7 Ölçülebilir Fonksiyonlar
Lebesgue integralini kurmak için, üzerinde integral alacağımız fonksiyonların ölçüyle uyumlu olması gerekir: “\(f\)’nin \(c\)’den küçük olduğu yer” dediğimiz her küme ölçülebilir olmalıdır. Bu bölümde bu koşulu sağlayan fonksiyonları, yani ölçülebilir fonksiyonları tanımlıyoruz.
Ardından bu sınıfın ne kadar geniş ve kararlı olduğunu görüyoruz: sürekli fonksiyonlar, monoton fonksiyonlar, bunların toplamları, çarpımları, maksimum ve minimumları ölçülebilirdir. Tek sürpriz bileşkedir; iki ölçülebilir fonksiyonun bileşkesi ölçülebilir olmayabilir.
7.1 Genişletilmiş Reel Sayılar ve Ters Görüntü
Fonksiyonların \(\pm\infty\) değerini de alabilmesine izin veriyoruz; limitler ve integraller için bu esneklik gerekecek.
Genişletilmiş reel sayılar (extended real numbers) kümesi \(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}\)’dur; her \(x \in \mathbb{R}\) için \(-\infty < x < \infty\) kabul edilir. Aynı \(E\) kümesinde tanımlı \(h, g : E \to \overline{\mathbb{R}}\) için “\(E\) üzerinde \(h \le g\)” yazmak, her \(x \in E\) için \(h(x) \le g(x)\) demektir.
Tanım 7.1 (Artan Fonksiyon Dizisi) \(\{f_n : E \to \overline{\mathbb{R}}\}\) bir fonksiyon dizisi olsun. Her \(n\) için \(E\) üzerinde \(f_n \le f_{n+1}\) ise diziye artan (increasing) denir.
Yani dizinin her noktadaki değerleri \(n\) büyüdükçe azalmaz.
Ölçülebilirlik tamamen ters görüntülerle ifade edilecek. Ters görüntünün iyi yanı, küme işlemleriyle yer değiştirmesidir: \(f : X \to Y\) ve \(\{Y_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\), \(Y\)’nin alt kümelerinden oluşan bir topluluk ise \[ f^{-1}\Bigl(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} Y_\lambda\Bigr) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(Y_\lambda), \qquad f^{-1}\Bigl(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} Y_\lambda\Bigr) = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(Y_\lambda), \] ve \(f^{-1}(Y \setminus A) = X \setminus f^{-1}(A)\) olur.
7.2 Ölçülebilir Fonksiyon
Tanımda yalnız bir tür kümeyi, “\(f\)’nin \(c\)’nin altında kaldığı yer”i ölçülebilir olmaya zorluyoruz; gerisi bundan çıkacak.
Tanım 7.2 (Ölçülebilir Fonksiyon) \(E \subseteq \mathbb{R}\) ölçülebilir ve \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) olsun. Her \(c \in \mathbb{R}\) için \[ \{x \in E : f(x) < c\} \] kümesi ölçülebilir ise \(f\)’ye Lebesgue ölçülebilir ya da kısaca ölçülebilir (measurable) fonksiyon denir.
Yani \(f\)’nin grafiğini hangi yükseklikte yatay bir çizgiyle kesersek keselim, grafiğin çizginin altında kaldığı noktalar ölçülebilir bir küme oluşturur. Kısalık için \(\{x \in E : f(x) < c\}\) yerine \(\{f < c\}\) yazacağız.
“\(<\)” yerine “\(\le\)”, “\(>\)” ya da “\(\ge\)” kullanmak bir şey değiştirmez; üstelik her aralığın ters görüntüsü de ölçülebilir olur.
Teorem 7.1 (Ölçülebilirliğin Denk Koşulları) \(E\) ölçülebilir ve \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) olsun. Aşağıdakiler denktir:
- (i) her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\{f > c\}\) ölçülebilirdir;
- (ii) her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\{f \ge c\}\) ölçülebilirdir;
- (iii) her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\{f < c\}\) ölçülebilirdir;
- (iv) her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\{f \le c\}\) ölçülebilirdir.
Bu koşullar sağlandığında \(\{f = \infty\}\) ile \(\{f = -\infty\}\) kümeleri ve her \(I \subseteq \mathbb{R}\) aralığı için \(f^{-1}(I)\) ölçülebilirdir.
İspat
Ölçülebilir kümeler bir σ-cebiri oluşturur (Teorem 2.4); aşağıda yalnız tümleyen ile sayılabilir birleşim ve kesişim kullanılıyor.
Adım 1: Tümleyenler. \(\{f \le c\} = E \setminus \{f > c\}\) ve \(\{f \ge c\} = E \setminus \{f < c\}\) olduğundan, \(E\) ölçülebilir olduğu için (i) ile (iv) ve (ii) ile (iii) denktir.
Adım 2: (iii) ile (iv). \(f(x) \le c\) olması, her \(k\) için \(f(x) < c + 1/k\) olmasına; \(f(x) < c\) olması da bir \(k\) için \(f(x) \le c - 1/k\) olmasına denktir (bu, \(f(x) = \pm\infty\) için de doğrudur). Yani \[ \{f \le c\} = \bigcap_{k=1}^{\infty} \{f < c + 1/k\}, \qquad \{f < c\} = \bigcup_{k=1}^{\infty} \{f \le c - 1/k\}. \] Birincisi (iii)’ten (iv)’ü, ikincisi (iv)’ten (iii)’ü verir. Adım 1 ile birlikte dört koşul denktir.
Adım 3: Sonsuz değerler. \(\{f = \infty\} = \bigcap_{n} \{f > n\}\) ve \(\{f = -\infty\} = \bigcap_{n} \{f < -n\}\) ölçülebilirdir. Dolayısıyla \(f\)’nin sonlu olduğu küme de ölçülebilirdir: \[ f^{-1}(\mathbb{R}) = E \setminus \bigl(\{f = \infty\} \cup \{f = -\infty\}\bigr). \]
Adım 4: Aralıklar. Boş olmayan her \(I \subseteq \mathbb{R}\) aralığı, \(\mathbb{R}\), \((a,\infty)\) ya da \([a,\infty)\) biçimindeki bir küme ile \(\mathbb{R}\), \((-\infty,b)\) ya da \((-\infty,b]\) biçimindeki bir kümenin kesişimidir. Bu ışınların ters görüntüleri ölçülebilirdir; örneğin \[ f^{-1}\bigl((a,\infty)\bigr) = \{f > a\} \cap f^{-1}(\mathbb{R}), \] ve diğer üçü de aynı biçimde (ii), (iii), (iv) ile yazılır. Ters görüntü kesişimle yer değiştirdiğinden \(f^{-1}(I)\) iki ölçülebilir kümenin kesişimidir. \(I = \varnothing\) ise \(f^{-1}(I) = \varnothing\).
\(\blacksquare\)
Yani ölçülebilirliği sınarken dört eşik kümesinden hangisi işimize geliyorsa onu kullanabiliriz.
Reel değerli fonksiyonlarda aralıklar yerine açık kümelere de bakılabilir; bu, ölçülebilirliği süreklilikle karşılaştırmanın en kısa yoludur.
Teorem 7.2 (Açık Kümelerin Ters Görüntüsü) \(E\) ölçülebilir ve \(f : E \to \mathbb{R}\) olsun. \(f\)’nin ölçülebilir olması için gerek ve yeter koşul, her \(\mathcal{O}\) açık kümesi için \(f^{-1}(\mathcal{O})\)’nun ölçülebilir olmasıdır.
İspat
Yeterlik. \((-\infty, c)\) açık olduğundan \(\{f < c\} = f^{-1}\bigl((-\infty,c)\bigr)\) ölçülebilirdir.
Gereklik. \(f\) ölçülebilir ve \(\mathcal{O}\) açık olsun. \(\mathcal{O} = \varnothing\) ise söylenecek bir şey yok. Aksi hâlde \(\mathcal{O}\), açık aralıklardan oluşan sayılabilir bir \(\{I_k\}\) topluluğunun birleşimidir (Lemma 2.3). O zaman \[ f^{-1}(\mathcal{O}) = \bigcup_{k} f^{-1}(I_k) \] olur. Her \(f^{-1}(I_k)\) Teorem 7.1 gereği ölçülebilir, sayılabilir birleşimleri de ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Yani ölçülebilirlik, sürekliliğin “açık kümenin ters görüntüsü açıktır” tanımının zayıflatılmış hâlidir: açık yerine ölçülebilir istenir. Bu yüzden şu sonuç doğaldır.
Sonuç 7.1 (Sürekli Fonksiyonlar Ölçülebilirdir) \(E\) ölçülebilir ise sürekli her \(f : E \to \mathbb{R}\) fonksiyonu ölçülebilirdir.
İspat
\(\mathcal{O}\) açık olsun. Her \(x \in f^{-1}(\mathcal{O})\) için \(f(x)\)’in \(\mathcal{O}\) içinde bir komşuluğu vardır; \(f\) \(x\)’te sürekli olduğundan \[ y \in E, \ |y - x| < \delta_x \ \Longrightarrow \ f(y) \in \mathcal{O} \] olacak bir \(\delta_x > 0\) bulunur (bkz. Analiz 1: Süreklilik). \(U = \bigcup_{x \in f^{-1}(\mathcal{O})} (x - \delta_x, x + \delta_x)\) açık bir kümedir ve \[ f^{-1}(\mathcal{O}) = E \cap U . \] Gerçekten, “\(\subseteq\)” her \(x\) kendi aralığında olduğu için, “\(\supseteq\)” ise \(E \cap U\)’nun her noktası bir \((x - \delta_x, x + \delta_x)\) aralığında olup \(f\) ile \(\mathcal{O}\)’ya gittiği için doğrudur. Açık kümeler ölçülebilir olduğundan (Teorem 2.4) \(E \cap U\) ölçülebilirdir; Teorem 7.2 sonucu verir.
\(\blacksquare\)
7.3 Kısıtlama ve Hemen Her Yerde Eşitlik
Ölçülebilirlik yerel bir özelliktir: tanım kümesini ölçülebilir parçalara bölüp her parçada ayrı ayrı sınanabilir. Sıfır ölçülü parçalar ise hiç önemsizdir.
Teorem 7.3 (Kısıtlama ve Parçalara Ayırma) \(A\) ve \(B\) ölçülebilir, \(E = A \cup B\) ve \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) olsun. \(f\)’nin ölçülebilir olması için gerek ve yeter koşul, \(f\)’nin \(A\)’ya ve \(B\)’ye kısıtlamalarının ölçülebilir olmasıdır.
Özel olarak \(E_0 \subseteq E\) ve \(m(E \setminus E_0) = 0\) ise \[ f : E \to \overline{\mathbb{R}} \text{ ölçülebilir} \iff f\big|_{E_0} \text{ ölçülebilir}. \tag{1} \]
İspat
Gereklik. \(f\) ölçülebilir ise her \(c\) için \[ \{x \in A : f(x) < c\} = \{x \in E : f(x) < c\} \cap A \] iki ölçülebilir kümenin kesişimidir. \(B\) için de aynısı geçerlidir.
Yeterlik. İki kısıtlama da ölçülebilir ise her \(c\) için \[ \{x \in E : f(x) < c\} = \{x \in A : f(x) < c\} \cup \{x \in B : f(x) < c\} \] iki ölçülebilir kümenin birleşimidir.
Özel durum. \(E \setminus E_0\)’ın dış ölçüsü sıfırdır; monotonluktan her alt kümesinin de dış ölçüsü sıfırdır, dolayısıyla her alt kümesi ölçülebilirdir (Teorem 1.4). Buradan \(E_0 = E \setminus (E \setminus E_0)\) ölçülebilirdir ve \(E \setminus E_0\) üzerinde tanımlı her fonksiyon ölçülebilirdir. İlk kısmı \(A = E_0\), \(B = E \setminus E_0\) ile uygularsak (1) çıkar.
\(\blacksquare\)
Yani bir fonksiyonu sıfır ölçülü bir kümede nasıl değiştirirsek değiştirelim ölçülebilirliği değişmez. Bu iki gözlemi birleştirince sürekliliği oldukça gevşetebiliriz.
Sonuç 7.2 (Süreksizlikleri Sıfır Ölçülü Fonksiyon) \(E\) ölçülebilir, \(f : E \to \mathbb{R}\) ve \(D\), \(f\)’nin sürekli olmadığı noktaların kümesi olsun. \(m^*(D) = 0\) ise \(f\) ölçülebilirdir.
İspat
\(D\) ölçülebilirdir (Teorem 1.4), dolayısıyla \(E \setminus D\) de ölçülebilirdir. \(f\), \(E \setminus D\)’nin her noktasında \(E\) üzerinde süreklidir; komşu noktaları \(E \setminus D\) ile sınırlamak süreklilik koşulunu bozmadığından \(f\big|_{E \setminus D}\) süreklidir ve Sonuç 7.1 gereği ölçülebilirdir. \(m\bigl(E \setminus (E \setminus D)\bigr) = m(D) = 0\) olduğundan Teorem 7.3’daki (1) \(f\)’nin ölçülebilir olduğunu verir.
\(\blacksquare\)
Monoton fonksiyonlar da ölçülebilirdir; bunu süreksizlik noktalarını saymadan, doğrudan görebiliriz.
Örnek 7.1 (Monoton Fonksiyonlar) \(I\) bir aralık ve \(f : I \to \mathbb{R}\) artan olsun. \(f\)’nin ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
\(c \in \mathbb{R}\) ve \(S = \{x \in I : f(x) < c\}\) olsun. \(x \in S\) ve \(y \in I\), \(y < x\) ise \(f(y) \le f(x) < c\), yani \(y \in S\). Buradan \(S\) bir aralıktır (belki boş): \(u < w < v\) ve \(u, v \in S\) ise \(w \in I\) (çünkü \(I\) aralık) ve \(w < v\) olduğundan \(w \in S\). Aralıklar ölçülebilir olduğundan (Teorem 2.3) \(f\) ölçülebilirdir. Azalan \(f\) için aynı akıl yürütme \(S\)’nin yukarı doğru kapalı olduğunu, yine bir aralık olduğunu gösterir.
\(\blacksquare\)
Hemen her yerde (Tanım 4.2) aynı olan fonksiyonlar ölçülebilirlik açısından ayırt edilemez.
Sonuç 7.3 (Hemen Her Yerde Eşit Fonksiyonlar) \(E\) ölçülebilir, \(f, g : E \to \overline{\mathbb{R}}\) ve \(E\) üzerinde \(f = g \ \text{h.h.y.}\) olsun. \(f\) ölçülebilir ise \(g\) de ölçülebilirdir.
İspat
\(f\) ile \(g\)’nin farklı olduğu noktalar, ölçüsü sıfır olan bir \(N \subseteq E\) kümesinin içindedir. \(E_0 = E \setminus N\) için \(m(E \setminus E_0) = 0\) ve \(f\big|_{E_0} = g\big|_{E_0}\). (1)’i önce \(f\)’ye uygularsak bu ortak kısıtlama ölçülebilirdir; sonra \(g\)’ye uygularsak \(g\) ölçülebilir olur.
\(\blacksquare\)
Bu yüzden ortak tanım kümeli ve hemen her yerde eşit iki ölçülebilir fonksiyonu çoğu zaman aynı fonksiyon sayarız.
7.4 Toplam, Çarpım ve Karakteristik Fonksiyon
Ölçülebilir fonksiyonlar cebirsel işlemlere kapalıdır. İspatın anahtarı, iki sayının arasına her zaman bir rasyonel sayı sığdırabilmektir.
Teorem 7.4 (Doğrusal Birleşim ve Çarpım) \(f, g : E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir ve \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) olsun. O zaman
- (Doğrusallık) \(\alpha f + \beta g : E \to \mathbb{R}\) ölçülebilirdir;
- (Çarpım) \(f g : E \to \mathbb{R}\) ölçülebilirdir.
İspat
Adım 1: Skaler kat. \(\alpha = 0\) ise \(\alpha f \equiv 0\) ve \(\{0 < c\}\) kümesi \(E\) ya da \(\varnothing\)’dir. \(\alpha > 0\) ise \(\{\alpha f < c\} = \{f < c/\alpha\}\); \(\alpha < 0\) ise \(\{\alpha f < c\} = \{f > c/\alpha\}\) ve bu küme Teorem 7.1 gereği ölçülebilirdir.
Adım 2: Toplam. \(f(x) + g(x) < c\) olsun. O zaman \(f(x) < c - g(x)\) ve rasyonel sayılar yoğun olduğundan \[ f(x) < q < c - g(x) \] olan bir \(q \in \mathbb{Q}\) vardır. Tersine \(f(x) < q\) ve \(g(x) < c - q\) ise \(f(x) + g(x) < c\). Demek ki \[ \{f + g < c\} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \Bigl(\{f < q\} \cap \{g < c - q\}\Bigr), \] ve bu, ölçülebilir kümelerin sayılabilir bir birleşimidir. Adım 1 ile birlikte \(\alpha f + \beta g = (\alpha f) + (\beta g)\) ölçülebilirdir.
Adım 3: Kare. \(c \le 0\) ise \(\{f^2 < c\} = \varnothing\). \(c > 0\) ise \[ \{f^2 < c\} = f^{-1}\bigl((-\sqrt{c}, \sqrt{c}\,)\bigr) \] bir aralığın ters görüntüsüdür ve Teorem 7.1 gereği ölçülebilirdir.
Adım 4: Çarpım. Her noktada \[ f g = \tfrac12\bigl[(f + g)^2 - f^2 - g^2\bigr] \] olduğundan \(fg\), Adım 2’ye göre ölçülebilir olan fonksiyonların karelerinin (Adım 3) doğrusal birleşimidir (Adım 1 ve 2).
\(\blacksquare\)
Yani ölçülebilir reel değerli fonksiyonlar, toplama ve çarpmaya göre kapalı bir fonksiyon uzayı oluşturur.
Teorem, değerleri \(\overline{\mathbb{R}}\)’de olan ama hemen her yerde sonlu fonksiyonlara da uzanır. \(f, g : E \to \overline{\mathbb{R}}\) ölçülebilir ve hemen her yerde sonlu ise, \(f\) ile \(g\)’nin ikisinin de sonlu olduğu \(E_0\) kümesi ölçülebilirdir (Teorem 7.1, Adım 3) ve \(m(E \setminus E_0) = 0\) olur. \(f\big|_{E_0}\) ve \(g\big|_{E_0}\), (1) gereği ölçülebilir ve reel değerli olduğundan \(f + g\) ve \(fg\), \(E_0\) üzerinde tanımlı ve ölçülebilirdir; \(\infty - \infty\) gibi anlamsız ifadelerin çıkabileceği \(E \setminus E_0\) üzerinde nasıl tanımlanırlarsa tanımlansınlar (1) gereği ölçülebilir kalırlar.
En basit ölçülebilir fonksiyonlar, bir kümeyi “işaretleyen” fonksiyonlardır.
Tanım 7.3 (Karakteristik Fonksiyon) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(\chi_A : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \[ \chi_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A, \\ 0, & x \notin A \end{cases} \] fonksiyonuna \(A\)’nın karakteristik fonksiyonu (characteristic function) denir.
Yani \(\chi_A\), \(A\)’nın içinde \(1\), dışında \(0\) değerini alır.
Önerme 7.1 (Karakteristik Fonksiyonun Ölçülebilirliği) \(\chi_A\)’nın ölçülebilir olması için gerek ve yeter koşul \(A\)’nın ölçülebilir olmasıdır.
İspat
\(\chi_A\) yalnız \(0\) ve \(1\) değerlerini aldığından \[ \{\chi_A < c\} = \begin{cases} \varnothing, & c \le 0, \\ \mathbb{R} \setminus A, & 0 < c \le 1, \\ \mathbb{R}, & c > 1 . \end{cases} \] \(A\) ölçülebilir ise üç küme de ölçülebilirdir. Tersine \(\chi_A\) ölçülebilir ise \(c = 1/2\) için \(\mathbb{R} \setminus A\), dolayısıyla \(A\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Ölçülemez kümeler var olduğundan (Teorem 5.1), ölçülebilir olmayan fonksiyonlar da vardır: \(V\) ölçülemez ise \(\chi_V\) ölçülebilir değildir.
7.5 Bileşke
Süreklilik ve türevlenebilirlik bileşke altında korunur. Ölçülebilirlik ise korunmaz; bunu Cantor kümesini şişiren \(\psi\) fonksiyonuyla (Teorem 6.3) görüyoruz.
Örnek 7.2 (Ölçülebilir Olmayan Bileşke) \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlı, ölçülebilir iki reel değerli fonksiyonun bileşkesinin ölçülebilir olmayabileceğini gösterin.
Çözüm
Adım 1: Malzeme. \(\psi : [0,1] \to [0,2]\), \(\psi(x) = \varphi(x) + x\) sürekli ve kesin artan bir örtendir; \([0,1]\)’in öyle ölçülebilir bir \(A\) alt kümesi vardır ki \(\psi(A)\) ölçülebilir değildir (Teorem 6.3).
Adım 2: \(\psi\)’yi \(\mathbb{R}\)’ye genişletme. \[ \widetilde{\psi}(x) = \begin{cases} x, & x < 0, \\ \psi(x), & 0 \le x \le 1, \\ x + 1, & x > 1 \end{cases} \] olsun. \(\psi(0) = 0\) ve \(\psi(1) = 2\) olduğundan parçalar uç noktalarda birleşir; \(\widetilde{\psi}\), \(\mathbb{R}\)’den \(\mathbb{R}\)’ye sürekli, kesin artan bir örtendir. Tersi \[ \widetilde{\psi}^{-1}(y) = \begin{cases} y, & y < 0, \\ \psi^{-1}(y), & 0 \le y \le 2, \\ y - 1, & y > 2 \end{cases} \] fonksiyonudur. Kesin artan sürekli bir fonksiyonun tersi sürekli olduğundan (Alıştırma 6.1) \(\psi^{-1}\) süreklidir ve parçalar \(y = 0\), \(y = 2\)’de birleştiği için \(\widetilde{\psi}^{-1}\) süreklidir. Sonuç 7.1 gereği ölçülebilirdir.
Adım 3: Bileşke. \(A\) ölçülebilir olduğundan \(\chi_A\) ölçülebilirdir (Önerme 7.1). \(f = \chi_A \circ \widetilde{\psi}^{-1}\) olsun. Her \(y\) için \[ f(y) = 1 \iff \widetilde{\psi}^{-1}(y) \in A \iff y \in \widetilde{\psi}(A) = \psi(A), \] yani \(f = \chi_{\psi(A)}\). \(\psi(A)\) ölçülebilir olmadığından Önerme 7.1 gereği \(f\) ölçülebilir değildir.
\(\blacksquare\)
Yani sorun içteki fonksiyondadır: ölçülebilir \(A\) kümesinin sürekli \(\widetilde{\psi}^{-1}\) altındaki ters görüntüsü, ölçülemeyen \(\psi(A)\) kümesidir. Sürekli fonksiyon dışta olduğunda ise böyle bir sorun çıkmaz.
Teorem 7.5 (Sürekli Fonksiyonla Bileşke) \(f : E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir ve \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sürekli ise \(g \circ f : E \to \mathbb{R}\) ölçülebilirdir.
İspat
\(\mathcal{O}\) açık olsun. \(g\) sürekli olduğundan \(g^{-1}(\mathcal{O})\) açıktır. \(f\) ölçülebilir olduğundan Teorem 7.2 gereği \[ (g \circ f)^{-1}(\mathcal{O}) = f^{-1}\bigl(g^{-1}(\mathcal{O})\bigr) \] ölçülebilirdir. Yine Teorem 7.2 gereği \(g \circ f\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Sonuç 7.4 (Mutlak Değer ve Kuvvetler) \(f : E \to \mathbb{R}\) ölçülebilir ise \(|f|\) ve her \(p > 0\) için \(|f|^p\) ölçülebilirdir. Gerçekten \(t \mapsto |t|^p\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir ve Teorem 7.5 uygulanır.
7.6 Maksimum, Minimum, Pozitif ve Negatif Kısım
Sonlu sayıda fonksiyonun noktasal maksimumu ve minimumu da ölçülebilirdir; bundan her fonksiyonu negatif olmayan iki fonksiyonun farkı olarak yazma olanağı doğar.
Tanım 7.4 (Maksimum ve Minimum Fonksiyonu) \(f_1, \dots, f_n : E \to \overline{\mathbb{R}}\) olsun. Her \(x \in E\) için \[ \max\{f_1, \dots, f_n\}(x) = \max\{f_1(x), \dots, f_n(x)\} \] ile tanımlı fonksiyona bu fonksiyonların maksimumu denir; minimum \(\min\{f_1, \dots, f_n\}\) aynı biçimde tanımlanır.
Yani maksimum ve minimum nokta nokta alınır.
Önerme 7.2 (Maksimum ve Minimumun Ölçülebilirliği) \(f_1, \dots, f_n : E \to \overline{\mathbb{R}}\) ölçülebilir ise \(\max\{f_1, \dots, f_n\}\) ve \(\min\{f_1, \dots, f_n\}\) ölçülebilirdir.
İspat
Sonlu çoklukta sayının maksimumu \(c\)’den ancak hepsi \(c\)’den küçükse küçüktür; minimumu ise en az biri \(c\)’den küçükse küçüktür. Dolayısıyla \[ \begin{aligned} \{\max\{f_1, \dots, f_n\} < c\} &= \bigcap_{k=1}^{n} \{f_k < c\},\\[1mm] \{\min\{f_1, \dots, f_n\} < c\} &= \bigcup_{k=1}^{n} \{f_k < c\}, \end{aligned} \] ve bunlar ölçülebilir kümelerin sonlu kesişimi ve birleşimidir.
\(\blacksquare\)
Tanım 7.5 (Pozitif ve Negatif Kısım) \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) olsun. \(E\) üzerinde \[ f^+ = \max\{f, 0\}, \qquad f^- = \max\{-f, 0\} \] ile tanımlı fonksiyonlara \(f\)’nin pozitif kısmı (positive part) ve negatif kısmı (negative part) denir.
Yani \(f^+\), \(f\)’nin sıfırın üstünde kalan kısmını, \(f^-\) ise sıfırın altında kalan kısmının mutlak değerini tutar; ikisi de negatif değildir.
Önerme 7.3 (Pozitif ve Negatif Kısmın Özellikleri) \(f : E \to \overline{\mathbb{R}}\) ölçülebilir ise \(f^+\) ve \(f^-\) ölçülebilirdir ve \(E\) üzerinde \[ f = f^+ - f^-, \qquad |f| = f^+ + f^- . \]
İspat
Ölçülebilirlik. Sabit \(0\) fonksiyonu ölçülebilirdir ve \(\{-f < c\} = \{f > -c\}\) olduğundan (Teorem 7.1) \(-f\) de ölçülebilirdir. Önerme 7.2 sonucu verir.
Eşitlikler. \(f(x) \ge 0\) ise \(f^+(x) = f(x)\) ve \(f^-(x) = 0\); \(f(x) < 0\) ise \(f^+(x) = 0\) ve \(f^-(x) = -f(x)\). Her iki durumda da \(f^+(x)\) ile \(f^-(x)\)’ten en az biri sıfırdır (böylece \(\infty - \infty\) ortaya çıkmaz) ve iki eşitlik doğrudan sağlanır.
\(\blacksquare\)
Yani her ölçülebilir fonksiyon, negatif olmayan iki ölçülebilir fonksiyonun farkıdır. İntegrali önce negatif olmayan fonksiyonlar için kurup sonra bu ayrışımla genişleteceğiz.
7.7 Borel Ölçülebilirlik
Tanımdaki “ölçülebilir küme” yerine “Borel kümesi” (Tanım 2.5) koyarsak daha dar ama bileşke açısından daha iyi davranan bir sınıf elde ederiz.
Tanım 7.6 (Borel Ölçülebilir Fonksiyon) \(E\) bir Borel kümesi ve \(f : E \to \mathbb{R}\) olsun. Her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\{x \in E : f(x) < c\}\) bir Borel kümesi ise \(f\)’ye Borel ölçülebilir (Borel measurable) denir.
Yani ölçülebilirlik tanımı aynen durur, yalnız kümelerden daha fazlası istenir. Bu sınıfın özellikleri alıştırmalarda ele alınıyor.
7.8 Alıştırmalar
Aşağıdaki sorular tanımın sınırlarını yoklar ve bileşkeyle ilgili iki olumlu sonuç verir.
Alıştırma 7.1 (Birleşim Üzerinde Süreklilik) \(A\) ve \(B\) ölçülebilir kümeler ve \(f : A \cup B \to \mathbb{R}\) olsun. \(f\)’nin sürekli olması, \(A\)’ya ve \(B\)’ye kısıtlamalarının sürekli olmasına denk midir?
Çözüm
Denk değildir; yalnız bir yön doğrudur.
Doğru yön. \(f\) sürekli ise kısıtlamaları da süreklidir. Gerçekten \(x \in A\) ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(f\) \(x\)’te sürekli olduğundan \(y \in A \cup B\), \(|y - x| < \delta\) iken \(|f(y) - f(x)| < \varepsilon\) olan bir \(\delta > 0\) vardır; bu koşul özellikle her \(y \in A\) için geçerlidir. \(B\) için de aynısı doğrudur.
Yanlış yön. \(A = [0,1]\), \(B = (1,2]\) ve \(f = \chi_B\) olsun; \(A \cup B = [0,2]\). \(f\big|_A \equiv 0\) ve \(f\big|_B \equiv 1\) sabit, dolayısıyla süreklidir. Ama \(x_n = 1 + 1/n \in B\) için \(x_n \to 1\) iken \[ f(x_n) = 1 \not\to 0 = f(1), \] yani \(f\), \(1\) noktasında sürekli değildir.
Ölçülebilirlik parçalara ayrılarak sınanabilir (Teorem 7.3); süreklilik ise sınanamaz, çünkü parçaların birleştiği noktalarda iki tarafı birlikte kontrol etmek gerekir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.2 (Genişletilmiş Değerli Fonksiyonun Skaler Katı) \(h : E \to \overline{\mathbb{R}}\) ölçülebilir ve \(\alpha \in \mathbb{R}\) olsun. \(0 \cdot (\pm\infty) = 0\) kuralıyla \(\alpha h : E \to \overline{\mathbb{R}}\) fonksiyonunun ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
\(c \in \mathbb{R}\) sabitleyelim ve üç durumu ayıralım.
\(\alpha = 0\). Kural gereği \(\alpha h \equiv 0\) ve \(\{0 < c\}\) kümesi \(c > 0\) ise \(E\), \(c \le 0\) ise \(\varnothing\)’dir; ikisi de ölçülebilir.
\(\alpha > 0\). \(\alpha \cdot (\pm\infty) = \pm\infty\) olduğundan, \(h(x)\) sonlu da sonsuz da olsa \[ \alpha h(x) < c \iff h(x) < c/\alpha . \] Yani \(\{\alpha h < c\} = \{h < c/\alpha\}\) ölçülebilirdir.
\(\alpha < 0\). Bu kez \(\alpha \cdot (\pm\infty) = \mp\infty\) ve negatif bir sayıyla bölmek eşitsizliği çevirir: \[ \alpha h(x) < c \iff h(x) > c/\alpha . \] \(\{h > c/\alpha\}\) kümesi Teorem 7.1 gereği ölçülebilirdir.
Her durumda \(\{\alpha h < c\}\) ölçülebilir olduğundan \(\alpha h\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.3 (Mutlak Değeri ve Karesi Ölçülebilir Fonksiyon) Ölçülebilir bir \(A\) kümesi üzerinde, kendisi ölçülebilir olmadığı hâlde \(|f|\) ve \(f^2\) ölçülebilir olan bir \(f : A \to \mathbb{R}\) örneği verin.
Çözüm
\(A = [0,1]\) alalım. \(m([0,1]) = 1 > 0\) olduğundan \([0,1]\)’in ölçülebilir olmayan bir \(V\) alt kümesi vardır (Teorem 5.1). İşaretini \(V\)’ye göre seçen \[ f(x) = \begin{cases} 1, & x \in V, \\ -1, & x \in [0,1] \setminus V \end{cases} \] fonksiyonunu tanımlayalım.
\(|f|\) ve \(f^2\) ölçülebilir. Her noktada \(|f| = f^2 = 1\); sabit fonksiyonlar süreklidir, dolayısıyla ölçülebilirdir (Sonuç 7.1).
\(f\) ölçülebilir değil. \(\{f < 0\} = [0,1] \setminus V\) olur. Bu küme ölçülebilir olsaydı \(V = [0,1] \setminus \bigl([0,1] \setminus V\bigr)\) de ölçülebilir olurdu; çelişki. Demek ki \(f\) ölçülebilir değildir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.4 (Yakınsaklık Kümesi) \(E\) ölçülebilir ve \(\{f_n : E \to \mathbb{R}\}\) ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun. \(E_0\), \(\{f_n(x)\}\) dizisinin bir reel sayıya yakınsadığı \(x \in E\) noktalarının kümesi olsun. \(E_0\) ölçülebilir midir?
Çözüm
Evet. Fikir, yakınsaklığı limiti anmadan, Cauchy ölçütüyle ve sayılabilir çoklukta koşulla yazmaktır.
Adım 1: Küme eşitliği. \(\mathbb{R}\) tam olduğundan bir reel sayı dizisi ancak ve ancak Cauchy dizisiyse bir reel sayıya yakınsar. Yani \(x \in E_0\) olması, her \(k \ge 1\) için öyle bir \(N\) bulunmasıdır ki her \(m, n \ge N\) için \(|f_n(x) - f_m(x)| < 1/k\) olsun. “Her” kesişime, “vardır” birleşime karşılık geldiğinden \[ E_0 = \bigcap_{k=1}^{\infty} \ \bigcup_{N=1}^{\infty} \ \bigcap_{m, n \ge N} E_{k,m,n}, \] burada \[ E_{k,m,n} = \{x \in E : |f_n(x) - f_m(x)| < 1/k\}. \]
Adım 2: Parçalar ölçülebilir. \(f_n - f_m\) ölçülebilirdir (Teorem 7.4) ve mutlak değeri de ölçülebilirdir (Sonuç 7.4). Dolayısıyla her \(E_{k,m,n}\) ölçülebilirdir.
Adım 3: Sonuç. \(E_0\), ölçülebilir kümelerden sayılabilir kesişim ve birleşimlerle elde edildiğinden ölçülebilirdir (Teorem 2.4).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.5 (Sayılabilir Çoklukta Süreksizlik) \(E\) ölçülebilir ve \(f : E \to \mathbb{R}\), sayılabilir çoklukta nokta dışında sürekli olsun. \(f\)’nin ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
\(D\), \(f\)’nin sürekli olmadığı noktaların kümesi olsun; \(D\) sayılabilirdir.
Adım 1: \(m^*(D) = 0\). \(D = \{d_1, d_2, \dots\}\) olsun. Her tek noktalı küme, uzunluğu \(0\) olan \([d_k, d_k]\) aralığıdır ve dış ölçüsü \(0\)’dır (Teorem 1.1). Sayılabilir alt toplamsallıktan (Teorem 1.3) \[ m^*(D) \le \sum_{k} m^*(\{d_k\}) = 0 . \]
Adım 2: Sonuç. Süreksizlik kümesi sıfır ölçülü olduğundan Sonuç 7.2 gereği \(f\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.6 (Seviye Kümeleri Ölçülebilir Fonksiyon) \(E\) ölçülebilir ve \(f : E \to \mathbb{R}\), her \(c \in \mathbb{R}\) için \(f^{-1}(c)\) kümesi ölçülebilir olan bir fonksiyon olsun. \(f\) ölçülebilir olmak zorunda mıdır?
Çözüm
Hayır. Birebir bir fonksiyonun her seviye kümesi en fazla bir noktadır ve bu tek başına hiçbir bilgi vermez.
Adım 1: Örnek. \(E = (0,1)\) alalım. \(m((0,1)) = 1 > 0\) olduğundan \((0,1)\)’in ölçülebilir olmayan bir \(V\) alt kümesi vardır (Teorem 5.1). \[ f(x) = \begin{cases} x, & x \in V, \\ -x, & x \in (0,1) \setminus V \end{cases} \] olsun. \(f\), \(V\)’yi \((0,1)\)’in içine, \((0,1) \setminus V\)’yi \((-1,0)\)’ın içine birebir götürür; bu iki görüntü ayrık olduğundan \(f\) birebirdir.
Adım 2: Seviye kümeleri ölçülebilir. \(f\) birebir olduğundan her \(c\) için \(f^{-1}(c)\) ya boştur ya da tek noktalıdır. Her iki durumda da dış ölçüsü sıfırdır ve ölçülebilirdir (Teorem 1.4).
Adım 3: \(f\) ölçülebilir değil. \(V\)’nin noktalarında \(f > 0\), geri kalanında \(f < 0\) olduğundan \(\{f > 0\} = V\). Bu küme ölçülebilir değildir; Teorem 7.1 gereği \(f\) ölçülebilir değildir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.7 (Rasyonel Eşikler) \(E\) ölçülebilir ve \(f : E \to \mathbb{R}\), her rasyonel \(c\) için \(\{x \in E : f(x) > c\}\) kümesi ölçülebilir olan bir fonksiyon olsun. \(f\) ölçülebilir olmak zorunda mıdır?
Çözüm
Evet. Rasyonel eşikler bütün reel eşikleri belirler.
\(c \in \mathbb{R}\) keyfi olsun. İddia: \[ \{f > c\} = \bigcup_{\substack{q \in \mathbb{Q} \\ q > c}} \{f > q\}. \] “\(\supseteq\)”: \(f(x) > q > c\) ise \(f(x) > c\). “\(\subseteq\)”: \(f(x) > c\) ise rasyonel sayıların yoğunluğundan \(c < q < f(x)\) olan bir \(q \in \mathbb{Q}\) vardır; bu \(q\) için \(x \in \{f > q\}\).
Sağ taraf ölçülebilir kümelerin sayılabilir bir birleşimidir, yani her \(c \in \mathbb{R}\) için \(\{f > c\}\) ölçülebilirdir. Teorem 7.1 gereği \(f\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.8 (Sıfırla Genişletme) \(E\) ölçülebilir ve \(f : E \to \mathbb{R}\) olsun. \(x \in E\) için \(\hat{f}(x) = f(x)\), \(x \notin E\) için \(\hat{f}(x) = 0\) ile tanımlı \(\hat{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun ölçülebilir olmasının, \(f\)’nin ölçülebilir olmasına denk olduğunu gösterin.
Çözüm
\(c \in \mathbb{R}\) sabitleyelim. \(E\) dışında \(\hat{f} = 0\) olduğundan, oradaki noktalar \(\{\hat{f} < c\}\)’ye ancak \(c > 0\) ise girer: \[ \{\hat{f} < c\} = \begin{cases} \{f < c\}, & c \le 0, \\ \{f < c\} \cup (\mathbb{R} \setminus E), & c > 0 . \end{cases} \]
\(f\) ölçülebilir ise. \(\{f < c\}\) ve \(\mathbb{R} \setminus E\) ölçülebilir olduğundan her iki durumda \(\{\hat{f} < c\}\) ölçülebilirdir; yani \(\hat{f}\) ölçülebilirdir.
\(\hat{f}\) ölçülebilir ise. \(\{f < c\} = \{\hat{f} < c\} \cap E\) iki ölçülebilir kümenin kesişimidir; yani \(f\) ölçülebilirdir. (Bu da Teorem 7.3’nın bir özel durumudur.)
\(E\)’nin ölçülebilir olması gereklidir: ölçülemeyen bir \(E\) üzerinde \(f \equiv 0\) alınırsa \(\hat{f} \equiv 0\) ölçülebilir, ama tanım kümesi ölçülebilir olmadığından \(f\) ölçülebilir fonksiyon sayılmaz.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.9 (Borel Kümelerinin Ters Görüntüsü) \(E\) ölçülebilir ve \(f : E \to \mathbb{R}\) olsun. \(f\)’nin ölçülebilir olması için gerek ve yeter koşulun, her \(A\) Borel kümesi için \(f^{-1}(A)\)’nın ölçülebilir olması olduğunu gösterin.
Çözüm
Yeterlik. \((-\infty, c)\) açık, dolayısıyla Borel kümesidir; \(\{f < c\} = f^{-1}\bigl((-\infty,c)\bigr)\) ölçülebilirdir.
Gereklik. \(f\) ölçülebilir olsun ve \[ \Sigma = \{A \subseteq \mathbb{R} : f^{-1}(A) \text{ ölçülebilir}\} \] diyelim. \(\Sigma\) bir σ-cebiridir:
- \(f^{-1}(\mathbb{R}) = E\) ölçülebilir, yani \(\mathbb{R} \in \Sigma\);
- \(A \in \Sigma\) ise \(f^{-1}(\mathbb{R} \setminus A) = E \setminus f^{-1}(A)\) ölçülebilir;
- \(A_k \in \Sigma\) ise \(f^{-1}\bigl(\bigcup_k A_k\bigr) = \bigcup_k f^{-1}(A_k)\) ölçülebilir.
Teorem 7.2 gereği her açık küme \(\Sigma\)’dadır. \(\mathcal{B}\), açık kümeleri içeren en küçük σ-cebiri olduğundan (Tanım 2.5) \(\mathcal{B} \subseteq \Sigma\). Yani her Borel kümesi \(A\) için \(f^{-1}(A)\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.10 (Borel Ölçülebilir Fonksiyonda Aralıkların Ters Görüntüsü) \(f : E \to \mathbb{R}\) Borel ölçülebilir olsun (Tanım 7.6). Her \(I\) aralığı için \(f^{-1}(I)\)’nın bir Borel kümesi olduğunu gösterin.
Çözüm
Teorem 7.1’ın ispatını, “ölçülebilir” yerine “Borel” diyerek tekrarlıyoruz; kullanılan tek şey \(\mathcal{B}\)’nin bir σ-cebiri olması ve \(E \in \mathcal{B}\) olmasıdır.
Adım 1: Dört eşik kümesi. Her \(c\) için \(\{f < c\} \in \mathcal{B}\) verildi. Buradan \[ \{f \ge c\} = E \setminus \{f < c\}, \qquad \{f \le c\} = \bigcap_{k=1}^{\infty} \{f < c + 1/k\}, \] ve \(\{f > c\} = E \setminus \{f \le c\}\) Borel kümeleridir.
Adım 2: Aralıklar. \(f\) reel değerli olduğundan \(f^{-1}(\mathbb{R}) = E\). Boş olmayan her \(I\) aralığı, \(\mathbb{R}\), \((a,\infty)\), \([a,\infty)\) kümelerinden biriyle \(\mathbb{R}\), \((-\infty,b)\), \((-\infty,b]\) kümelerinden birinin kesişimidir. Bunların ters görüntüleri sırasıyla \(E\), \(\{f > a\}\), \(\{f \ge a\}\), \(\{f < b\}\), \(\{f \le b\}\)’dir ve Adım 1’e göre Borel kümeleridir. \(f^{-1}(I)\) bunlardan ikisinin kesişimi olduğundan Borel kümesidir; \(f^{-1}(\varnothing) = \varnothing\) da öyledir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.11 (Borel Ölçülebilir Fonksiyonların Toplamı ve Çarpımı) \(f, g : E \to \mathbb{R}\) Borel ölçülebilir ve \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) olsun. \(\alpha f + \beta g\) ve \(fg\) fonksiyonlarının Borel ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
Teorem 7.4’ın dört adımını Borel kümeleriyle tekrarlıyoruz.
Adım 1: Skaler kat. \(\alpha = 0\) ise \(\{\alpha f < c\}\), \(E\) ya da \(\varnothing\)’dir. \(\alpha > 0\) ise \(\{\alpha f < c\} = \{f < c/\alpha\}\); \(\alpha < 0\) ise \(\{\alpha f < c\} = \{f > c/\alpha\}\) ve bu küme Alıştırma 7.10 gereği Borel kümesidir.
Adım 2: Toplam. Rasyonel sayıların yoğunluğuyla \[ \{f + g < c\} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \Bigl(\{f < q\} \cap \{g < c - q\}\Bigr), \] Borel kümelerinin sayılabilir birleşimidir. Adım 1 ile \(\alpha f + \beta g\) Borel ölçülebilirdir.
Adım 3: Kare. \(c \le 0\) ise \(\{f^2 < c\} = \varnothing\); \(c > 0\) ise \(\{f^2 < c\} = f^{-1}\bigl((-\sqrt c, \sqrt c\,)\bigr)\) ve bu, Alıştırma 7.10 gereği Borel kümesidir.
Adım 4: Çarpım. \(fg = \tfrac12\bigl[(f+g)^2 - f^2 - g^2\bigr]\) olduğundan Adım 1–3 \(fg\)’nin Borel ölçülebilir olduğunu verir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.12 (Borel Ölçülebilirlik Lebesgue Ölçülebilirliği Gerektirir) Borel ölçülebilir her fonksiyonun Lebesgue ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
\(f : E \to \mathbb{R}\) Borel ölçülebilir olsun. Her Borel kümesi ölçülebilirdir (Teorem 2.4). Dolayısıyla tanım kümesi \(E\) ölçülebilirdir ve her \(c\) için Borel kümesi olan \(\{f < c\}\) ölçülebilirdir. Bu tam olarak Tanım 7.2’un koşuludur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.13 (Borel Ölçülebilir Fonksiyonda Borel Kümelerin Ters Görüntüsü) \(f : E \to \mathbb{R}\) Borel ölçülebilir ve \(B\) bir Borel kümesi olsun. \(f^{-1}(B)\)’nin bir Borel kümesi olduğunu gösterin.
Çözüm
\(\Sigma = \{A \subseteq \mathbb{R} : f^{-1}(A) \in \mathcal{B}\}\) olsun.
Adım 1: \(\Sigma\) bir σ-cebiridir. \(f^{-1}(\mathbb{R}) = E \in \mathcal{B}\). \(A \in \Sigma\) ise \(f^{-1}(\mathbb{R} \setminus A) = E \setminus f^{-1}(A)\), iki Borel kümesinin farkı olarak Borel kümesidir. \(A_k \in \Sigma\) ise \[ f^{-1}\bigl(\bigcup_k A_k\bigr) = \bigcup_k f^{-1}(A_k) \in \mathcal{B}. \]
Adım 2: Açık kümeler \(\Sigma\)’dadır. Her açık aralık Alıştırma 7.10 gereği \(\Sigma\)’dadır. Boş olmayan her açık küme, açık aralıkların sayılabilir bir birleşimidir (Lemma 2.3); Adım 1’e göre \(\Sigma\)’dadır. \(f^{-1}(\varnothing) = \varnothing\) olduğundan boş küme de \(\Sigma\)’dadır.
Adım 3: Sonuç. \(\mathcal{B}\), açık kümeleri içeren en küçük σ-cebiri olduğundan (Tanım 2.5) \(\mathcal{B} \subseteq \Sigma\). Yani \(B \in \mathcal{B}\) ise \(f^{-1}(B) \in \mathcal{B}\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.14 (Borel Ölçülebilir Fonksiyonların Bileşkesi) \(f : E \to \mathbb{R}\) ve \(g : D \to \mathbb{R}\) Borel ölçülebilir ve \(g(D) \subseteq E\) olsun. \(f \circ g : D \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun Borel ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
\(f \circ g\)’nin tanım kümesi \(D\), \(g\) Borel ölçülebilir olduğundan bir Borel kümesidir. \(c \in \mathbb{R}\) ve \(S = \{x \in E : f(x) < c\}\) olsun; \(S\) bir Borel kümesidir. \(g(D) \subseteq E\) olduğundan \[ \{y \in D : f(g(y)) < c\} = \{y \in D : g(y) \in S\} = g^{-1}(S). \] Alıştırma 7.13 gereği \(g\) altında Borel kümesinin ters görüntüsü Borel kümesidir. Yani \(\{f \circ g < c\} \in \mathcal{B}\) ve \(f \circ g\) Borel ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.15 (Borel ve Lebesgue Ölçülebilir Fonksiyonun Bileşkesi) \(f : E \to \mathbb{R}\) Borel ölçülebilir, \(g : D \to \mathbb{R}\) Lebesgue ölçülebilir ve \(g(D) \subseteq E\) olsun. \(f \circ g : D \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun Lebesgue ölçülebilir olduğunu gösterin.
Çözüm
\(D\), \(g\) ölçülebilir olduğundan ölçülebilirdir. \(c \in \mathbb{R}\) ve \(S = \{x \in E : f(x) < c\}\) olsun; \(f\) Borel ölçülebilir olduğundan \(S\) bir Borel kümesidir. Önceki çözümdeki gibi \[ \{f \circ g < c\} = g^{-1}(S). \] Alıştırma 7.9 gereği ölçülebilir bir fonksiyon altında Borel kümesinin ters görüntüsü ölçülebilirdir. Yani \(f \circ g\) ölçülebilirdir.
Sıranın önemi: dıştaki fonksiyonun Borel ölçülebilir olması gerekir. Dıştaki yalnız Lebesgue ölçülebilir olduğunda \(S\) Borel kümesi olmayabilir ve sonuç çöker (Örnek 7.2).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.16 (İçte Sürekli Fonksiyonlu Bileşke) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ölçülebilir ve \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f \circ g\) bileşkesi ölçülebilir olmak zorunda mıdır?
Çözüm
Hayır. Örnek 7.2 tam olarak bu durumu kurar: \(\psi\) Cantor kümesini şişiren fonksiyon (Teorem 6.3), \(\widetilde{\psi}\) onun \(\mathbb{R}\)’ye sürekli, kesin artan genişlemesi ve \(A \subseteq [0,1]\), \(\psi(A)\) ölçülebilir olmayan ölçülebilir bir küme olsun.
- \(f = \chi_A\) ölçülebilirdir, çünkü \(A\) ölçülebilirdir (Önerme 7.1).
- \(g = \widetilde{\psi}^{-1}\), \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir.
- \(f \circ g = \chi_{\psi(A)}\) ölçülebilir değildir, çünkü \(\psi(A)\) ölçülebilir değildir.
Sürekli fonksiyon dışta olduğunda ise bileşke her zaman ölçülebilirdir (Teorem 7.5); fark, \(g^{-1}\)’in açık kümeleri açık kümelere götürmesi, ama ölçülebilir kümeleri ölçülebilir kümelere götürmek zorunda olmamasıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 7.17 (Tersi Lipschitz Olan Fonksiyonla Bileşke) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli, kesin artan ve tersi Lipschitz (Tanım 6.5) olan bir fonksiyon olsun. \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ölçülebilir ise \(g \circ f : [a,b] \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun ölçülebilir olduğunu gösterin. (İpucu: Lipschitz bir fonksiyonun \(F_\sigma\) kümelerini ve sıfır ölçülü kümeleri nereye götürdüğüne bakın.)
Çözüm
\(c = f(a)\), \(d = f(b)\) olsun. \(f\) sürekli ve kesin artan olduğundan Ara Değer Teoremi ile \([a,b]\)’yi \([c,d]\)’nin üzerine birebir götürür. \(h = f^{-1} : [c,d] \to [a,b]\) olsun; varsayım gereği bir \(L \ge 0\) için \(|h(u) - h(v)| \le L|u - v|\).
Adım 1: Problemi \(h\)’ye aktarma. \(t \in \mathbb{R}\) ve \(S = \{y \in \mathbb{R} : g(y) < t\}\) olsun; \(S\) ölçülebilirdir. \(x \in [a,b]\) için \(g(f(x)) < t\) olması \(f(x) \in S \cap [c,d]\) olmasıdır; \(f\) ile \(h\) birbirinin tersi olduğundan \[ \{x \in [a,b] : g(f(x)) < t\} = h\bigl(S \cap [c,d]\bigr). \] O hâlde \(h\)’nin \([c,d]\)’nin ölçülebilir alt kümelerini ölçülebilir kümelere götürdüğünü göstermek yeter.
Adım 2: Sıfır ölçülü kümeler. \(Z \subseteq [c,d]\), \(m(Z) = 0\) ve \(\varepsilon > 0\) olsun. \(Z\)’yi \(\sum_k \ell(I_k) < \varepsilon\) olan açık \(I_k\) aralıklarıyla örtelim. \(J_k = I_k \cap [c,d]\) bir aralıktır ve \(u, v \in J_k\) için \[ |h(u) - h(v)| \le L\,|u - v| \le L\,\ell(I_k), \] yani \(h(J_k)\), uzunluğu en fazla \(L\,\ell(I_k)\) olan bir kapalı aralığın içindedir. \(h(Z) \subseteq \bigcup_k h(J_k)\) olduğundan monotonluk, sayılabilir alt toplamsallık (Teorem 1.3) ve Teorem 1.1 ile \[ m^*\bigl(h(Z)\bigr) \le \sum_k L\,\ell(I_k) < L\,\varepsilon . \] \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(m^*(h(Z)) = 0\).
Adım 3: \(F_\sigma\) kümeleri. \(F \subseteq [c,d]\) kapalı ise sınırlı ve kapalı, yani kompakttır; \(h\) sürekli (Lipschitz) olduğundan \(h(F)\) kompakt, dolayısıyla kapalıdır. Görüntü birleşimle yer değiştirdiğinden \([c,d]\)’nin \(F_\sigma\) alt kümelerinin görüntüleri \(F_\sigma\) kümeleridir.
Adım 4: Ölçülebilir kümeler. \(M \subseteq [c,d]\) ölçülebilir olsun. Sonuç 3.1 gereği \(F \subseteq M\) ve \(m(M \setminus F) = 0\) olan bir \(F_\sigma\) kümesi \(F\) vardır. O zaman \[ h(M) = h(F) \cup h(M \setminus F). \] Adım 3’e göre \(h(F)\) bir \(F_\sigma\) kümesi, dolayısıyla ölçülebilir (Teorem 2.4); Adım 2’ye göre \(h(M \setminus F)\) sıfır ölçülü, dolayısıyla ölçülebilirdir (Teorem 1.4). Birleşimleri ölçülebilirdir.
Adım 5: Sonuç. \(S \cap [c,d]\) ölçülebilir olduğundan Adım 4’e göre \(h(S \cap [c,d])\), yani \(\{g \circ f < t\}\) ölçülebilirdir. \([a,b]\) ölçülebilir olduğundan \(g \circ f\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Ölçülebilir fonksiyonların cebirsel işlemlere kapalı olduğunu gördük. Sıradaki bölüm Noktasal Limitler ve Yaklaşım, bu sınıfın limit almaya da kapalı olduğunu ve her ölçülebilir fonksiyona basit fonksiyonlarla yaklaşılabildiğini gösteriyor.