k\) olduğundan dış ölçünün monotonluğu ve sonlu toplamsallık \[ m\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) \ge m\Big(\bigcup_{k=1}^n E_k\Big) = \sum_{k=1}^n m(E_k) \] verir. Sol taraf \(n\) den bağımsızdır; \(n \to \infty\) için sağ taraf serinin toplamına gider ve istenen eşitsizlik çıkar.
İki adım birlikte eşitliği verir.
\(\blacksquare\)
Yani ayrık ölçülebilir parçalara bölünmüş bir kümenin ölçüsü, parçaların ölçülerinin toplamıdır; sayılabilir sonsuz sayıda parça olsa bile.
Bu sonuç, en baştan aradığımız küme fonksiyonunun gerçekten var olduğunu söyler.
Teorem 4.2 (Lebesgue Ölçüsünün Temel Özellikleri) Lebesgue ölçülebilir kümelerin \(\mathcal{M}\) σ-cebiri üzerinde tanımlı \(m\) küme fonksiyonu her aralığa uzunluğunu atar, öteleme değişmezdir ve sayılabilir toplamsaldır.
İspat
Her aralık ölçülebilirdir (Teorem 2.3) ve dış ölçüsü uzunluğudur (Teorem 1.1); dolayısıyla \(m(I) = \ell(I)\). Ölçülebilir \(E\) ve \(y \in \mathbb{R}\) için \(E + y\) ölçülebilirdir (Teorem 2.5) ve dış ölçünün öteleme değişmezliğinden (Teorem 1.2) \(m(E + y) = m^*(E + y)\) ile \(m^*(E) = m(E)\) eşit olur. Sayılabilir toplamsallık ise Teorem 4.1 ile kanıtlandı.
\(\blacksquare\)
4.2 Ölçünün Sürekliliği
Sayılabilir toplamsallık, iç içe geçen küme dizilerinde ölçünün limitle yer değiştirebileceğini söyler. Önce iç içe dizileri adlandıralım.
Tanım 4.1 (Artan ve Azalan Küme Toplulukları) Kümelerin \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) topluluğu her \(k\) için \(E_k \subseteq E_{k+1}\) ise artan (ascending), her \(k\) için \(E_{k+1} \subseteq E_k\) ise azalan (descending) adını alır.
Yani artan toplulukta kümeler büyüyerek birleşimlerine, azalan toplulukta küçülerek kesişimlerine yaklaşır.
Teorem 4.3 (Ölçünün Sürekliliği) (i) \(\{A_k\}_{k=1}^\infty\) ölçülebilir kümelerin artan bir topluluğuysa \[ m\Big(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\Big) = \lim_{k \to \infty} m(A_k). \tag{1} \]
(ii) \(\{B_k\}_{k=1}^\infty\) ölçülebilir kümelerin azalan bir topluluğu ve \(m(B_1) < \infty\) ise \[ m\Big(\bigcap_{k=1}^\infty B_k\Big) = \lim_{k \to \infty} m(B_k). \tag{2} \]
İspat
Monotonluktan \(m(A_k)\) artan, \(m(B_k)\) azalan bir dizidir; bu yüzden iki limit de \([0, \infty]\) içinde vardır.
(i) kısmı. Bir \(k\) için \(m(A_k) = \infty\) ise monotonluktan sonraki bütün \(m(A_j)\) ve birleşimin ölçüsü \(\infty\) olur; (1) iki tarafı da \(\infty\) olarak sağlanır. Bu yüzden her \(k\) için \(m(A_k) < \infty\) varsayalım. \(A_0 = \varnothing\) alıp her \(k \ge 1\) için \[ C_k = A_k \setminus A_{k-1} \] tanımlayalım. Topluluk artan olduğundan \(C_k\) ler ayrık, ölçülebilir ve \(\bigcup_{k=1}^\infty C_k = \bigcup_{k=1}^\infty A_k\) dir: her \(x \in \bigcup A_k\), ait olduğu ilk \(A_k\) nın \(C_k\) sına düşer.
Sayılabilir toplamsallıktan (Teorem 4.1) ve çıkarma özelliğinden (\(A_{k-1} \subseteq A_k\), \(m(A_{k-1}) < \infty\)) \[ \begin{aligned} m\Big(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\Big) &= \sum_{k=1}^\infty m(C_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \big[m(A_k) - m(A_{k-1})\big] \\[1mm] &= \lim_{n \to \infty} \big[m(A_n) - m(A_0)\big] = \lim_{n \to \infty} m(A_n) \end{aligned} \] bulunur; son adımda toplam iç içe sadeleşir ve \(m(A_0) = m(\varnothing) = 0\) dır.
(ii) kısmı. Her \(k\) için \(D_k = B_1 \setminus B_k\) tanımlayalım. \(\{B_k\}\) azalan olduğundan \(\{D_k\}\) ölçülebilir kümelerin artan bir topluluğudur ve \[ \bigcup_{k=1}^\infty D_k = B_1 \setminus \bigcap_{k=1}^\infty B_k \] dir. (i) kısmından \(m\big(\bigcup D_k\big) = \lim_{k} m(D_k)\) olur. \(B_k \subseteq B_1\) ve \(m(B_k) \le m(B_1) < \infty\) olduğundan çıkarma özelliği \(m(D_k) = m(B_1) - m(B_k)\) verir. Aynı özellik \(\bigcap B_k \subseteq B_1\) kümesine uygulanırsa \[ m(B_1) - m\Big(\bigcap_{k=1}^\infty B_k\Big) = \lim_{k \to \infty} \big[m(B_1) - m(B_k)\big] \] elde edilir. \(m(B_1)\) sonlu bir sayı olduğundan iki taraftan çıkarılabilir; bu da (2) dir.
\(\blacksquare\)
Yani ölçü, artan dizilerde birleşime, azalan dizilerde de (ilk kümenin ölçüsü sonlu olmak şartıyla) kesişime sürekli biçimde geçer. \(m(B_1) < \infty\) koşulunun atılamayacağı alıştırmalarda görülecek.
Örnek 4.1 (Azalan Aralıkların Kesişimi) \(B_k = [0, 1/k]\) için ölçünün sürekliliğini kullanarak \(m(\{0\})\) değerini bulun.
Çözüm
\(B_{k+1} \subseteq B_k\) olduğundan topluluk azalandır, \(m(B_1) = 1 < \infty\) dir ve \(\bigcap_{k=1}^\infty B_k = \{0\}\) dır. Ölçünün sürekliliğinin (Teorem 4.3) (ii) kısmından \[ m(\{0\}) = \lim_{k \to \infty} m(B_k) = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0. \] Bu, tek noktanın dış ölçüsünün sıfır olmasıyla uyumludur.
\(\blacksquare\)
4.3 Borel–Cantelli Lemması ve Hemen Her Yerde
Ölçüsü sıfır olan kümeler ölçü açısından görünmezdir. Bu yüzden bir özelliğin sıfır ölçülü bir küme dışında sağlanması çoğu zaman her yerde sağlanması kadar işe yarar.
Tanım 4.2 (Hemen Her Yerde) \(E\) ölçülebilir bir küme olsun. \(E\) nin noktaları hakkındaki bir özellik, \(m(E_0) = 0\) olan bir \(E_0 \subseteq E\) kümesi dışında, yani her \(x \in E \setminus E_0\) için sağlanıyorsa, bu özellik \(E\) üzerinde hemen her yerde (almost everywhere) sağlanır denir. Bu durumda “hemen her \(x \in E\) için” de denir.
Yani istisna noktalar olabilir, ama bunlar sıfır ölçülü bir kümeyi aşmaz. Örneğin \(\chi_{\mathbb{Q}} = 0 \ \text{h.h.y.}\) dir, çünkü \(\mathbb{Q}\) sayılabilir olduğundan ölçüsü sıfırdır.
Lemma 4.1 (Borel–Cantelli Lemması) \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) ölçülebilir kümelerin \(\sum_{k=1}^\infty m(E_k) < \infty\) koşulunu sağlayan sayılabilir bir topluluğu olsun. Bu durumda hemen her \(x \in \mathbb{R}\), \(E_k\) kümelerinin en fazla sonlu tanesine aittir.
İspat
Adım 1: Kötü noktalar kümesi. Sonsuz sayıda \(E_k\) ya ait noktaların kümesi \[ L = \bigcap_{n=1}^\infty \Big[\bigcup_{k=n}^\infty E_k\Big] \] dir: \(x \in L\) olması, her \(n\) için \(x\) in bir \(k \ge n\) ile \(E_k\) ya ait olması, yani \(x\) in sonsuz sayıda \(E_k\) da bulunması demektir. \(L\) ölçülebilirdir (Teorem 2.4). Göstermemiz gereken \(m(L) = 0\) dır.
Adım 2: Kuyruk kümeleri. \(F_n = \bigcup_{k=n}^\infty E_k\) olsun. Sayılabilir alt toplamsallıktan (Teorem 1.3) \[ m(F_n) \le \sum_{k=n}^\infty m(E_k) < \infty \] dir. Ayrıca \(F_{n+1} \subseteq F_n\), yani \(\{F_n\}\) azalandır ve \(m(F_1) < \infty\) dir.
Adım 3: Süreklilik. Ölçünün sürekliliğinin (Teorem 4.3) (ii) kısmından \[ m(L) = \lim_{n \to \infty} m(F_n) \le \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^\infty m(E_k) = 0 \] bulunur; son eşitlik, yakınsak bir serinin kuyruklarının sıfıra gitmesidir. Dolayısıyla \(m(L) = 0\) ve \(L\) dışındaki her nokta en fazla sonlu tane \(E_k\) ya aittir.
\(\blacksquare\)
Yani toplam ölçüsü sonlu olan bir küme dizisinde, sonsuz kez tekrar tekrar “yakalanan” noktalar ihmal edilebilecek kadar azdır.
Örnek 4.2 (Rasyonellere Hızlı Yaklaşım) \(\{q_k\}_{k=1}^\infty\) rasyonel sayıların bir sıralaması olsun. Hemen her \(x \in \mathbb{R}\) için \(|x - q_k| < 1/k^2\) eşitsizliğinin yalnız sonlu sayıda \(k\) için sağlandığını gösterin.
Çözüm
\(E_k = (q_k - 1/k^2,\ q_k + 1/k^2)\) açık aralıkları ölçülebilirdir ve \(m(E_k) = 2/k^2\) dir. Buna göre \[ \sum_{k=1}^\infty m(E_k) = 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{3} < \infty \] dur. Borel–Cantelli lemmasından (Lemma 4.1) hemen her \(x\) yalnız sonlu sayıda \(E_k\) ya aittir. \(x \in E_k\) ise tam olarak \(|x - q_k| < 1/k^2\) demek olduğundan istenen sonuç budur.
Oysa her \(E_k\) bir rasyonel sayıyı merkez alır ve rasyoneller \(\mathbb{R}\) de yoğundur; yani \(\bigcup_k E_k\) yoğun bir açık kümedir. Buna rağmen noktaların neredeyse hiçbiri bu aralıklara sonsuz kez düşmez.
\(\blacksquare\)
4.4 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar toplamsallığın ve sürekliliğin temel kullanımlarını pekiştirir.
Alıştırma 4.1 (Birleşim ve Kesişimin Ölçüsü) \(E_1\) ve \(E_2\) sonlu ölçülü ölçülebilir kümeler olsun. Aşağıdaki eşitliği gösterin: \[ m(E_1 \cup E_2) + m(E_1 \cap E_2) = m(E_1) + m(E_2). \]
Çözüm
Adım 1: Ayrık parçalar. \(E_1 \setminus E_2\), \(E_1 \cap E_2\) ve \(E_2 \setminus E_1\) kümeleri ölçülebilir (σ-cebiri özelliği, Teorem 2.4) ve ikişer ikişer ayrıktır. Ayrıca \[ E_1 \cup E_2 = (E_1 \setminus E_2) \cup (E_1 \cap E_2) \cup (E_2 \setminus E_1), \] \[ E_1 = (E_1 \setminus E_2) \cup (E_1 \cap E_2), \qquad E_2 = (E_2 \setminus E_1) \cup (E_1 \cap E_2) \] dir.
Adım 2: Toplamsallık. Sonlu toplamsallıktan (Teorem 4.1) \(a = m(E_1 \setminus E_2)\), \(c = m(E_1 \cap E_2)\), \(b = m(E_2 \setminus E_1)\) yazarsak \[ m(E_1 \cup E_2) = a + c + b, \qquad m(E_1) = a + c, \qquad m(E_2) = b + c \] olur. Bu sayılar \(E_1, E_2\) sonlu ölçülü olduğundan sonludur.
Adım 3: Sonuç. Buna göre \[ m(E_1 \cup E_2) + m(E_1 \cap E_2) = a + b + 2c = m(E_1) + m(E_2). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.2 (Süreklilikte Sonluluk Koşulu) Ölçünün sürekliliği teoreminin (ii) kısmındaki \(m(B_1) < \infty\) koşulunun atılamayacağını gösterin.
Çözüm
Koşul sağlanmadığında \(m\big(\bigcap_k B_k\big) = \lim_k m(B_k)\) eşitliğinin bozulduğu bir azalan topluluk vermek yeter. \(B_k = [k, \infty)\) alalım.
- Her \(B_k\) bir aralık olduğundan ölçülebilirdir ve \(B_{k+1} \subseteq B_k\) dir; topluluk azalandır.
- Her \(k\) için \(B_k\), uzunluğu \(n\) olan \([k, k+n]\) aralıklarını içerir; monotonluktan \(m(B_k) \ge n\) her \(n\) için, yani \(m(B_k) = \infty\) dur. Dolayısıyla \(\lim_{k} m(B_k) = \infty\).
- Hiçbir \(x\) her \(B_k\) da bulunamaz, çünkü \(k > x\) için \(x \notin B_k\) dır. Böylece \(\bigcap_{k=1}^\infty B_k = \varnothing\) ve ölçüsü \(0\) dır.
Sonuç olarak \[ m\Big(\bigcap_{k=1}^\infty B_k\Big) = 0 \ne \infty = \lim_{k \to \infty} m(B_k) \] olur. Burada eksik olan tek varsayım \(m(B_1) < \infty\) dur; demek ki bu koşul teoremden atılamaz.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.3 (Ayrık Ölçülebilir Kümelerle Kesişimin Dış Ölçüsü) \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) ayrık ölçülebilir kümelerin sayılabilir bir topluluğu olsun. Her \(A \subseteq \mathbb{R}\) için \[ m^*\Big(A \cap \bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) = \sum_{k=1}^\infty m^*(A \cap E_k) \] olduğunu kanıtlayın.
Çözüm
Adım 1: Sonlu durum. Her \(n\) için \[ m^*\Big(A \cap \bigcup_{k=1}^n E_k\Big) = \sum_{k=1}^n m^*(A \cap E_k) \] eşitliğini \(n\) üzerinden tümevarımla gösterelim. \(n = 1\) için açıktır. \(n - 1\) için doğru olsun ve \(U_n = \bigcup_{k=1}^n E_k\) diyelim. \(E_n\) ölçülebilir olduğundan Carathéodory koşulunu (Tanım 1.6) test kümesi \(A \cap U_n\) ile yazarız: \[ m^*(A \cap U_n) = m^*(A \cap U_n \cap E_n) + m^*(A \cap U_n \setminus E_n). \] Ayrıklıktan \(U_n \cap E_n = E_n\) ve \(U_n \setminus E_n = U_{n-1}\) dir. Böylece \[ m^*(A \cap U_n) = m^*(A \cap E_n) + m^*(A \cap U_{n-1}), \] ve tümevarım varsayımı sonlu durumu verir.
Adım 2: \(\ge\) eşitsizliği. Her \(n\) için \(A \cap U_n \subseteq A \cap \bigcup_{k=1}^\infty E_k\) olduğundan dış ölçünün monotonluğu ve sonlu durum \[ m^*\Big(A \cap \bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) \ge \sum_{k=1}^n m^*(A \cap E_k) \] verir. Sol taraf \(n\) den bağımsızdır; \(n \to \infty\) alınırsa sağ taraf serinin toplamına gider.
Adım 3: \(\le\) eşitsizliği. \[ A \cap \bigcup_{k=1}^\infty E_k = \bigcup_{k=1}^\infty (A \cap E_k) \] olduğundan sayılabilir alt toplamsallık (Teorem 1.3) \[ m^*\Big(A \cap \bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) \le \sum_{k=1}^\infty m^*(A \cap E_k) \] verir. İki eşitsizlik birlikte istenen eşitliktir.
\(A = \mathbb{R}\) özel durumu, ölçünün sayılabilir toplamsallığıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.4 (Sayılabilir Toplamsal Küme Fonksiyonunun Temel Özellikleri) \(\mathcal{M}'\), \(\mathbb{R}\) nin alt kümelerinin bir σ-cebiri; \(m' \colon \mathcal{M}' \to [0, \infty]\) sayılabilir toplamsal ve \(m'(\varnothing) = 0\) olan bir küme fonksiyonu olsun. \(m'\) nün sonlu toplamsal, monoton ve sayılabilir monoton olduğunu ve çıkarma özelliğine sahip olduğunu gösterin.
Çözüm
Aşağıda bütün kümeler \(\mathcal{M}'\) nün elemanıdır; σ-cebiri tümleme, sayılabilir birleşim ve dolayısıyla fark ile kesişim altında kapalı olduğundan kurulan her küme de \(\mathcal{M}'\) dadır.
Sonlu toplamsallık. \(E_1, \dots, E_n\) ayrık olsun. \(k > n\) için \(E_k = \varnothing\) alırsak \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) ayrık bir topluluk olur ve birleşimi \(\bigcup_{k=1}^n E_k\) dir. Sayılabilir toplamsallık ve \(m'(\varnothing) = 0\) ile \[ m'\Big(\bigcup_{k=1}^n E_k\Big) = \sum_{k=1}^n m'(E_k) + \sum_{k > n} m'(\varnothing) = \sum_{k=1}^n m'(E_k). \]
Monotonluk. \(A \subseteq B\) ise \(B = A \cup (B \setminus A)\) ayrık birleşimdir. Sonlu toplamsallıktan \[ m'(B) = m'(A) + m'(B \setminus A) \ge m'(A), \] çünkü \(m'(B \setminus A) \ge 0\) dır.
Çıkarma özelliği. \(A \subseteq B\) ve \(m'(A) < \infty\) ise yukarıdaki eşitlikten \(m'(A)\) sonlu olduğu için çıkarılabilir: \(m'(B \setminus A) = m'(B) - m'(A)\).
Sayılabilir monotonluk. \(E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty E_k\) olsun; \(m'(E) \le \sum_{k=1}^\infty m'(E_k)\) olduğunu gösterelim. Topluluğu ayrık hâle getirelim: \[ G_1 = E_1, \qquad G_k = E_k \setminus \bigcup_{j=1}^{k-1} E_j \quad (k \ge 2). \] \(G_k\) lar ayrıktır (bir nokta, ait olduğu ilk \(E_k\) nın \(G_k\) sındadır), \(G_k \subseteq E_k\) dır ve \(\bigcup_k G_k = \bigcup_k E_k\) dir. Monotonluk, sayılabilir toplamsallık ve yine monotonluk ile \[ m'(E) \le m'\Big(\bigcup_{k=1}^\infty G_k\Big) = \sum_{k=1}^\infty m'(G_k) \le \sum_{k=1}^\infty m'(E_k). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.5 (Sayılabilir Toplamsal Küme Fonksiyonunun Sürekliliği) \(\mathcal{M}'\), \(\mathbb{R}\) nin alt kümelerinin bir σ-cebiri; \(m' \colon \mathcal{M}' \to [0, \infty]\) sayılabilir toplamsal ve \(m'(\varnothing) = 0\) olan bir küme fonksiyonu olsun. \(m'\) nün Lebesgue ölçüsüyle aynı süreklilik özelliklerine sahip olduğunu gösterin.
Çözüm
Göstermemiz gereken, ölçünün sürekliliğindeki (Teorem 4.3) iki eşitliğin \(m'\) için de geçerli olmasıdır. O teoremin ispatı Lebesgue ölçüsünün yalnız şu özelliklerini kullanır: sayılabilir toplamsallık, monotonluk, çıkarma özelliği ve boş kümenin ölçüsünün sıfır olması. Bunların hepsi \(m'\) için vardır (Alıştırma 4.4). Adımları \(m'\) için yazalım.
Artan topluluk. \(\{A_k\} \subseteq \mathcal{M}'\) artan olsun. Bir \(k\) için \(m'(A_k) = \infty\) ise monotonluktan iki taraf da \(\infty\) dur. Aksi hâlde \(A_0 = \varnothing\) ve \(C_k = A_k \setminus A_{k-1}\) alalım. \(C_k\) lar \(\mathcal{M}'\) nün ayrık elemanlarıdır ve birleşimleri \(\bigcup_k A_k\) dır. Sayılabilir toplamsallık ve çıkarma özelliğinden \[ \begin{aligned} m'\Big(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\Big) &= \sum_{k=1}^\infty m'(C_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \big[m'(A_k) - m'(A_{k-1})\big] \\[1mm] &= \lim_{n \to \infty} \big[m'(A_n) - m'(\varnothing)\big] = \lim_{n \to \infty} m'(A_n). \end{aligned} \]
Azalan topluluk. \(\{B_k\} \subseteq \mathcal{M}'\) azalan ve \(m'(B_1) < \infty\) olsun. \(D_k = B_1 \setminus B_k\) artan bir topluluktur ve \(\bigcup_k D_k = B_1 \setminus \bigcap_k B_k\) dir. Monotonluktan her \(B_k\) ile \(\bigcap_k B_k\) sonlu ölçülüdür; çıkarma özelliği ve artan durum \[ m'(B_1) - m'\Big(\bigcap_{k=1}^\infty B_k\Big) = \lim_{k \to \infty} \big[m'(B_1) - m'(B_k)\big] \] verir. \(m'(B_1)\) sonlu olduğundan iki taraftan çıkarılır ve \(m'\big(\bigcap_k B_k\big) = \lim_k m'(B_k)\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.6 (Süreklilik ve Sayılabilir Toplamsallığın Denkliği) \(\mathcal{M}'\), \(\mathbb{R}\) nin alt kümelerinin bir σ-cebiri; \(m' \colon \mathcal{M}' \to [0, \infty]\), \(m'(\varnothing) = 0\) olan sonlu toplamsal bir küme fonksiyonu olsun. \(m'\) nün sayılabilir toplamsal olmasının, ölçünün sürekliliği teoremindeki iki süreklilik özelliğine sahip olmasına denk olduğunu gösterin.
Çözüm
Sayılabilir toplamsallık \(\Rightarrow\) süreklilik. \(m'\) sayılabilir toplamsal ise \(m'\) nün iki süreklilik özelliğine de sahip olduğu önceki alıştırmada (Alıştırma 4.5) gösterildi.
Süreklilik \(\Rightarrow\) sayılabilir toplamsallık. \(m'\) sonlu toplamsal olsun ve artan topluluklar için sürekli olsun (yalnız bu yarı kullanılacak). \(\{E_k\}_{k=1}^\infty \subseteq \mathcal{M}'\) ayrık bir topluluk olsun ve \[ A_n = \bigcup_{k=1}^n E_k \] diyelim. \(\{A_n\}\) artandır ve \(\bigcup_n A_n = \bigcup_k E_k\) dır. Süreklilik ve sonlu toplamsallıktan \[ \begin{aligned} m'\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) &= \lim_{n \to \infty} m'(A_n) \\[1mm] &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n m'(E_k) = \sum_{k=1}^\infty m'(E_k) \end{aligned} \] bulunur; son eşitlik, terimleri negatif olmayan bir serinin toplamının kısmi toplamların limiti olmasıdır. Demek ki \(m'\) sayılabilir toplamsaldır.
Böylece sonlu toplamsallık varsayımı altında sayılabilir toplamsallık ile süreklilik denktir. Lebesgue ölçüsü bunun özel bir durumudur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 4.7 (Arzelà Lemması) \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\), \([a, b]\) nin ölçülebilir alt kümelerinden oluşan bir topluluk olsun ve bir \(\delta > 0\) için her \(k\) da \(m(E_k) \ge \delta\) olsun. Sonsuz sayıda \(E_k\) ya ait bir \(x \in [a, b]\) bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Kuyruk kümeleri. Her \(n\) için \(F_n = \bigcup_{k=n}^\infty E_k\) olsun. \(F_n\) ölçülebilirdir, \(F_{n+1} \subseteq F_n\) dir ve \(F_n \subseteq [a, b]\) olduğundan \(m(F_1) \le b - a < \infty\) dur. Ayrıca \(E_n \subseteq F_n\) olduğundan monotonluk \(m(F_n) \ge m(E_n) \ge \delta\) verir.
Adım 2: Süreklilik. \(\{F_n\}\) azalan ve \(m(F_1)\) sonlu olduğundan ölçünün sürekliliğinin (Teorem 4.3) (ii) kısmı \[ m\Big(\bigcap_{n=1}^\infty F_n\Big) = \lim_{n \to \infty} m(F_n) \ge \delta > 0 \] verir. Pozitif ölçülü küme boş olamaz; bir \(x \in \bigcap_{n=1}^\infty F_n\) seçelim. \(x \in F_1 \subseteq [a, b]\) dir.
Adım 3: Sonsuz kez ait olma. Her \(n\) için \(x \in F_n\), yani \(x \in E_k\) olacak bir \(k \ge n\) vardır. \(x\) yalnız sonlu sayıda \(E_k\) ya ait olsaydı, bunların en büyük indisi \(N\) olmak üzere \(x \notin F_{N+1}\) olurdu; bu çelişkidir. Dolayısıyla \(x\) sonsuz sayıda \(E_k\) ya aittir.
Bu sonuç Borel–Cantelli lemmasının bir tür karşıtıdır: orada ölçüler toplamı sonlu olduğu için neredeyse hiçbir nokta sonsuz kez yakalanmaz, burada ölçüler aşağıdan sınırlı ve küme sınırlı olduğu için bazı noktalar sonsuz kez yakalanır.
\(\blacksquare\)
Ölçünün bu kadar iyi davranması, her kümenin ölçülebilir olup olmadığı sorusunu gündeme getirir. Sıradaki bölüm Ölçülemez Kümeler ve Vitali Kümesi, yanıtın olumsuz olduğunu gösteriyor.