1 Dış Ölçü ve Ölçülebilir Kümeler
Bir aralığın uzunluğunu herkes bilir; peki rasyonel sayıların, bir Cantor kümesinin ya da bir fonksiyonun pozitif olduğu noktaların kümesinin “uzunluğu” nedir? Riemann integralinin sınırları büyük ölçüde bu sorunun cevapsız kalmasından gelir. Bu bölümde uzunluk kavramını aralıklardan çok daha geniş bir küme ailesine taşımaya başlıyoruz.
Plan iki aşamalıdır. Önce her kümeye bir dış ölçü atıyoruz; bu her yerde tanımlıdır ama toplamsal değildir. Sonra toplamsallığın bozulmadığı kümeleri, yani ölçülebilir kümeleri, Carathéodory koşuluyla ayırıyoruz.
1.1 Uzunluk ve Küme Fonksiyonları
Uzunluk, kümelere sayı atayan bir kuraldır. Bu bakış açısını ve genişletmeden beklediğimiz özellikleri önce adlandıralım.
Tanım 1.1 (Aralığın Uzunluğu) \(I\) reel sayıların bir aralığı olsun. \(I\) sınırlıysa ve uç noktaları \(a \le b\) ise uzunluğu \(\ell(I) = b - a\)’dır; \(I\) sınırsızsa \(\ell(I) = \infty\)’dur.
Yani uzunluk, uç noktaların açık ya da kapalı olmasına bakmaz: \((a,b)\), \([a,b)\), \((a,b]\) ve \([a,b]\)’nin uzunluğu aynıdır.
Tanım 1.2 (Küme Fonksiyonu) Bir kümeler topluluğunun her elemanına bir genişletilmiş reel sayı (\(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}\)’un bir elemanını) karşılık getiren fonksiyona küme fonksiyonu (set function) denir.
Yani uzunluk, tanım kümesi bütün aralıkların topluluğu olan bir küme fonksiyonudur.
Tanım 1.3 (Sayılabilir Toplamsallık) \(\mu\), bir \(\mathcal{A}\) topluluğu üzerinde tanımlı ve \([0, \infty]\)’da değer alan bir küme fonksiyonu olsun. \(\mathcal{A}\)’daki kümelerin ayrık ve birleşimi yine \(\mathcal{A}\)’da olan her sayılabilir \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) topluluğu için \[ \mu\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) = \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k) \] oluyorsa \(\mu\)’ye sayılabilir toplamsal (countably additive) denir.
Yani ayrık parçalara bölünen bir kümenin ölçüsü, parçaların ölçülerinin toplamıdır.
Tanım 1.4 (Öteleme Değişmezliği) \(E \subseteq \mathbb{R}\) ve \(y \in \mathbb{R}\) için \(E\)’nin \(y\) kadar ötelemesi \(E + y = \{x + y : x \in E\}\) kümesidir. Bir \(\mu\) küme fonksiyonunun tanım kümesi ötelemeye kapalıysa ve her \(E\) ile her \(y\) için \(\mu(E + y) = \mu(E)\) oluyorsa \(\mu\)’ye öteleme değişmez (translation invariant) denir.
Yani bir kümeyi kaydırmak onun ölçüsünü değiştirmez.
Aradığımız “uzunluk” \(m\)’den üç şey bekliyoruz: her aralık için \(m(I) = \ell(I)\) olsun, \(m\) öteleme değişmez olsun ve \(m\) sayılabilir toplamsal olsun. Bu üç özelliği taşıyan ve \(\mathbb{R}\)’nin bütün alt kümelerinde tanımlı bir küme fonksiyonu yoktur (Ölçülemez Kümeler ve Vitali Kümesi). Bu yüzden önce her kümede tanımlı ama zayıf bir fonksiyon kuracak, sonra onu üç özelliğin birlikte sağlandığı zengin bir aileye kısıtlayacağız.
1.2 Dış Ölçü
Bir kümenin uzunluğunu dışarıdan tahmin etmenin doğal yolu, onu aralıklarla örtüp aralıkların toplam uzunluğunu olabildiğince küçültmektir.
Tanım 1.5 (Dış Ölçü) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(A\)’nın dış ölçüsü (outer measure) \[ m^*(A) = \inf\Big\{\, \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) \;:\; A \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k \,\Big\} \] sayısıdır; burada infimum, \(A\)’yı örten bütün sayılabilir \(\{I_k\}_{k=1}^\infty\) açık, sınırlı aralık toplulukları üzerinden alınır.
Yani \(m^*(A)\), \(A\)’yı örtmenin “en ucuz” maliyetidir. Değer \(\infty\) olabilir (örneğin hiçbir örtünün toplamı sonlu değilse). Topluluğun sonlu olmasına da izin veririz: sonlu bir örtü, boş aralıklarla (\(\ell(\varnothing) = 0\)) sayılabilir bir örtüye tamamlanır.
Tanımdan iki özellik hemen çıkar.
Önerme 1.1 (Dış Ölçünün Monotonluğu) \(m^*(\varnothing) = 0\)’dır ve \(A \subseteq B\) ise \(m^*(A) \le m^*(B)\)’dir.
İspat
Her \(\varepsilon > 0\) için \(\varnothing \subseteq (0, \varepsilon)\) olduğundan \(0 \le m^*(\varnothing) \le \varepsilon\); dolayısıyla \(m^*(\varnothing) = 0\).
\(A \subseteq B\) ise \(B\)’yi örten her aralık topluluğu \(A\)’yı da örter. Yani \(m^*(A)\)’nın infimumunun alındığı sayılar kümesi, \(m^*(B)\)’ninkini kapsar; daha büyük bir kümenin infimumu daha küçük ya da eşittir.
\(\blacksquare\)
İlk hesabımız, sayılabilir kümelerin dış ölçü açısından “görünmez” olduğunu gösteriyor.
Örnek 1.1 (Sayılabilir Kümenin Dış Ölçüsü) Sayılabilir bir \(C\) kümesinin dış ölçüsünün sıfır olduğunu gösterin.
Çözüm
\(C = \{c_1, c_2, \dots\}\) diye sıralayalım (sonluysa liste biter). \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \[ I_k = \Big(c_k - \frac{\varepsilon}{2^{k+1}},\; c_k + \frac{\varepsilon}{2^{k+1}}\Big) \] alalım. \(\{I_k\}\) açık, sınırlı aralıklardan oluşan ve \(C\)’yi örten bir topluluktur; \(\ell(I_k) = \varepsilon/2^k\) olduğundan \[ m^*(C) \le \sum_{k=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon . \] \(\varepsilon > 0\) keyfi olduğundan \(m^*(C) = 0\)’dır. Örneğin \(m^*(\mathbb{Q}) = 0\).
\(\blacksquare\)
Asıl sınav, dış ölçünün aralıklarda uzunluğa eşit olmasıdır. Bunun için sonlu örtülerle ilgili bir eşitsizliğe ihtiyacımız var; onu tam sayıları sayarak kanıtlayacağız. Sınırlı bir \(E\) kümesindeki tam sayıların sayısını \(\mu^{\mathrm{int}}(E)\) ile, \(\varepsilon > 0\) için \(x \mapsto \varepsilon x\) genişlemesini \(T_\varepsilon\) ile gösterelim.
Lemma 1.1 (von Neumann Lemması) Her sınırlı \(I\) aralığı için \[ \lim_{\varepsilon \to \infty} \frac{\mu^{\mathrm{int}}(T_\varepsilon(I))}{\varepsilon} = \ell(I). \tag{1} \]
İspat
Adım 1: Tam sayı sayısı. \(J\), uç noktaları \(a \le b\) olan bir aralık olsun. \(J\)’deki tam sayılar \((a, b)\)’dekileri içerir ve \([a, b]\)’dekilerin içindedir. \([a,b]\)’deki tam sayılar \(\lceil a \rceil, \dots, \lfloor b \rfloor\)’dur ve sayıları \(\lfloor b \rfloor - \lceil a \rceil + 1 \le (b - a) + 1\)’dir. \((a,b)\)’deki tam sayılar \(\lfloor a \rfloor + 1, \dots, \lceil b \rceil - 1\)’dir ve sayıları en az \(\lceil b \rceil - \lfloor a \rfloor - 1 \ge (b - a) - 1\)’dir. Böylece \[ \ell(J) - 1 \le \mu^{\mathrm{int}}(J) \le \ell(J) + 1 . \]
Adım 2: Limit. \(T_\varepsilon(I)\), uç noktaları \(\varepsilon a\) ve \(\varepsilon b\) olan bir aralıktır ve \(\ell(T_\varepsilon(I)) = \varepsilon\, \ell(I)\)’dir. Adım 1’i buna uygulayıp \(\varepsilon\)’a bölersek \[ \ell(I) - \frac{1}{\varepsilon} \le \frac{\mu^{\mathrm{int}}(T_\varepsilon(I))}{\varepsilon} \le \ell(I) + \frac{1}{\varepsilon} \] bulunur. \(\varepsilon \to \infty\) iken iki uç da \(\ell(I)\)’ya gider.
\(\blacksquare\)
Yani bir aralığı yeterince büyütüp içindeki tam sayıları saymak, uzunluğunu verir. Sayma ise örtülere çok iyi uyar: bir kümeyi örten kümelerin tam sayıları, o kümenin tam sayılarını kapsar.
Önerme 1.2 (Sonlu Örtünün Uzunluğu) Sınırlı bir \(I\) aralığı, sınırlı aralıklardan oluşan sonlu bir \(\{I_k\}_{k=1}^n\) topluluğu tarafından örtülüyorsa \[ \ell(I) \le \sum_{k=1}^n \ell(I_k) \] olur.
İspat
\(\varepsilon > 0\) olsun. \(I \subseteq \bigcup_{k=1}^n I_k\) olduğundan \(T_\varepsilon(I) \subseteq \bigcup_{k=1}^n T_\varepsilon(I_k)\)’dır. \(T_\varepsilon(I)\)’daki her tam sayı en az bir \(T_\varepsilon(I_k)\)’da bulunduğundan \[ \mu^{\mathrm{int}}(T_\varepsilon(I)) \le \sum_{k=1}^n \mu^{\mathrm{int}}(T_\varepsilon(I_k)). \] İki tarafı \(\varepsilon\)’a bölüp \(\varepsilon \to \infty\) için limit alırsak, sağdaki toplam sonlu olduğundan terim terim limit alınabilir ve Lemma 1.1 istenen eşitsizliği verir.
\(\blacksquare\)
Artık dış ölçünün uzunluğu genişlettiğini gösterebiliriz.
Teorem 1.1 (Aralığın Dış Ölçüsü) Her \(I\) aralığı için \(m^*(I) = \ell(I)\)’dır.
İspat
Adım 1: Kapalı, sınırlı aralık. \(I = [a, b]\) olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için tek aralıklı \(\{(a - \varepsilon, b + \varepsilon)\}\) örtüsü \[ m^*([a,b]) \le \ell\big((a - \varepsilon, b + \varepsilon)\big) = b - a + 2\varepsilon \] verir; dolayısıyla \(m^*([a,b]) \le b - a\). Ters eşitsizlik için \([a,b]\)’yi örten her sayılabilir \(\{I_k\}_{k=1}^\infty\) açık, sınırlı aralık topluluğunda \(\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) \ge b - a\) olduğunu göstermeliyiz. Heine–Borel teoremine göre (bkz. Analiz 1: Kompaktlık ve Heine–Borel) bir \(n\) için \([a,b] \subseteq \bigcup_{k=1}^n I_k\)’dır. Önerme 1.2 ile \[ b - a \le \sum_{k=1}^n \ell(I_k) \le \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k). \]
Adım 2: Sınırlı aralık. \(I\)’nın uç noktaları \(a \le b\) olsun. \(a = b\) ise \(I \subseteq [a, a]\) olduğundan monotonlukla (Önerme 1.1) \(m^*(I) \le 0 = \ell(I)\). \(a < b\) ise \(0 < \varepsilon < b - a\) için \[ J_1 = \Big[a + \frac{\varepsilon}{3},\, b - \frac{\varepsilon}{3}\Big] \subseteq I \subseteq \Big[a - \frac{\varepsilon}{3},\, b + \frac{\varepsilon}{3}\Big] = J_2 \] olur. Monotonluk ve Adım 1 ile \[ \ell(I) - \varepsilon < \ell(J_1) = m^*(J_1) \le m^*(I) \le m^*(J_2) = \ell(J_2) < \ell(I) + \varepsilon . \] \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(m^*(I) = \ell(I)\).
Adım 3: Sınırsız aralık. Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(I\), uzunluğu \(n\) olan kapalı, sınırlı bir \(J\) aralığını içerir. Monotonlukla \(m^*(I) \ge m^*(J) = \ell(J) = n\). Bu her \(n\) için doğru olduğundan \(m^*(I) = \infty = \ell(I)\).
\(\blacksquare\)
Dış ölçü yalnız aralıkların uzunluğuyla tanımlandığından, kaydırma altında da değişmez.
Teorem 1.2 (Dış Ölçünün Öteleme Değişmezliği) Her \(E \subseteq \mathbb{R}\) ve her \(c \in \mathbb{R}\) için \(m^*(E + c) = m^*(E)\)’dir.
İspat
Bir \(\{I_k\}_{k=1}^\infty\) açık, sınırlı aralık topluluğu \(E\)’yi örter ancak ve ancak \(\{I_k + c\}_{k=1}^\infty\) topluluğu \(E + c\)’yi örter. \(I_k + c\) yine açık, sınırlı bir aralıktır ve \(\ell(I_k + c) = \ell(I_k)\)’dır. Dolayısıyla iki infimumun alındığı toplamlar kümesi aynıdır ve \(m^*(E + c) = m^*(E)\) olur.
\(\blacksquare\)
Dış ölçü toplamsal değildir, ama toplam her zaman bir üst sınır verir.
Teorem 1.3 (Sayılabilir Alt Toplamsallık) \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) ayrık olsun ya da olmasın, bir \(E\) kümesini örten herhangi bir sayılabilir küme topluluğu ise \[ m^*(E) \le m^*\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) \le \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k) \] olur.
İspat
Soldaki eşitsizlik monotonluktan gelir (Önerme 1.1). Bir \(m^*(E_k)\) sonsuzsa sağdaki eşitsizlik açıktır; bu yüzden hepsinin sonlu olduğunu varsayalım.
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Dış ölçünün tanımından her \(k\) için \[ E_k \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty I_{k,i} \quad\text{ve}\quad \sum_{i=1}^\infty \ell(I_{k,i}) < m^*(E_k) + \frac{\varepsilon}{2^k} \] olan bir \(\{I_{k,i}\}_{i=1}^\infty\) açık, sınırlı aralık topluluğu vardır. Bütün \(I_{k,i}\)’lerden oluşan topluluk, \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) ile indislendiğinden sayılabilirdir ve \(\bigcup_k E_k\)’yı örter. Terimler negatif olmadığından çift toplam istenen sırada toplanabilir: \[ \begin{aligned} m^*\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) &\le \sum_{k=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty \ell(I_{k,i}) < \sum_{k=1}^\infty \Big( m^*(E_k) + \frac{\varepsilon}{2^k} \Big) \\[1mm] &= \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k) + \varepsilon . \end{aligned} \] \(\varepsilon\) keyfi olduğundan sonuç çıkar.
\(\blacksquare\)
Bu özelliğe sayılabilir monotonluk da denir. Sonlu topluluklar için de geçerlidir: eksik terimler boş kümeyle doldurulur ve \(m^*(\varnothing) = 0\)’dır.
Toparlarsak, dış ölçü dört özelliğe sahiptir: bütün kümelerde tanımlıdır, aralıklarda uzunluğa eşittir, öteleme değişmezdir ve sayılabilir alt toplamsaldır. Eksik olan toplamsallıktır; bir sonraki kesimin konusu budur.
1.3 Ölçülebilir Kümeler
Dış ölçü sonlu toplamsal bile değildir: \(m^*(A \cup B) < m^*(A) + m^*(B)\) olan ayrık \(A\), \(B\) kümeleri vardır (Sonuç 5.1). Çareyi, kendisiyle yapılan her bölmede dış ölçünün toplandığı kümelerde arayacağız.
Tanım 1.6 (Ölçülebilir Küme) Bir \(E \subseteq \mathbb{R}\) kümesi, her \(A \subseteq \mathbb{R}\) için \[ m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \setminus E) \] koşulunu sağlıyorsa \(E\)’ye Lebesgue ölçülebilir ya da kısaca ölçülebilir (measurable) denir. Bu koşula Carathéodory koşulu denir. Ölçülebilir kümelerin topluluğu \(\mathcal{M}\) ile gösterilir.
Yani \(E\) ölçülebilirse, hangi \(A\) kümesini \(E\) ile ikiye bölersek bölelim, iki parçanın dış ölçüleri toplanır; \(A\)’ya “test kümesi” denir. Böylece ayrık iki kümeden biri ölçülebilirse \(m^*(A \cup B) < m^*(A) + m^*(B)\) olamaz: \(E = A\) ve test kümesi \(A \cup B\) alınırsa eşitlik çıkar.
Koşulun yarısı her zaman doğrudur, bu da ölçülebilirliği denetlemeyi kolaylaştırır.
Önerme 1.3 (Ölçülebilirlik Ölçütü) \(E\) kümesi ölçülebilirdir ancak ve ancak \(m^*(A) < \infty\) olan her \(A\) kümesi için \[ m^*(A) \ge m^*(A \cap E) + m^*(A \setminus E) \tag{2} \] olur.
İspat
\(A = (A \cap E) \cup (A \setminus E)\) olduğundan sayılabilir alt toplamsallık (Teorem 1.3) her \(A\) için \[ m^*(A) \le m^*(A \cap E) + m^*(A \setminus E) \] verir. Dolayısıyla Carathéodory koşulu (2) ile denktir. \(m^*(A) = \infty\) ise (2) kendiliğinden doğrudur; yalnız \(m^*(A) < \infty\) olan test kümelerini denetlemek yeter.
\(\blacksquare\)
Carathéodory koşulu \(E\) ile \(\mathbb{R} \setminus E\) arasında simetriktir, çünkü \(A \cap (\mathbb{R} \setminus E) = A \setminus E\) ve \(A \setminus (\mathbb{R} \setminus E) = A \cap E\)’dir.
Önerme 1.4 (Tümleyenin Ölçülebilirliği) \(E\) ölçülebilirdir ancak ve ancak \(\mathbb{R} \setminus E\) ölçülebilirdir. Ayrıca \(\varnothing\) ve \(\mathbb{R}\) ölçülebilirdir.
İspat
Yukarıdaki iki özdeşlikle, \(\mathbb{R} \setminus E\) için Carathéodory koşulu \[ m^*(A) = m^*(A \setminus E) + m^*(A \cap E) \] olur; bu, \(E\) için yazılan koşulun aynısıdır. \(\mathbb{R}\) için koşul \(m^*(A) = m^*(A) + m^*(\varnothing)\)’dir ve \(m^*(\varnothing) = 0\) olduğundan (Önerme 1.1) doğrudur. \(\varnothing = \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}\) olduğundan \(\varnothing\) da ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
İlk somut ölçülebilir kümeler, dış ölçüsü sıfır olanlardır.
Teorem 1.4 (Sıfır Dış Ölçülü Kümeler Ölçülebilirdir) \(m^*(E) = 0\) ise \(E\) ölçülebilirdir.
İspat
\(A\) herhangi bir küme olsun. \(A \cap E \subseteq E\) ve \(A \setminus E \subseteq A\) olduğundan monotonlukla (Önerme 1.1) \[ m^*(A \cap E) \le m^*(E) = 0 \quad\text{ve}\quad m^*(A \setminus E) \le m^*(A). \] Bu iki eşitsizliği toplarsak (2) eşitsizliği bulunur; Önerme 1.3 ile \(E\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Örneğin her sayılabilir küme (Örnek 1.1) ve dolayısıyla \(\mathbb{Q}\) ölçülebilirdir.
Teorem 1.5 (Sonlu Birleşimin Ölçülebilirliği) Ölçülebilir kümelerin sonlu bir topluluğunun birleşimi ölçülebilirdir.
İspat
Adım 1: İki küme. \(E_1\), \(E_2\) ölçülebilir ve \(A\) herhangi bir küme olsun. Önce \(E_1\)’in ölçülebilirliğini \(A\) test kümesiyle, sonra \(E_2\)’ninkini \(A \setminus E_1\) test kümesiyle kullanırsak \[ \begin{aligned} m^*(A) &= m^*(A \cap E_1) + m^*(A \setminus E_1) \\[1mm] &= m^*(A \cap E_1) + m^*\big([A \setminus E_1] \cap E_2\big) \\[1mm] &\quad + m^*\big([A \setminus E_1] \setminus E_2\big) \end{aligned} \] bulunur. Şimdi iki küme özdeşliğini kullanalım: \[ A \cap [E_1 \cup E_2] = (A \cap E_1) \cup \big([A \setminus E_1] \cap E_2\big), \qquad [A \setminus E_1] \setminus E_2 = A \setminus [E_1 \cup E_2]. \] Birincisine alt toplamsallığı (Teorem 1.3) uygularsak \[ m^*(A) \ge m^*\big(A \cap [E_1 \cup E_2]\big) + m^*\big(A \setminus [E_1 \cup E_2]\big) \] elde edilir. Önerme 1.3 ile \(E_1 \cup E_2\) ölçülebilirdir.
Adım 2: Tümevarım. \(E_1, \dots, E_n\) ölçülebilir olsun ve \(n - 1\) küme için sonuç doğru olsun. \(F = \bigcup_{k=1}^{n-1} E_k\) tümevarım varsayımıyla ölçülebilirdir ve \(\bigcup_{k=1}^n E_k = F \cup E_n\) iki ölçülebilir kümenin birleşimidir; Adım 1 ile ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Tümleyen ve sonlu birleşim altında kapalılık, \(\mathcal{M}\)’nin bir cebir olduğunu söyler. Sayılabilir birleşimlere geçiş, aralıkların ve açık kümelerin ölçülebilirliği bir sonraki bölümün konusudur.
1.4 Alıştırmalar
İlk üç alıştırmada \(\mu\), bir \(\mathcal{A}\) σ-cebirindeki (Tanım 2.2) bütün kümelerde tanımlı, \([0, \infty]\)’da değer alan ve sayılabilir toplamsal (Tanım 1.3) bir küme fonksiyonudur.
Alıştırma 1.1 (Toplamsal Küme Fonksiyonunun Monotonluğu) \(\mu\), bir \(\mathcal{A}\) σ-cebiri üzerinde sayılabilir toplamsal, \([0,\infty]\) değerli bir küme fonksiyonu olsun. \(A, B \in \mathcal{A}\) ve \(A \subseteq B\) ise \(\mu(A) \le \mu(B)\) olduğunu gösterin. (Bu özelliğe monotonluk denir.)
Çözüm
Adım 1: Ayrık bir ayrışma. \(\mathcal{A}\) bir σ-cebiri olduğundan \(B \setminus A \in \mathcal{A}\) ve \(\varnothing \in \mathcal{A}\)’dır (Önerme 2.1). \(E_1 = A\), \(E_2 = B \setminus A\) ve \(k \ge 3\) için \(E_k = \varnothing\) alalım. Bu kümeler ayrıktır ve \(A \subseteq B\) olduğundan birleşimleri \(B\)’dir.
Adım 2: Toplamsallık. Sayılabilir toplamsallıkla \[ \mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) + \sum_{k=3}^\infty \mu(\varnothing). \] Sağdaki terimlerin hepsi \([0,\infty]\)’dadır; negatif olmayan terimleri atmak toplamı büyütmez. Dolayısıyla \(\mu(B) \ge \mu(A)\)’dır. (Burada \(\mu(\varnothing) = 0\) olduğunu bilmemize gerek yoktur.)
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.2 (Boş Kümenin Ölçüsü) \(\mu\), bir \(\mathcal{A}\) σ-cebiri üzerinde sayılabilir toplamsal, \([0,\infty]\) değerli bir küme fonksiyonu olsun. \(\mu(A) < \infty\) olan bir \(A \in \mathcal{A}\) varsa \(\mu(\varnothing) = 0\) olduğunu gösterin.
Çözüm
\(E_1 = A\) ve \(k \ge 2\) için \(E_k = \varnothing\) alalım. Bu topluluk ayrıktır ve birleşimi \(A\)’dır. Sayılabilir toplamsallıkla \[ \mu(A) = \mu(A) + \sum_{k=2}^\infty \mu(\varnothing). \] \(\mu(A)\) sonlu bir reel sayı olduğundan iki taraftan çıkarılabilir: \(\sum_{k=2}^\infty \mu(\varnothing) = 0\). Bu, aynı \(\mu(\varnothing) \ge 0\) sayısının sonsuz kez toplamıdır; \(\mu(\varnothing) > 0\) olsaydı toplam \(\infty\) olurdu. O hâlde \(\mu(\varnothing) = 0\)’dır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.3 (Toplamsal Küme Fonksiyonunun Alt Toplamsallığı) \(\mu\), bir \(\mathcal{A}\) σ-cebiri üzerinde sayılabilir toplamsal, \([0,\infty]\) değerli bir küme fonksiyonu ve \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\), \(\mathcal{A}\)’da (ayrık olması gerekmeyen) bir küme topluluğu olsun. \[ \mu\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) \le \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k) \] olduğunu gösterin.
Çözüm
Fikir, topluluğu aynı birleşime sahip ayrık bir topluluğa çevirmektir.
Adım 1: Ayrıklaştırma. \(F_1 = E_1\) ve \(k \ge 2\) için \[ F_k = E_k \setminus \bigcup_{j=1}^{k-1} E_j \] olsun. \(\mathcal{A}\) sonlu birleşim ve bağıl tümleyene kapalı olduğundan (Önerme 2.1) her \(F_k \in \mathcal{A}\)’dır. Ayrıca \(F_k \subseteq E_k\)’dır.
Adım 2: \(F_k\)’lar ayrıktır. \(j < k\) ise \(F_j \subseteq E_j\) ve \(F_k \cap E_j = \varnothing\) olduğundan \(F_j \cap F_k = \varnothing\)’dır.
Adım 3: Birleşimler aynıdır. \(F_k \subseteq E_k\) olduğundan \(\bigcup_k F_k \subseteq \bigcup_k E_k\). Tersine \(x \in \bigcup_k E_k\) ise \(x \in E_k\) olan en küçük \(k\)’yı alalım; o zaman \(x \in F_k\)’dır.
Adım 4: Sonuç. Sayılabilir toplamsallık ve monotonluk (Alıştırma 1.1) ile \[ \mu\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big) = \mu\Big(\bigcup_{k=1}^\infty F_k\Big) = \sum_{k=1}^\infty \mu(F_k) \le \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.4 (Sayma Ölçüsü) \(\mathbb{R}\)’nin her \(E\) alt kümesi için \(c(E)\), \(E\) sonsuzsa \(\infty\), \(E\) sonluysa \(E\)’nin eleman sayısı olsun (\(c(\varnothing) = 0\)). \(c\)’nin sayılabilir toplamsal ve öteleme değişmez bir küme fonksiyonu olduğunu gösterin. (\(c\)’ye sayma ölçüsü denir.)
Çözüm
\(c\), \(\mathbb{R}\)’nin bütün alt kümelerinde tanımlı ve \([0,\infty]\) değerlidir; bu topluluk ötelemeye ve sayılabilir birleşime kapalıdır.
Öteleme değişmezliği. \(y \in \mathbb{R}\) olsun. \(x \mapsto x + y\) eşlemesi \(E\)’den \(E + y\)’ye bire-bir ve örtendir. Dolayısıyla \(E\) sonluysa \(E + y\) aynı sayıda elemana sahiptir, \(E\) sonsuzsa \(E + y\) de sonsuzdur. Her iki durumda \(c(E + y) = c(E)\)’dir.
Sayılabilir toplamsallık. \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) ayrık olsun ve \(E = \bigcup_k E_k\) diyelim. Üç durum vardır.
- Bir \(E_k\) sonsuz. O zaman \(E \supseteq E_k\) de sonsuzdur ve \(c(E) = \infty\); sağda da \(c(E_k) = \infty\) terimi bulunduğundan \(\sum_k c(E_k) = \infty\)’dur.
- Hepsi sonlu, ama sonsuz çoklukta \(E_k\) boş değil. Boş olmayan her \(E_k\)’dan bir eleman seçelim; ayrıklık nedeniyle bu elemanlar farklıdır, dolayısıyla \(E\) sonsuzdur ve \(c(E) = \infty\). Sağda sonsuz çoklukta terim en az \(1\)’dir, toplam da \(\infty\)’dur.
- Yalnız sonlu çoklukta \(E_k\) boş değil ve hepsi sonlu. \(E\), ayrık sonlu kümelerin sonlu birleşimidir. Ortak eleman olmadığından \(E\)’nin eleman sayısı, parçaların eleman sayılarının toplamıdır; boş parçalar \(0\) katkı verir. Yani \(c(E) = \sum_k c(E_k)\)’dır.
Üç durumda da \(c(E) = \sum_{k=1}^\infty c(E_k)\) olur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.5 (Birim Aralık Sayılamazdır) Dış ölçünün özelliklerini kullanarak \([0,1]\) aralığının sayılamaz olduğunu gösterin.
Çözüm
Bir aralığın dış ölçüsü uzunluğu olduğundan (Teorem 1.1) \(m^*([0,1]) = 1\)’dir. Öte yandan sayılabilir (sonlu ya da sayılabilir sonsuz) her kümenin dış ölçüsü \(0\)’dır (Örnek 1.1). \([0,1]\) sayılabilir olsaydı \(m^*([0,1]) = 0 \ne 1\) olurdu. Dolayısıyla \([0,1]\) sayılamazdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.6 (Birim Aralıktaki İrrasyoneller) \(A\), \([0,1]\)’deki irrasyonel sayıların kümesi olsun. \(m^*(A) = 1\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Üst sınır. \(A \subseteq [0,1]\) olduğundan monotonluk (Önerme 1.1) ve Teorem 1.1 ile \(m^*(A) \le m^*([0,1]) = 1\).
Alt sınır. \(Q = \mathbb{Q} \cap [0,1]\) sayılabilirdir, dolayısıyla \(m^*(Q) = 0\)’dır (Örnek 1.1). \([0,1] = A \cup Q\) olduğundan sayılabilir alt toplamsallıkla (Teorem 1.3) \[ 1 = m^*([0,1]) \le m^*(A) + m^*(Q) = m^*(A). \] İki sınırdan \(m^*(A) = 1\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.7 (Sınırlı Kümeyi Saran Gδ Kümesi) Sayılabilir sayıda açık kümenin kesişimine \(G_\delta\) kümesi denir (Tanım 2.6). Her sınırlı \(E\) kümesi için \(E \subseteq G\) ve \(m^*(G) = m^*(E)\) olan bir \(G_\delta\) kümesi \(G\) bulunduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: \(m^*(E)\) sonludur. \(E\) sınırlı olduğundan bir \(M > 0\) için \(E \subseteq [-M, M]\)’dir; monotonluk ve Teorem 1.1 ile \(m^*(E) \le 2M < \infty\).
Adım 2: Yaklaşan açık kümeler. \(n \in \mathbb{N}\) olsun. Dış ölçünün tanımından (Tanım 1.5) \(E\)’yi örten ve \[ \sum_{k=1}^\infty \ell(I_{n,k}) < m^*(E) + \frac{1}{n} \] olan açık, sınırlı aralıklardan oluşan bir \(\{I_{n,k}\}_{k=1}^\infty\) topluluğu vardır (\(m^*(E)\) sonlu olduğundan infimumun hemen üstünde bir toplam bulunur). \(\mathcal{O}_n = \bigcup_{k} I_{n,k}\) açık kümesi \(E\)’yi içerir. Alt toplamsallık (Teorem 1.3) ve Teorem 1.1 ile \[ m^*(\mathcal{O}_n) \le \sum_{k=1}^\infty m^*(I_{n,k}) = \sum_{k=1}^\infty \ell(I_{n,k}) < m^*(E) + \frac{1}{n}. \]
Adım 3: Kesişim. \(G = \bigcap_{n=1}^\infty \mathcal{O}_n\) sayılabilir sayıda açık kümenin kesişimi olduğundan bir \(G_\delta\) kümesidir ve her \(\mathcal{O}_n\) \(E\)’yi içerdiğinden \(E \subseteq G\)’dir. Her \(n\) için \(E \subseteq G \subseteq \mathcal{O}_n\) olduğundan monotonlukla \[ m^*(E) \le m^*(G) \le m^*(\mathcal{O}_n) < m^*(E) + \frac{1}{n}. \] \(n \to \infty\) için \(m^*(G) = m^*(E)\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.8 (Jordan Uzunluğu) Bir kümenin Jordan uzunluğu, dış ölçü gibi tanımlanır; tek fark, yalnız açık, sınırlı aralıklardan oluşan sonlu örtülerin kullanılmasıdır. \(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) kümesi açık, sınırlı aralıklardan oluşan sonlu bir \(\{I_k\}_{k=1}^n\) topluluğu tarafından örtülüyorsa \(\sum_{k=1}^n \ell(I_k) \ge 1\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Kapalı aralıklara geçmek. \(I_k = (a_k, b_k)\) için \(\overline{I_k} = [a_k, b_k]\) olsun. \(I_k \subseteq \overline{I_k}\), \(\overline{I_k}\) kapalıdır ve \(\ell(\overline{I_k}) = b_k - a_k = \ell(I_k)\)’dır. \(F = \bigcup_{k=1}^n \overline{I_k}\) sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi olduğundan kapalıdır ve \(\mathbb{Q} \cap [0,1] \subseteq F\)’dir.
Adım 2: \([0,1] \subseteq F\). \(x \in [0,1]\) olsun. Rasyoneller yoğun olduğundan \([0,1]\) içinde \(x\)’e yakınsayan bir \((q_j)\) rasyonel dizisi vardır. Her \(q_j \in F\) ve \(F\) kapalı olduğundan \(x \in F\)’dir (bkz. Analiz 1: Kapalı Kümeler).
Adım 3: Sonuç. \([0,1]\) sınırlı aralığı, sınırlı \(\overline{I_1}, \dots, \overline{I_n}\) aralıkları tarafından örtülür. Önerme 1.2 ile \[ 1 = \ell([0,1]) \le \sum_{k=1}^n \ell(\overline{I_k}) = \sum_{k=1}^n \ell(I_k). \]
Buna göre \(\mathbb{Q} \cap [0,1]\)’in Jordan uzunluğu \(1\)’dir (her \(\varepsilon > 0\) için tek aralıklı \((-\varepsilon, 1 + \varepsilon)\) örtüsü üst sınırı verir); oysa dış ölçüsü \(0\)’dır. Sonlu örtüler sayılabilir kümeleri “göremez”; dış ölçünün sayılabilir örtülerle tanımlanmasının nedeni budur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.9 (Kapalı Aralıklarla Tanımlanan Dış Ölçü) Dış ölçü, kümeleri açık, sınırlı aralıklar yerine kapalı, sınırlı aralıkların sayılabilir topluluklarıyla örterek tanımlansın. Elde edilen küme fonksiyonunun \(m^*\) ile aynı olduğunu gösterin.
Çözüm
Yeni fonksiyonu \(m^*_c\) ile gösterelim: \[ m^*_c(A) = \inf\Big\{\, \sum_{k=1}^\infty \ell(J_k) \;:\; A \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty J_k,\ J_k \text{ kapalı, sınırlı} \,\Big\}. \] \(A \subseteq \mathbb{R}\) sabit olsun.
Adım 1: \(m^*_c(A) \le m^*(A)\). \(\{(a_k, b_k)\}\), \(A\)’yı örten açık, sınırlı aralıklar olsun. \((a_k, b_k) \subseteq [a_k, b_k]\) olduğundan \(\{[a_k, b_k]\}\) de \(A\)’yı örter ve uzunluklar aynıdır. Yani \(m^*\)’ın tanımındaki her toplam, \(m^*_c\)’nin tanımında da görünür; bu yüzden \(m^*_c(A) \le m^*(A)\).
Adım 2: \(m^*(A) \le m^*_c(A)\). \(m^*_c(A) = \infty\) ise açıktır. Aksi hâlde \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(\{[a_k, b_k]\}\), \(A\)’yı örten kapalı, sınırlı aralıklar olsun. Her \(k\) için \[ I_k = \Big(a_k - \frac{\varepsilon}{2^{k+1}},\; b_k + \frac{\varepsilon}{2^{k+1}}\Big) \supseteq [a_k, b_k] \] açık, sınırlı aralığını alalım; \(\ell(I_k) = (b_k - a_k) + \varepsilon/2^k\)’dır. \(\{I_k\}\) de \(A\)’yı örttüğünden \[ m^*(A) \le \sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) = \sum_{k=1}^\infty (b_k - a_k) + \varepsilon . \] Bu her kapalı örtü için doğru olduğundan sağda infimum alırsak \(m^*(A) \le m^*_c(A) + \varepsilon\); \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(m^*(A) \le m^*_c(A)\).
İki adımdan \(m^*_c = m^*\)’dır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.10 (Sıfır Dış Ölçülü Küme Eklemek) \(m^*(A) = 0\) ise her \(B\) kümesi için \(m^*(A \cup B) = m^*(B)\) olduğunu gösterin.
Çözüm
\(B \subseteq A \cup B\) olduğundan monotonlukla (Önerme 1.1) \(m^*(B) \le m^*(A \cup B)\). Öte yandan sayılabilir alt toplamsallık (Teorem 1.3; iki kümeli topluluk boş kümelerle tamamlanır) ile \[ m^*(A \cup B) \le m^*(A) + m^*(B) = m^*(B). \] İki eşitsizlikten \(m^*(A \cup B) = m^*(B)\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 1.11 (Birbirinden Uzak Kümeler) \(A\) ve \(B\) sınırlı kümeler olsun ve her \(a \in A\), \(b \in B\) için \(|a - b| \ge \alpha\) olan bir \(\alpha > 0\) bulunsun. \(m^*(A \cup B) = m^*(A) + m^*(B)\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Alt toplamsallık (Teorem 1.3) \(m^*(A \cup B) \le m^*(A) + m^*(B)\) verir. Ters eşitsizliği kanıtlayacağız. \(A \cup B\) sınırlı olduğundan \(m^*(A \cup B) < \infty\)’dur. Temel gözlem şudur: uzunluğu \(\alpha\)’dan küçük bir aralık hem \(A\)’yı hem \(B\)’yi kesemez, çünkü \(a \in A\) ve \(b \in B\) aynı aralıkta olsaydı \(|a - b| < \alpha\) olurdu.
Adım 1: Kısa aralıklı bir örtü. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(A \cup B\)’yi örten ve \(\sum_k \ell(I_k) < m^*(A \cup B) + \varepsilon\) olan açık, sınırlı \(\{I_k\}\) aralıkları vardır. \(I_k = (c, d)\) ve \(L = d - c\) olsun. \(L/N < \alpha/2\) olacak biçimde bir \(N \in \mathbb{N}\) seçip \([c, d]\)’yi \(c = t_0 < t_1 < \dots < t_N = d\) noktalarıyla eşit parçalara bölelim ve \[ \delta_k = \min\Big\{\frac{\alpha}{4},\; \frac{\varepsilon}{2^{k+1} N}\Big\} \] için \((t_{j-1} - \delta_k,\ t_j + \delta_k)\) aralıklarını (\(j = 1, \dots, N\)) alalım. Bunlar \([c, d] \supseteq I_k\)’yı örter; her birinin uzunluğu \(L/N + 2\delta_k < \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha\)’dır ve toplam uzunlukları \[ L + 2N\delta_k \le \ell(I_k) + \frac{\varepsilon}{2^k} \] olur. Bunu her \(k\) için yaparsak, \(A \cup B\)’yi örten, her elemanının uzunluğu \(\alpha\)’dan küçük sayılabilir bir \(\{J_i\}\) açık, sınırlı aralık topluluğu elde ederiz ve \[ \sum_i \ell(J_i) \le \sum_k \Big(\ell(I_k) + \frac{\varepsilon}{2^k}\Big) < m^*(A \cup B) + 2\varepsilon . \]
Adım 2: Örtüyü ikiye ayırmak. \(\mathcal{J}_A\), \(A\)’yı kesen \(J_i\)’lerin; \(\mathcal{J}_B\), \(B\)’yi kesen \(J_i\)’lerin topluluğu olsun. Temel gözlem nedeniyle hiçbir \(J_i\) iki toplulukta birden bulunmaz. \(A\)’nın her noktası bir \(J_i\)’dedir ve o \(J_i\), \(A\)’yı keser; yani \(\mathcal{J}_A\), \(A\)’yı örter. Aynı biçimde \(\mathcal{J}_B\), \(B\)’yi örter. Dış ölçünün tanımıyla (Tanım 1.5) \[ m^*(A) + m^*(B) \le \sum_{J \in \mathcal{J}_A} \ell(J) + \sum_{J \in \mathcal{J}_B} \ell(J) \le \sum_i \ell(J_i) < m^*(A \cup B) + 2\varepsilon . \]
Adım 3: Sonuç. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(m^*(A) + m^*(B) \le m^*(A \cup B)\); alt toplamsallıkla birlikte eşitlik çıkar.
\(\blacksquare\)
Dış ölçüyü kurduk ve Carathéodory koşuluyla ölçülebilir kümeleri tanımladık. Sıradaki bölüm Sigma Cebiri ve Borel Kümeleri, ölçülebilir kümelerin sayılabilir işlemlere kapalı olduğunu ve bütün Borel kümelerini içerdiğini gösteriyor.