11 Sınırlı Fonksiyonların İntegrali
Riemann integralinin zayıf noktasını Dirichlet fonksiyonunda gördük: Riemann integrallenebilir fonksiyonlardan oluşan düzgün sınırlı, artan bir dizi, Riemann integrallenebilir olmayan bir fonksiyona noktasal yakınsayabilir. Lebesgue integrali bu kusuru taşımaz.
Kuruluş Riemann integraline benzer, tek fark basamak fonksiyonlarının yerini basit fonksiyonların almasıdır. Önce sonlu destekli basit fonksiyonları integralleriz; sonra sınırlı bir fonksiyonu bunlarla alttan ve üstten sıkıştırırız. Bu bölüm boyunca bir fonksiyonun sonlu destekli olması, sonlu ölçülü bir kümenin tümleyeninde sıfır olması demektir (bkz. Noktasal Limitler ve Yaklaşım).
11.1 Basit Fonksiyonların İntegrali
Basit bir fonksiyon sonlu sayıda değer alır; her değeri, aldığı kümenin ölçüsüyle ağırlıklandırıp toplamak en doğal tanımdır.
Tanım 11.1 (Basit Fonksiyonun İntegrali) \(E\) ölçülebilir ve \(\psi \colon E \to \mathbb{R}\) sonlu destekli basit bir fonksiyon olsun (bkz. Tanım 8.4). \(\psi \equiv 0\) ise \(\int_E \psi = 0\) tanımlanır. Aksi hâlde \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\), \(\psi\) nin aldığı birbirinden farklı sıfırdan farklı değerler ve \(E_i = \psi^{-1}(\lambda_i)\) olmak üzere \[ \int_E \psi = \sum_{i=1}^n \lambda_i \, m(E_i) \] tanımlanır. Bu sayıya \(\psi\) nin \(E\) üzerindeki integrali denir; gerektiğinde \(\int_E \psi \, dm\) yazılır.
Yani integral, sıfırdan farklı her değerin “değer × taban ölçüsü” katkılarının toplamıdır. \(\psi\) sonlu destekli olduğundan her \(E_i\) sonlu ölçülü bir kümenin içindedir; bu yüzden her \(m(E_i)\) sonludur ve toplam anlamlıdır. Özel olarak sonlu ölçülü ölçülebilir \(A \subseteq E\) için \(\int_E \chi_A = m(A)\) dır.
Tanımda değer kümeleri kullanıldı; ama bir basit fonksiyonu yazmanın başka yolları da vardır. Aşağıdaki lemma, hangi ayrık yazılış seçilirse seçilsin aynı sonucun çıktığını söyler.
Lemma 11.1 (Ayrık Yazılıştan Bağımsızlık) \(A_1, \dots, A_m\), \(E\) nin sonlu ölçülü, ikişer ikişer ayrık ölçülebilir alt kümeleri ve \(a_1, \dots, a_m \in \mathbb{R}\) olsun. \(\eta = \sum_{j=1}^m a_j \chi_{A_j}\) ise \[ \int_E \eta = \sum_{j=1}^m a_j \, m(A_j). \]
İspat
\(\eta\), \(\bigcup_j A_j\) dışında sıfır olduğundan sonlu destekli ve basittir. \(\eta \equiv 0\) ise her \(a_j \ne 0\) için \(A_j = \varnothing\) olur ve iki taraf da sıfırdır. Aksi hâlde \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\), \(\eta\) nin sıfırdan farklı farklı değerleri ve \(E_i = \eta^{-1}(\lambda_i)\) olsun.
Adım 1: Kümelerin parçalanması. \(A_j\) ler ayrık olduğundan \(A_j\) üzerinde \(\eta = a_j\) dir. Buna göre \(E_i \cap A_j \ne \varnothing\) ise \(a_j = \lambda_i\) olur. Ayrıca:
- \(a_j \ne 0\) ise \(\eta\) nin \(A_j\) üzerindeki değeri bazı \(\lambda_i\) ye eşittir; yani \(A_j\), ayrık \(E_i \cap A_j\) (\(1 \le i \le n\)) kümelerinin birleşimidir.
- \(\eta\), \(\bigcup_j A_j\) dışında sıfırdır; yani her \(E_i\), ayrık \(E_i \cap A_j\) (\(1 \le j \le m\)) kümelerinin birleşimidir.
Adım 2: Toplamların yeniden düzenlenmesi. Ölçünün sonlu toplamsallığını (Teorem 4.1) iki kez kullanırız. \(a_j = 0\) olan terimler sıfır katkı verir, \(a_j \ne 0\) olanlar için \[ a_j \, m(A_j) = \sum_{i=1}^n a_j \, m(E_i \cap A_j) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \, m(E_i \cap A_j) \] dir; son eşitlikte \(E_i \cap A_j \ne \varnothing\) olan terimlerde \(a_j = \lambda_i\) olduğunu kullandık. \(a_j = 0\) olan \(j\) ler için \(E_i \cap A_j = \varnothing\) dir (çünkü \(\lambda_i \ne 0\)), yani sağdaki toplam bu \(j\) ler için de sıfırdır. Toplayıp sırayı değiştirirsek \[ \begin{aligned} \sum_{j=1}^m a_j \, m(A_j) &= \sum_{i=1}^n \lambda_i \sum_{j=1}^m m(E_i \cap A_j) \\[1mm] &= \sum_{i=1}^n \lambda_i \, m(E_i) = \int_E \eta. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Bu lemma doğrusallığın anahtarıdır: iki basit fonksiyonu, ikisinin de sabit olduğu ortak parçalar üzerinde yazmak yeter.
Teorem 11.1 (Basit Fonksiyonlarda Doğrusallık) \(\varphi, \psi \colon E \to \mathbb{R}\) sonlu destekli basit fonksiyonlarsa her \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) için \[ \int_E (\alpha\varphi + \beta\psi) = \alpha \int_E \varphi + \beta \int_E \psi. \]
İspat
Adım 1: Ortak parçalar. \(\varphi\) nin değerleri \(a\), \(\psi\) nin değerleri \(b\) ile gösterilsin. İkisi birden sıfır olmayan her \((a, b)\) değer çifti için \[ A_{ab} = \varphi^{-1}(a) \cap \psi^{-1}(b) \] diyelim. Bu sonlu sayıda küme ölçülebilir ve ikişer ikişer ayrıktır. Her biri \(\{\varphi \ne 0\} \cup \{\psi \ne 0\}\) içinde kaldığından sonlu ölçülüdür. \(\bigcup A_{ab}\) dışında \(\varphi\) ile \(\psi\) nin ikisi de sıfırdır.
Adım 2: Lemmanın uygulanması. Buna göre \(E\) üzerinde \[ \begin{aligned} \varphi &= \sum a\,\chi_{A_{ab}}, \qquad \psi = \sum b\,\chi_{A_{ab}}, \\[1mm] \alpha\varphi + \beta\psi &= \sum (\alpha a + \beta b)\,\chi_{A_{ab}} \end{aligned} \] dir. \(\alpha\varphi + \beta\psi\) de sonlu destekli basittir. Lemma 11.1 üç yazılışa da uygulanırsa \[ \begin{aligned} \int_E (\alpha\varphi + \beta\psi) &= \sum (\alpha a + \beta b)\, m(A_{ab}) \\[1mm] &= \alpha \int_E \varphi + \beta \int_E \psi. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Doğrusallıktan iki önemli özellik hemen çıkar. \(A \subseteq E\) ölçülebilir ise \(\int_A \psi\), \(\psi\) nin \(A\) ya kısıtlanışının integralidir; \(\psi|_A\) ile \(\psi\chi_A\) nın sıfırdan farklı değer kümeleri aynı olduğundan \(\int_A \psi = \int_E \psi \chi_A\) dır.
Önerme 11.1 (Basit Fonksiyonlarda Monotonluk ve Toplamsallık) \(\varphi, \psi \colon E \to \mathbb{R}\) sonlu destekli basit fonksiyonlar olsun.
\(E\) üzerinde \(\varphi \le \psi\) ise \(\int_E \varphi \le \int_E \psi\) dir.
\(A, B \subseteq E\) ayrık ve ölçülebilir ise \(\int_{A \cup B} \varphi = \int_A \varphi + \int_B \varphi\) dir.
İspat
\(\psi - \varphi\) negatif olmayan, sonlu destekli basit bir fonksiyondur; sıfırdan farklı değerleri pozitif olduğundan tanım gereği integrali \(\ge 0\) dır. Doğrusallıktan (Teorem 11.1) \[ \int_E \psi - \int_E \varphi = \int_E (\psi - \varphi) \ge 0. \]
\(A\) ile \(B\) ayrık olduğundan \(\varphi\chi_{A \cup B} = \varphi\chi_A + \varphi\chi_B\) dir. Kısıtlama gözlemi ve doğrusallıkla \[ \int_{A \cup B} \varphi = \int_E \varphi\chi_{A \cup B} = \int_E \varphi\chi_A + \int_E \varphi\chi_B = \int_A \varphi + \int_B \varphi. \]
\(\blacksquare\)
11.2 Sınırlı Fonksiyonların Lebesgue İntegrali
Sınırlı bir fonksiyonu, Darboux’nun basamak fonksiyonlarıyla yaptığı gibi, bu kez basit fonksiyonlarla alttan ve üstten yaklaşırız.
Tanım 11.2 (Sınırlı Fonksiyonun Lebesgue İntegrali) \(E\) ölçülebilir ve \(f \colon E \to \mathbb{R}\) sınırlı olsun. Aşağıda \(\varphi\) ve \(\psi\), \(E\) üzerindeki sonlu destekli basit fonksiyonlar üzerinde değişir. \[ \underline{I}_E(f) = \sup_{\varphi \le f} \int_E \varphi, \qquad \overline{I}_E(f) = \inf_{\psi \ge f} \int_E \psi \] sayılarına \(f\) nin alt ve üst Lebesgue integrali denir. \(\underline{I}_E(f) = \overline{I}_E(f)\) ise \(f\) ye \(E\) üzerinde Lebesgue integrallenebilir ya da kısaca integrallenebilir denir; ortak değer \(f\) nin Lebesgue integralidir ve \(\int_E f\) ya da \(\int_E f \, dm\) ile gösterilir.
Yani \(f\), altındaki basit fonksiyonların integrallerinin en iyisiyle üstündekilerin en iyisi çakışınca integrallenebilirdir. \(\varphi \le f \le \psi\) ise Önerme 11.1 ile \(\int_E \varphi \le \int_E \psi\) olduğundan \(\underline{I}_E(f) \le \overline{I}_E(f)\) dir. Genel durumda bu supremum ve infimum \(\overline{\mathbb{R}}\) de alınır (\(m(E) = \infty\) ise bir yaklaşım kümesi boş kalabilir; ör. \(E = \mathbb{R}\), \(f \equiv 1\) için \(f\) nin üstünde sonlu destekli basit fonksiyon yoktur). \(f\) sonlu destekliyse bu sorun çıkmaz: \(f\) nin dışında sıfır olduğu sonlu ölçülü bir \(E_0\) ve \(|f| \le M\) için \(-M\chi_{E_0} \le f \le M\chi_{E_0}\) olduğundan \[ -M\,m(E_0) \le \underline{I}_E(f) \le \overline{I}_E(f) \le M\,m(E_0) \] olur. Bu bölümde integrallenebilirlik yalnız böyle fonksiyonlar için kullanılır. Sonlu destekli basit bir \(\psi\) kendi kendisinin alt ve üst yaklaşımı olduğundan integrallenebilirdir ve bu tanım Tanım 11.1 ile aynı değeri verir.
Bir fonksiyonun sıfır olduğu yer integrale katkı vermez. Aşağıdaki önerme, integrali fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu kısmı içeren herhangi bir kümeye taşımamıza izin verir; ispatlarda “\(m(E) < \infty\) varsayabiliriz” dememizin gerekçesi budur.
Önerme 11.2 (Desteğe İndirgeme) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) sınırlı, \(E_0 \subseteq E\) ölçülebilir ve \(\{x \in E : f(x) \ne 0\} \subseteq E_0\) olsun. \(f\) nin \(E\) üzerinde integrallenebilir olması için gerek ve yeter koşul \(E_0\) üzerinde integrallenebilir olmasıdır; bu durumda \[ \int_E f = \int_{E_0} f. \]
İspat
Üst integrallerin eşit olduğunu gösterelim; alt integraller için ispat aynıdır (eşitsizlikler ters döner).
Adım 1 (\(\overline{I}_{E_0}(f) \le \overline{I}_E(f)\)). \(\psi \ge f\), \(E\) üzerinde sonlu destekli basit olsun. \(E \setminus E_0\) üzerinde \(f = 0\) olduğundan orada \(\psi \ge 0\), yani \(\psi\chi_{E \setminus E_0} \ge 0\) dır. \(\psi|_{E_0}\), \(E_0\) üzerinde \(f\) nin üstünde kalan sonlu destekli basit bir fonksiyondur ve Önerme 11.1 ile \[ \int_{E_0} \psi = \int_E \psi - \int_{E \setminus E_0} \psi \le \int_E \psi. \] \(\psi\) üzerinden infimum alınırsa istenen çıkar.
Adım 2 (\(\overline{I}_E(f) \le \overline{I}_{E_0}(f)\)). \(\psi_0 \ge f\), \(E_0\) üzerinde sonlu destekli basit olsun. \(\psi_0\) ı \(E \setminus E_0\) üzerinde \(0\) olarak genişletelim; elde edilen \(\tilde\psi\), \(E\) üzerinde sonlu destekli basittir, \(f\) orada sıfır olduğundan \(\tilde\psi \ge f\) dir ve sıfırdan farklı değer kümeleri \(\psi_0\) ınkilerle aynı olduğundan \(\int_E \tilde\psi = \int_{E_0} \psi_0\) dır. İnfimum alınırsa istenen çıkar.
İki adımdan \(\overline{I}_E(f) = \overline{I}_{E_0}(f)\) ve aynı biçimde \(\underline{I}_E(f) = \underline{I}_{E_0}(f)\) olur; bu da iddianın ikisini birden verir.
\(\blacksquare\)
Özel olarak \(f\) sonlu destekliyse, \(f\) nin dışında sıfır olduğu sonlu ölçülü bir \(E_0\) alıp \(E\) yerine \(E_0\) üzerinde çalışabiliriz.
Artık asıl soruya gelebiliriz: hangi sınırlı fonksiyonlar integrallenebilir? Yanıt: sonlu destekli ölçülebilir olanların hepsi.
Teorem 11.2 (Sınırlı Ölçülebilir Fonksiyonların İntegrallenebilirliği) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilir ise \(E\) üzerinde integrallenebilirdir.
İspat
Önerme 11.2 ile \(m(E) < \infty\) varsayabiliriz. \(n \in \mathbb{N}\) verilsin. \(f\) sınırlı ve ölçülebilir olduğundan Basit Yaklaşım Lemmasına (Lemma 8.1) göre \(E\) üzerinde \[ \varphi_n \le f \le \psi_n, \qquad 0 \le \psi_n - \varphi_n \le \tfrac{1}{n} \] olan basit \(\varphi_n, \psi_n\) vardır; \(m(E) < \infty\) olduğundan bunlar sonlu destekli basittir. \(\psi_n - \varphi_n \le \frac{1}{n}\chi_E\) olduğundan Teorem 11.1 ve Önerme 11.1 ile \[ 0 \le \overline{I}_E(f) - \underline{I}_E(f) \le \int_E \psi_n - \int_E \varphi_n = \int_E (\psi_n - \varphi_n) \le \frac{m(E)}{n}. \] \(n\) rastgele olduğundan ve \(m(E)\) sonlu olduğundan \(\overline{I}_E(f) = \underline{I}_E(f)\) olur.
\(\blacksquare\)
Tersi de doğrudur: sınırlı, sonlu destekli bir fonksiyon ancak ve ancak ölçülebilirse Lebesgue integrallenebilirdir. Bu bölümde bu yöne ihtiyacımız olmayacak.
11.3 Doğrusallık ve Monotonluk
Basit fonksiyonlar için elde ettiğimiz üç özellik, alttan ve üstten sıkıştırma sayesinde sınırlı ölçülebilir fonksiyonlara aynen taşınır.
Teorem 11.3 (İntegralin Doğrusallığı ve Monotonluğu) \(f, g \colon E \to \mathbb{R}\) sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilir olsun.
Doğrusallık. Her \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) için \(\int_E (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_E f + \beta \int_E g\).
Monotonluk. \(E\) üzerinde \(f \le g\) ise \(\int_E f \le \int_E g\).
Tanım kümesi üzerinde toplamsallık. \(A, B \subseteq E\) ayrık ve ölçülebilir ise \(\int_{A \cup B} f = \int_A f + \int_B f\).
İspat
Sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilir fonksiyonların doğrusal birleşimleri ve ölçülebilir kümelerin karakteristik fonksiyonlarıyla çarpımları yine böyledir (Teorem 7.4); dolayısıyla aşağıda geçen bütün fonksiyonlar Teorem 11.2 ile integrallenebilirdir. \(f\) ve \(g\) nin dışında sıfır olduğu sonlu ölçülü kümelerin birleşimini \(E_0\) alıp Önerme 11.2 uygularsak \(m(E) < \infty\) varsayabiliriz.
Adım 1: Toplam. \(n \in \mathbb{N}\) için Basit Yaklaşım Lemmasıyla (Lemma 8.1) \(E\) üzerinde \[ \varphi_n \le f \le \psi_n, \qquad \bar\varphi_n \le g \le \bar\psi_n \] ve \(0 \le \psi_n - \varphi_n \le \frac1n\), \(0 \le \bar\psi_n - \bar\varphi_n \le \frac1n\) olan basit fonksiyonlar seçelim. İntegralin tanımından \(\int_E \varphi_n \le \int_E f \le \int_E \psi_n\) ve \(g\) için benzeri geçerlidir; toplarsak ve Teorem 11.1 kullanırsak \[ \int_E (\varphi_n + \bar\varphi_n) \le \int_E f + \int_E g \le \int_E (\psi_n + \bar\psi_n). \] Öte yandan \(\varphi_n + \bar\varphi_n \le f + g \le \psi_n + \bar\psi_n\) olduğundan, yine tanımdan, \(\int_E (f+g)\) de aynı iki sayı arasındadır. Bu aralığın uzunluğu \[ \int_E (\psi_n - \varphi_n) + \int_E (\bar\psi_n - \bar\varphi_n) \le \frac{2\,m(E)}{n} \] olduğundan \[ \Big|\int_E (f+g) - \int_E f - \int_E g\Big| \le \frac{2m(E)}{n} \] bulunur. \(n \to \infty\) ile \(\int_E (f+g) = \int_E f + \int_E g\).
Adım 2: Skalerle çarpım. \(\alpha > 0\) ise \(\psi \ge f \iff \alpha\psi \ge \alpha f\) ve \(\int_E \alpha\psi = \alpha \int_E \psi\) dir (Teorem 11.1); dolayısıyla \(\overline{I}_E(\alpha f) = \alpha\, \overline{I}_E(f)\), yani \(\int_E \alpha f = \alpha \int_E f\). \(\alpha < 0\) ise \(\psi \ge f \iff \alpha\psi \le \alpha f\) olduğundan \[ \underline{I}_E(\alpha f) = \sup_{\psi \ge f} \int_E \alpha\psi = \alpha \inf_{\psi \ge f} \int_E \psi = \alpha \int_E f. \] \(\alpha = 0\) durumu açıktır; iki fonksiyon da sıfırdır. Adım 1 ile birleşince (i) çıkar.
Adım 3: Monotonluk. \(h = g - f \ge 0\) ise sıfır fonksiyonu \(h\) nin altında kalan basit bir fonksiyon olduğundan \(\int_E h = \underline{I}_E(h) \ge 0\) dır. (i) ile \(\int_E g - \int_E f = \int_E h \ge 0\).
Adım 4: Toplamsallık. Ölçülebilir \(A \subseteq E\) için \(f\chi_A\), \(A\) dışında sıfırdır ve \(A\) üzerinde \(f\) ile çakışır; Önerme 11.2 ile \(\int_E f\chi_A = \int_A f\). \(A, B\) ayrık olduğundan \(f\chi_{A \cup B} = f\chi_A + f\chi_B\); (i) ile \[ \int_{A \cup B} f = \int_E f\chi_{A \cup B} = \int_E f\chi_A + \int_E f\chi_B = \int_A f + \int_B f. \]
\(\blacksquare\)
Monotonluğun sık kullanılan bir biçimi: \(m(E) < \infty\) ve \(E\) üzerinde \(|f| \le M\) ise \(\big|\int_E f\big| \le M\, m(E)\) dır, çünkü \(-M\chi_E \le f \le M\chi_E\).
Sonuç 11.1 (İntegralin Mutlak Değeri) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilir ise \[ \Big| \int_E f \Big| \le \int_E |f|. \]
İspat
\(|f|\) de sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilirdir (\(\{|f| > c\}\), \(c \ge 0\) için \(\{f > c\} \cup \{f < -c\}\), \(c < 0\) için \(E\) dir). \(E\) üzerinde \(-|f| \le f \le |f|\) olduğundan Teorem 11.3 (ii) ve (i) ile \[ -\int_E |f| \le \int_E f \le \int_E |f|. \]
\(\blacksquare\)
11.4 Riemann İntegraliyle Karşılaştırma
Yeni integral eskisini genişletir: Riemann integrallenebilir her fonksiyon Lebesgue integrallenebilirdir ve iki integral aynı sayıyı verir. Kilit gözlem, Darboux toplamlarının birer basit fonksiyonun integrali olmasıdır.
Lemma 11.2 (Darboux Toplamları Basit Fonksiyonların İntegralidir) \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı ve \(P = \{x_0 < x_1 < \dots < x_n\}\), \([a, b]\) nin bir bölüntüsü olsun. \(m_i\) ve \(M_i\), \(f\) nin \([x_{i-1}, x_i]\) üzerindeki infimum ve supremumu olmak üzere \[ \varphi_P = \sum_{i=1}^n m_i \chi_{(x_{i-1}, x_i)} + \sum_{k=0}^n f(x_k)\chi_{\{x_k\}} \] ve \(\psi_P\) de \(m_i\) yerine \(M_i\) yazılarak tanımlansın. \(\varphi_P\) ve \(\psi_P\) basittir, \(\varphi_P \le f \le \psi_P\) dir ve \[ \int_{[a,b]} \varphi_P = L(f, P), \qquad \int_{[a,b]} \psi_P = U(f, P). \]
İspat
Açık aralıklar ile tek noktalı kümeler ölçülebilir ve ikişer ikişer ayrıktır; birleşimleri \([a, b]\) dir. Dolayısıyla \(\varphi_P\) sonlu sayıda değer alan, ölçülebilir, basit bir fonksiyondur ve \(m([a,b]) < \infty\) olduğundan sonlu desteklidir. Açık aralıklarda \(m_i \le f\), bölüntü noktalarında eşitlik vardır; yani \(\varphi_P \le f\). Nokta kümelerinin ölçüsü \(0\), \((x_{i-1}, x_i)\) ninki \(x_i - x_{i-1}\) olduğundan Lemma 11.1 \[ \int_{[a,b]} \varphi_P = \sum_{i=1}^n m_i (x_i - x_{i-1}) = L(f, P) \] verir. \(\psi_P\) için aynı hesap \(U(f, P)\) yi verir.
\(\blacksquare\)
Teorem 11.4 (Riemann İntegrallenebilir Fonksiyonların Lebesgue İntegrali) \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı ve Riemann integrallenebilir ise Lebesgue integrallenebilirdir ve \[ \int_{[a,b]} f = \int_a^b f(x)\,dx. \]
İspat
Her \(P\) bölüntüsü için Lemma 11.2 ve alt, üst Lebesgue integrallerinin tanımından \[ \begin{aligned} L(f, P) &= \int_{[a,b]} \varphi_P \le \underline{I}_{[a,b]}(f) \\[1mm] &\le \overline{I}_{[a,b]}(f) \le \int_{[a,b]} \psi_P = U(f, P). \end{aligned} \] Soldan \(P\) üzerinden supremum, sağdan infimum alınırsa \[ \sup_P L(f, P) \le \underline{I}_{[a,b]}(f) \le \overline{I}_{[a,b]}(f) \le \inf_P U(f, P). \] \(f\) Riemann integrallenebilir olduğundan (Tanım 10.4) en dıştaki iki sayı eşit ve Riemann integraline eşittir. Aradaki bütün eşitsizlikler eşitlik olur.
\(\blacksquare\)
Sınırlı Yakınsaklık Teoremini Riemann integraline uygulayabilmek için bir adım daha gerekir: Riemann integrallenebilir fonksiyonlar ölçülebilirdir.
Lemma 11.3 (Riemann İntegrallenebilir Fonksiyonların Ölçülebilirliği) \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) sınırlı ve Riemann integrallenebilir ise ölçülebilirdir.
İspat
Adım 1: Sıkıştıran iki ölçülebilir fonksiyon. \(\sup_P L(f, P) = \inf_P U(f, P)\) olduğundan her \(k\) için \(U(f, Q_k) - L(f, P_k) < 1/k\) olan \(P_k\) ve \(Q_k\) bölüntüleri vardır. Lemma 11.2 deki fonksiyonlarla \[ \varphi^* = \sup_k \varphi_{P_k}, \qquad \psi^* = \inf_k \psi_{Q_k} \] diyelim. Basit fonksiyonlar ölçülebilirdir ve \(\{\varphi^* > c\} = \bigcup_k \{\varphi_{P_k} > c\}\) olduğundan \(\varphi^*\) ölçülebilirdir; benzer biçimde \(\{\psi^* < c\} = \bigcup_k \{\psi_{Q_k} < c\}\). Ayrıca \(\varphi^* \le f \le \psi^*\) dir.
Adım 2: Farkın integrali sıfır. \(u = \psi^* - \varphi^*\) sınırlı, ölçülebilir ve \(\ge 0\) dır. Her \(k\) için \(0 \le u \le \psi_{Q_k} - \varphi_{P_k}\) olduğundan Teorem 11.3 ve Lemma 11.2 ile \[ 0 \le \int_{[a,b]} u \le U(f, Q_k) - L(f, P_k) < \frac1k, \] yani \(\int_{[a,b]} u = 0\).
Adım 3: \(u = 0\) hemen her yerde. \(j \in \mathbb{N}\) ve \(A_j = \{u \ge 1/j\}\) olsun. \(\frac1j \chi_{A_j} \le u\) olduğundan monotonluk \(\frac1j\, m(A_j) \le \int_{[a,b]} u = 0\) verir. \(\{u > 0\} = \bigcup_j A_j\) olduğundan \(N = \{u > 0\}\) sıfır ölçülüdür.
Adım 4: Ölçülebilirlik. \(N\) dışında \(f = \varphi^*\) dir. Her \(c\) için \[ \{f > c\} = \big(\{\varphi^* > c\} \setminus N\big) \cup \big(\{f > c\} \cap N\big) \] dir. İlk küme ölçülebilir kümelerin farkıdır; ikincisi dış ölçüsü sıfır olan bir kümedir ve Teorem 1.4 ile ölçülebilirdir. Demek ki \(f\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Genişlemenin gerçek olduğunu Dirichlet fonksiyonu gösterir.
Örnek 11.1 (Dirichlet Fonksiyonunun Lebesgue İntegrali) \(E = \mathbb{Q} \cap [0, 1]\) olmak üzere \(\chi_E \colon [0,1] \to \mathbb{R}\) Dirichlet fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir olduğunu gösterin ve integralini bulun.
Çözüm
\(E\) sayılabilir olduğundan dış ölçüsü sıfırdır; Teorem 1.4 ile ölçülebilirdir ve \(m(E) = 0\) dır. Böylece \(\chi_E\), \([0,1]\) üzerinde sonlu destekli basit bir fonksiyondur. Basit fonksiyonlar integrallenebilir olduğundan \[ \int_{[0,1]} \chi_E = 1 \cdot m(E) = 0. \] Öte yandan \(\chi_E\) nin Riemann integrallenebilir olmadığını biliyoruz (bkz. Riemann ve Lebesgue İntegrali): her bölüntüde alt Darboux toplamı \(0\), üst Darboux toplamı \(1\) dir. Yani Lebesgue integrali Riemann integralinin gerçek bir genişlemesidir.
\(\blacksquare\)
11.5 Sınırlı Yakınsaklık Teoremi
\(\{f_n\}\) sınırlı, sonlu destekli, ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan bir dizi ve \(E\) üzerinde noktasal olarak \(f_n \to f\) olsun. Ne zaman \[ \lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E \lim_{n \to \infty} f_n = \int_E f \] yazabiliriz? Bu eşitliğe integral işareti altında limite geçme denir. Her zaman geçerli değildir; kütle ya dar bir yere sıkışarak ya da sonsuza kaçarak kaybolabilir.
Örnek 11.2 (Sivrilen Tepeler) \(I_n = [\frac{1}{2n}, \frac1n]\) ve \(f_n = 2n\,\chi_{I_n} \colon [0,1] \to \mathbb{R}\) olsun. \([0,1]\) üzerinde \(f_n \to 0\) noktasal olduğunu ama \(\int_{[0,1]} f_n \not\to 0\) olduğunu gösterin.
Çözüm
İntegraller. \(m(I_n) = \frac1n - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}\) olduğundan her \(n\) için \(\int_{[0,1]} f_n = 2n \cdot \frac{1}{2n} = 1\) dir.
Noktasal limit. \(x = 0\) hiçbir \(I_n\) de değildir, yani her \(n\) için \(f_n(0) = 0\). \(x \in (0, 1]\) ise \(n > 1/x\) için \(\frac1n < x\) olur, \(x \notin I_n\) ve \(f_n(x) = 0\). Demek ki \(f_n \to f \equiv 0\) noktasal.
Sonuç. \(\lim_n \int_{[0,1]} f_n = 1 \ne 0 = \int_{[0,1]} f\). Tepeler gitgide daralıp yükselir; alanları hep \(1\) kalır ama sıfıra doğru sıkışarak kaybolur. Dizi düzgün sınırlı değildir: \(\sup f_n = 2n \to \infty\).
\(\blacksquare\)
Örnek 11.3 (Sonsuza Kaçan Kütle) \(E_n = [n, n+1]\) ve \(g_n = n\,\chi_{E_n} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) olsun. \(g_n \to 0\) noktasal olduğunu ama integrallerin sıfıra yakınsamadığını gösterin.
Çözüm
Her \(g_n\) sınırlı, ölçülebilir ve \(E_n\) dışında sıfır olduğundan sonlu desteklidir; \(\int_{\mathbb{R}} g_n = n \cdot m(E_n) = n\). Sabit bir \(x\) için \(n > x\) olunca \(x \notin E_n\), yani \(g_n(x) = 0\); dolayısıyla \(g_n \to 0\) noktasal. Ama \(\int_{\mathbb{R}} g_n = n \to \infty\) ve limit fonksiyonunun integrali \(0\) dır. Buradaki kütle sonsuza doğru kaçar; ölçüsü sonsuz olan \(\mathbb{R}\) bu kaçışa yer açar.
Bu dizi düzgün sınırlı da değildir (\(\sup g_n = n\)). \(h_n = \chi_{[n,n+1]}\) dizisi ise \(|h_n| \le 1\) ile düzgün sınırlıdır, yine \(h_n \to 0\) noktasal yakınsar ama \(\int_{\mathbb{R}} h_n = 1 \not\to 0\); burada tek kusur \(m(\mathbb{R}) = \infty\) olmasıdır.
\(\blacksquare\)
İki örnekteki kusur da, fonksiyonların tek bir sabitle sınırlanamaması ya da tanım kümesinin ölçüsünün sonsuz olmasıdır. Bu iki kusuru dışlamak yeter.
Tanım 11.3 (Düzgün Noktasal Sınırlı Dizi) \(f_n \colon E \to \mathbb{R}\) fonksiyonlarından oluşan \(\{f_n\}\) dizisi için her \(n\) ve her \(x \in E\) de \(|f_n(x)| \le M\) olacak biçimde bir \(M \ge 0\) varsa diziye düzgün noktasal sınırlı (uniformly pointwise bounded) denir.
Yani bütün fonksiyonların grafikleri aynı \([-M, M]\) şeridinde kalır.
Teorem 11.5 (Sınırlı Yakınsaklık Teoremi) \(m(E) < \infty\) ve \(\{f_n\}\), \(E\) üzerinde ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan düzgün noktasal sınırlı bir dizi olsun. \(E\) üzerinde noktasal olarak \(f_n \to f\) ise \[ \lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E f. \]
İspat
Adım 1: Hazırlık. Her \(n\) için \(|f_n| \le M\) olsun. \(f\), ölçülebilir fonksiyonların noktasal limiti olarak ölçülebilirdir (Teorem 8.1) ve \(|f| \le M\) dir. \(m(E) < \infty\) olduğundan bütün bu fonksiyonlar sonlu destekli ve integrallenebilirdir. \(m(E) = 0\) ya da \(M = 0\) ise bütün integraller sıfırdır; bu yüzden \(m(E) > 0\) ve \(M > 0\) alalım.
Adım 2: Temel tahmin. Ölçülebilir her \(A \subseteq E\) için Teorem 11.3 ve Sonuç 11.1 ile \[ \begin{aligned} \Big|\int_E f_n - \int_E f\Big| &\le \int_A |f_n - f| + \int_{E \setminus A} |f_n - f| \\[1mm] &\le \int_A |f_n - f| + 2M\, m(E \setminus A). \end{aligned} \] İkinci satırda \(E \setminus A\) üzerinde \(|f_n - f| \le 2M\) olduğunu kullandık.
Adım 3: Egoroff ile düzgünlük. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(m(E) < \infty\) ve \(f\) reel değerli olduğundan Egoroff teoremi (Teorem 9.1), \(\{f_n\}\) in \(A\) üzerinde \(f\) ye düzgün yakınsadığı ve \(m(E \setminus A) < \frac{\varepsilon}{4M}\) olan ölçülebilir bir \(A \subseteq E\) verir. Düzgün yakınsaklıktan, her \(n \ge N\) için \(A\) üzerinde \(|f_n - f| < \frac{\varepsilon}{2m(E)}\) olan bir \(N\) vardır.
Adım 4: Sonuç. \(n \ge N\) için monotonluk ve Adım 2 ile \[ \begin{aligned} \Big|\int_E f_n - \int_E f\Big| &\le \frac{\varepsilon}{2m(E)}\, m(A) + 2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} \\[1mm] &\le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Yani sonlu ölçülü bir kümede, ortak bir sabitle sınırlı ölçülebilir fonksiyonlar için noktasal yakınsaklık integrallerin yakınsaklığına yeter. Riemann integrali için de, limitin Riemann integrallenebilir olduğu bilindiği sürece, aynı sonuç geçerlidir.
Teorem 11.6 (Arzelà Sınırlı Yakınsaklık Teoremi) \(\{f_n\}\), \([a, b]\) üzerinde Riemann integrallenebilir fonksiyonlardan oluşan düzgün noktasal sınırlı bir dizi olsun ve Riemann integrallenebilir bir \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna noktasal yakınsasın. Bu durumda, Riemann integralleri olarak, \[ \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx. \]
İspat
\(|f_n| \le M\) ise noktasal limitte \(|f| \le M\) dir, yani \(|f_n - f| \le 2M\). Lemma 11.3 ile \(f_n\) ve \(f\) ölçülebilir, dolayısıyla \(f_n - f\) ölçülebilirdir (Teorem 7.4). Böylece \(\{f_n - f\}\), \([a, b]\) üzerinde ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan, düzgün noktasal sınırlı ve \(0\) a noktasal yakınsayan bir dizidir. Sınırlı Yakınsaklık Teoremi (Teorem 11.5) ve doğrusallık \[ \lim_{n \to \infty} \Big( \int_{[a,b]} f_n - \int_{[a,b]} f \Big) = \lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]} (f_n - f) = 0 \] verir. Teorem 11.4 ile \(f_n\) ve \(f\) nin Lebesgue integralleri Riemann integralleriyle aynıdır; iddia budur.
\(\blacksquare\)
11.6 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalarda integralin bu bölümde kurulan özellikleri kullanılır.
Alıştırma 11.1 (Düzgün Yakınsaklık ve İntegral) \(m(E) < \infty\) ve \(\{f_n\}\), \(E\) üzerinde sınırlı ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan bir dizi olsun. \(E\) üzerinde \(f_n \to f\) düzgün ise \(\lim_{n\to\infty} \int_E f_n = \int_E f\) olduğunu, Sınırlı Yakınsaklık Teoremini ya da Egoroff teoremini kullanmadan, doğrudan gösterin.
Çözüm
Adım 1: \(f\) integrallenebilir. \(f\), ölçülebilir fonksiyonların noktasal limiti olduğundan ölçülebilirdir (Teorem 8.1). Düzgün yakınsaklıktan \(E\) üzerinde \(|f_N - f| \le 1\) olan bir \(N\) vardır; \(|f_N| \le K\) ise \(|f| \le K + 1\), yani \(f\) sınırlıdır. \(m(E) < \infty\) olduğundan \(f_n\) ler ve \(f\) sonlu destekli, dolayısıyla integrallenebilirdir (Teorem 11.2).
Adım 2: Tahmin. \(\varepsilon_n = \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)|\) diyelim; düzgün yakınsaklık \(\varepsilon_n \to 0\) demektir. \(E\) üzerinde \(|f_n - f| \le \varepsilon_n \chi_E\) olduğundan doğrusallık, Sonuç 11.1 ve monotonluk (Teorem 11.3) ile \[ \Big| \int_E f_n - \int_E f \Big| = \Big| \int_E (f_n - f) \Big| \le \int_E |f_n - f| \le \varepsilon_n \, m(E). \]
Adım 3: Sonuç. \(m(E)\) sonlu ve \(\varepsilon_n \to 0\) olduğundan sağ taraf sıfıra gider; yani \(\int_E f_n \to \int_E f\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.2 (İntegralle Sayılabilir Toplamsallık) \(m(E) < \infty\) ve \(\{E_n\}_{n=1}^\infty\), \(E\) nin ayrık ölçülebilir kümelere bir ayrışımı olsun. Yalnız integralin doğrusallığını ve Sınırlı Yakınsaklık Teoremini kullanarak \(m(E) = \sum_{n=1}^\infty m(E_n)\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Kısmi toplamları integral olarak yazma. Her \(n\) için \[ f_n = \sum_{k=1}^n \chi_{E_k} \] olsun. \(E_k\) ler ayrık olduğundan \(f_n = \chi_{E_1 \cup \dots \cup E_n}\), yani \(0 \le f_n \le 1\) dir. Her \(E_k \subseteq E\) sonlu ölçülüdür ve \(\int_E \chi_{E_k} = m(E_k)\) dir; doğrusallıktan (Teorem 11.3) \[ \int_E f_n = \sum_{k=1}^n m(E_k). \]
Adım 2: Noktasal limit. \(x \in E\) ise \(x\) tam olarak bir \(E_k\) ya aittir; \(n \ge k\) için \(f_n(x) = 1\) dir. Demek ki \(E\) üzerinde \(f_n \to \chi_E \equiv 1\) noktasal.
Adım 3: Sınırlı Yakınsaklık Teoremi. \(m(E) < \infty\), \(f_n\) ler ölçülebilir ve \(|f_n| \le 1\) olduğundan Teorem 11.5 uygulanır: \[ \sum_{k=1}^\infty m(E_k) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n m(E_k) = \lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E \chi_E = m(E). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.3 (Kısıtlamanın İntegrali) \(f \colon E \to \mathbb{R}\) sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilir olsun. Ölçülebilir her \(A \subseteq E\) için \(\int_A f|_A = \int_E f \cdot \chi_A\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: İki fonksiyon da integrallenebilir. \(f\chi_A\), ölçülebilir iki fonksiyonun çarpımı olarak ölçülebilirdir (Teorem 7.4); \(|f\chi_A| \le |f|\) olduğundan sınırlıdır ve \(f\) nin sıfır olduğu yerde sıfır olduğundan sonlu desteklidir. \(f|_A\) da \(A\) üzerinde sınırlı ve sonlu desteklidir; her \(c\) için \(\{f|_A > c\} = \{f > c\} \cap A\) ölçülebilir olduğundan ölçülebilirdir. Teorem 11.2 ile ikisi de integrallenebilirdir.
Adım 2: Desteğe indirgeme. \(f\chi_A\), \(A\) dışında sıfırdır, yani \(\{f\chi_A \ne 0\} \subseteq A\). Önerme 11.2 \(E_0 = A\) ile \[ \int_E f\chi_A = \int_A (f\chi_A)|_A \] verir. \(A\) üzerinde \(\chi_A = 1\) olduğundan \((f\chi_A)|_A = f|_A\) dır; böylece \(\int_E f\chi_A = \int_A f|_A\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.4 (Riemann İntegralinde Sınırlı Yakınsaklık) Sınırlı Yakınsaklık Teoremi Riemann integrali için geçerli midir? Yani \([a, b]\) üzerinde Riemann integrallenebilir fonksiyonlardan oluşan düzgün noktasal sınırlı ve noktasal yakınsak her dizinin limiti Riemann integrallenebilir midir ve integraller limite yakınsar mı?
Çözüm
Genel olarak hayır: limit fonksiyonu Riemann integrallenebilir olmayabilir, o zaman limitin Riemann integrali tanımlı bile değildir.
Karşı örnek. \([0,1] \cap \mathbb{Q}\) sayılabilirdir; \(\{q_k\}_{k=1}^\infty\) bir numaralaması olsun ve \[ f_n = \chi_{\{q_1, \dots, q_n\}} \colon [0,1] \to \mathbb{R} \] tanımlayalım.
- Her \(f_n\) yalnız sonlu sayıda noktada sıfırdan farklı olan bir basamak fonksiyonudur; Riemann integrallenebilirdir ve \(\int_0^1 f_n(x)\,dx = 0\) dır.
- Her \(n\) için \(0 \le f_n \le 1\); dizi düzgün noktasal sınırlıdır (ve artandır).
- \(x\) rasyonel ise bir \(k\) için \(x = q_k\) dır ve \(n \ge k\) için \(f_n(x) = 1\); \(x\) irrasyonel ise her \(n\) için \(f_n(x) = 0\). Yani \(f_n \to \chi_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}\) noktasal.
Limit Dirichlet fonksiyonudur ve Riemann integrallenebilir değildir: rasyoneller ve irrasyoneller \([0,1]\) de yoğun olduğundan her bölüntüde alt Darboux toplamı \(0\), üst Darboux toplamı \(1\) dir. Dolayısıyla Riemann integrali için “noktasal limitin integrali, integrallerin limitidir” ifadesi anlamını yitirir.
Olumlu kısım. Limit fonksiyonunun Riemann integrallenebilir olduğu ayrıca biliniyorsa sonuç doğrudur; bu Arzelà Sınırlı Yakınsaklık Teoremidir (Teorem 11.6). Lebesgue integralinde ise böyle bir ek varsayım gerekmez: yukarıdaki örnekte \(\int_{[0,1]} f_n = 0 \to 0 = \int_{[0,1]} \chi_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}\) (Örnek 11.1), tam Teorem 11.5 in öngördüğü gibi.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.5 (Hemen Her Yerde Eşit Fonksiyonlar) \(f, g \colon E \to \mathbb{R}\) sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilir olsun ve \(E\) üzerinde hemen her yerde \(f = g\) olsun. \(\int_E f = \int_E g\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Fark fonksiyonu. \(h = f - g\) sınırlı, sonlu destekli ve ölçülebilirdir (Teorem 7.4); \(|h| \le M\) olsun. \(N = \{x \in E : h(x) \ne 0\}\) ölçülebilirdir ve varsayım gereği \(m(N) = 0\) dır (Tanım 4.2).
Adım 2: İntegral sıfır ölçülü kümeye iner. \(\{h \ne 0\} = N\) olduğundan Önerme 11.2 ile \(\int_E h = \int_N h\). \(N\) üzerinde \(|h| \le M\chi_N\) olduğundan Sonuç 11.1 ve monotonluk \[ \Big| \int_N h \Big| \le \int_N |h| \le M \, m(N) = 0 \] verir.
Adım 3: Doğrusallık. Teorem 11.3 ile \(\int_E f - \int_E g = \int_E h = 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.6 (Basamak Fonksiyonlarıyla Riemann ve Lebesgue) Her basamak fonksiyonunun basit olduğunu ve Riemann integraliyle Lebesgue integralinin eşit olduğunu gösterin. Buradan, sınırlı her \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) için \[ \sup_{\varphi \le f} \int_a^b \varphi \le \underline{I}_{[a,b]}(f) \le \overline{I}_{[a,b]}(f) \le \inf_{\psi \ge f} \int_a^b \psi \] olduğunu (supremum ve infimum basamak fonksiyonları üzerinden) çıkarın ve Riemann integrallenebilir her sınırlı fonksiyonun Lebesgue integrallenebilir olup iki integralin eşit olduğunu bu yoldan kanıtlayın.
Çözüm
Adım 1: Basamak fonksiyonu basittir. \(\varphi\), \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\) bölüntüsüne göre bir basamak fonksiyonu olsun: \((x_{i-1}, x_i)\) üzerinde \(\varphi = c_i\), bölüntü noktalarındaki değerler ise rastgele. Buna göre \[ \varphi = \sum_{i=1}^n c_i \chi_{(x_{i-1}, x_i)} + \sum_{k=0}^n \varphi(x_k)\chi_{\{x_k\}}. \] Açık aralıklar ve tek noktalı kümeler ölçülebilir, ikişer ikişer ayrık ve birleşimleri \([a,b]\) dir. \(\varphi\) sonlu sayıda değer alır ve her değer kümesi bu kümelerin sonlu birleşimi olduğundan ölçülebilirdir; yani \(\varphi\) basittir. \(m([a,b]) < \infty\) olduğundan sonlu desteklidir.
Adım 2: İki integral eşittir. Lemma 11.1, \(m((x_{i-1}, x_i)) = x_i - x_{i-1}\) ve \(m(\{x_k\}) = 0\) ile \[ \int_{[a,b]} \varphi = \sum_{i=1}^n c_i (x_i - x_{i-1}) = \int_a^b \varphi(x)\,dx. \]
Adım 3: Sıkıştırma. \(\varphi \le f \le \psi\) basamak fonksiyonları ise Adım 1’e göre bunlar \(f\) nin altında ve üstünde kalan sonlu destekli basit fonksiyonlardır; Adım 2 ve alt, üst Lebesgue integrallerinin tanımıyla (Tanım 11.2) \[ \begin{aligned} \int_a^b \varphi &= \int_{[a,b]} \varphi \le \underline{I}_{[a,b]}(f) \\[1mm] &\le \overline{I}_{[a,b]}(f) \le \int_{[a,b]} \psi = \int_a^b \psi. \end{aligned} \] Soldan \(\varphi\) üzerinden supremum, sağdan \(\psi\) üzerinden infimum almak istenen zinciri verir.
Adım 4: Riemann integrallenebilir fonksiyonlar. \(f\) Riemann integrallenebilir ve \(I = \int_a^b f(x)\,dx\) olsun; yani \(\sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P) = I\) (Tanım 10.4). Her \(P\) bölüntüsü için, \((x_{i-1}, x_i)\) üzerinde \(m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\) ve bölüntü noktalarında \(f\) değerini alan \(\varphi_P\) bir basamak fonksiyonudur, \(\varphi_P \le f\) ve \(\int_a^b \varphi_P = L(f, P)\) dir. Benzer biçimde \(\psi_P \ge f\) ve \(\int_a^b \psi_P = U(f, P)\). Dolayısıyla \[ I = \sup_P L(f,P) \le \sup_{\varphi \le f} \int_a^b \varphi, \qquad \inf_{\psi \ge f} \int_a^b \psi \le \inf_P U(f,P) = I. \] Adım 3’teki zincirle birleşince \[ I \le \underline{I}_{[a,b]}(f) \le \overline{I}_{[a,b]}(f) \le I \] olur. Yani \(f\) Lebesgue integrallenebilirdir ve \(\int_{[a,b]} f = I = \int_a^b f(x)\,dx\) dir.
\(\blacksquare\)
Sınırlı fonksiyonlar için kurduğumuz integral, sıradaki adımın tuğlasıdır: Negatif Olmayan Fonksiyonların İntegrali bölümünde integrali, sınırlı ve sonlu destekli fonksiyonlarla alttan yaklaşarak sınırsız fonksiyonlara ve sonsuz ölçülü kümelere genişleteceğiz.