6 Cantor Kümesi ve Cantor Fonksiyonu
Bu bölümde iki klasik örnek kuruyoruz. Birincisi Cantor kümesidir: ölçüsü sıfır olduğu hâlde \([0,1]\) kadar kalabalık, yani sayılamaz bir küme. İkincisi Cantor–Lebesgue fonksiyonudur: sürekli ve artan, \(0\)’dan \(1\)’e çıkan, ama türevi ölçüsü \(1\) olan bir kümede sıfır olan bir fonksiyon.
Bu iki nesneyi bir araya getirince, Lebesgue ölçülebilir olup Borel kümesi olmayan bir küme de elde ederiz. Böylece Borel kümelerinin, ölçülebilir kümelerin gerçekten daha küçük bir ailesi olduğu ortaya çıkar.
6.1 Cantor Kümesi
Cantor kümesi, \([0,1]\) aralığından her adımda kalan aralıkların açık orta üçte birlerini atarak elde edilir.
Tanım 6.1 (Cantor Kümesi) \(C_0 = [0,1]\) olsun. \(C_{k-1}\) ayrık kapalı aralıkların sonlu bir birleşimi olarak elde edilmişse, bu aralıkların her birini üç eş parçaya bölüp ortadaki açık parçayı atarak \(C_k\) kümesini tanımlarız. Örneğin \[ C_1 = \left[0,\tfrac13\right] \cup \left[\tfrac23,1\right], \qquad C_2 = \left[0,\tfrac19\right] \cup \left[\tfrac29,\tfrac13\right] \cup \left[\tfrac23,\tfrac79\right] \cup \left[\tfrac89,1\right]. \] Cantor kümesi (Cantor set) \[ C = \bigcap_{k=1}^{\infty} C_k \] kümesidir. \(C_k\)’yi oluşturan kapalı aralıklara \(k\)-inci aşamanın Cantor aralıkları denir.
Yani Cantor kümesi, orta üçte bir atma işlemi sonsuza kadar sürdürüldüğünde geriye kalan noktalardır. Aşamalar üzerinde tümevarımla iki özellik hemen görülür:
- \(\{C_k\}_{k=1}^{\infty}\), \([0,1]\)’in kapalı alt kümelerinden oluşan azalan bir dizidir: \(C_{k+1} \subseteq C_k\).
- \(C_k\), her birinin uzunluğu \(3^{-k}\) olan \(2^k\) tane ayrık kapalı aralığın birleşimidir ve \(C_k\)’nin her Cantor aralığı, \(C_{k+1}\)’in tam iki Cantor aralığını içerir.
Teorem 6.1 (Cantor Kümesinin Temel Özellikleri) Cantor kümesi \(C\) kapalı, sıfır ölçülü ve sayılamaz bir kümedir.
İspat
Adım 1: Kapalılık ve ölçü. Her \(C_k\) sonlu sayıda kapalı aralığın birleşimi olduğundan kapalıdır; kapalı kümelerin kesişimi de kapalı olduğundan \(C\) kapalıdır. Kapalı kümeler Borel kümesi, dolayısıyla ölçülebilirdir (Teorem 2.4). \(C_k\) uzunluğu \(3^{-k}\) olan \(2^k\) ayrık aralığın birleşimi olduğundan, ölçünün sonlu toplamsallığı (Teorem 4.1) ile \[ m(C_k) = 2^k \cdot 3^{-k} = \left(\tfrac23\right)^k . \] Her \(k\) için \(C \subseteq C_k\) olduğundan monotonluktan \(m(C) \le (2/3)^k\) olur; \(k \to \infty\) için \(m(C) = 0\) bulunur.
Adım 2: Sayılamazlık. Aksini varsayalım ve \(C = \{c_k\}_{k=1}^{\infty}\) bir numaralama olsun. \(C_1\)’in iki Cantor aralığı ayrık olduğundan en az biri \(c_1\)’i içermez; bunu \(F_1\) ile gösterelim. \(F_1\) tam iki Cantor aralığı (\(C_2\)’nin) içerir ve bunlardan en az biri \(c_2\)’yi içermez; bu aralık \(F_2\) olsun. Bu şekilde devam ederek her \(k\) için şu özellikleri taşıyan \(F_k\) aralıkları elde ederiz:
- \(F_k\), \(C_k\)’nin bir Cantor aralığıdır; dolayısıyla kapalı ve sınırlıdır ve \(F_k \subseteq C_k\);
- \(F_{k+1} \subseteq F_k\);
- \(c_k \notin F_k\).
İç içe kapalı ve sınırlı aralıkların kesişimi boş değildir (bkz. Analiz 1: İç İçe Aralıklar Teoremi). O hâlde bir \(x \in \bigcap_{k} F_k\) vardır ve \[ x \in \bigcap_{k=1}^{\infty} F_k \subseteq \bigcap_{k=1}^{\infty} C_k = C . \] Numaralama \(C\)’nin tamamını kapsadığından bir \(n\) için \(x = c_n\) olur. Ama \(x \in F_n\) iken \(c_n \notin F_n\); çelişki. Demek ki \(C\) sayılamaz.
\(\blacksquare\)
Yani ölçü, “kaç nokta var” sorusuna değil “ne kadar yer kaplıyor” sorusuna cevap verir: \(C\) sayılamaz çoklukta nokta içerir ama hiç yer kaplamaz. Cantor kümesinin bir başka yönü de “delikli” oluşudur; bunu ifade eden kavram aşağıdadır.
Tanım 6.2 (Hiçbir Yerde Yoğun Küme) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun. Boş olmayan her \(U\) açık kümesi, \(A\)’dan ayrık ve boş olmayan bir açık alt küme içeriyorsa \(A\)’ya hiçbir yerde yoğun değil (nowhere dense) denir.
Yani \(A\) hangi açık kümeye bakılırsa bakılsın orada bir “boşluk” bırakır. Cantor kümesinin bu özelliği taşıdığını alıştırmalarda göreceğiz.
Orta parçaları daha hızlı küçülterek, Cantor kümesine benzeyen ama pozitif ölçülü kümeler de kurulabilir.
Tanım 6.3 (Genelleştirilmiş Cantor Kümesi) \(0 < \alpha < 1\) olsun. \(F_0 = [0,1]\) ile başlayalım. \(n\)-inci aşamada, \(F_{n-1}\)’i oluşturan \(2^{n-1}\) kapalı aralığın her birinden, o aralıkla aynı orta noktalı ve uzunluğu \(\alpha\, 3^{-n}\) olan açık aralığı atarak \(F_n\)’yi elde edelim. \[ F = \bigcap_{n=1}^{\infty} F_n \] kümesine genelleştirilmiş Cantor kümesi (generalized Cantor set) denir.
Yani Cantor kümesindeki “orta üçte bir” yerine her aşamada toplam boyu daha küçük parçalar atılır. \(F_n\)’deki aralıkların ortak uzunluğu \(L_n\) ise \(L_n = \tfrac12\,(L_{n-1} - \alpha 3^{-n})\) olur; tümevarımla \[ L_n = 2^{-n}(1-\alpha) + \alpha\, 3^{-n} \] bulunur. Buradan \(L_n > \alpha 3^{-n} > \alpha 3^{-(n+1)}\) çıkar; yani bir sonraki aşamada atılacak aralık kalan aralığın içine sığar ve inşa iyi tanımlıdır.
6.2 Cantor–Lebesgue Fonksiyonu
Şimdi Cantor kümesinin tümleyeni üzerinde basamak basamak yükselen, sonra boşlukları doldurarak \([0,1]\)’e yayılan bir fonksiyon kuracağız.
Her \(k\) için \(\mathcal{O}_k = [0,1] \setminus C_k\) olsun; bu, ilk \(k\) aşamada atılan \[ 1 + 2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1 \] tane ayrık açık aralığın birleşimidir. \(\mathcal{O} = \bigcup_{k=1}^{\infty} \mathcal{O}_k\) dersek De Morgan kurallarından \(C = [0,1] \setminus \mathcal{O}\) olur.
\(\mathcal{O}_k\)’nin aralıklarını soldan sağa sıralayalım. \(C_k\)’nin \(2^k\) Cantor aralığı ile \(\mathcal{O}_k\)’nin \(2^k - 1\) aralığı sırayla birbirini izler: en solda ve en sağda birer Cantor aralığı, her iki ardışık atılmış aralık arasında tam bir Cantor aralığı vardır. \((k+1)\)-inci aşamada her Cantor aralığının ortası atıldığından, \(\mathcal{O}_{k+1}\)’de yeni aralıklar eskilerle tek tek sıra değiştirerek yerleşir: \(\mathcal{O}_k\)’nin soldan \(j\)-inci aralığı, \(\mathcal{O}_{k+1}\)’in soldan \(2j\)-inci aralığı olur.
Tanım 6.4 (Cantor–Lebesgue Fonksiyonu) Cantor–Lebesgue fonksiyonu (Cantor–Lebesgue function) \(\varphi : [0,1] \to \mathbb{R}\) şöyle tanımlanır.
- \(\mathcal{O}\) üzerinde: \(x\), \(\mathcal{O}_k\)’nin soldan \(j\)-inci aralığındaysa \(\varphi(x) = j/2^k\).
- \(C\) üzerinde: \(\varphi(0) = 0\) ve \(x \in C \setminus \{0\}\) için \[ \varphi(x) = \sup\{\varphi(t) : t \in \mathcal{O} \cap [0,x)\}. \]
İlk iki aşamada atılan üç aralıkta \[ \varphi(x) = \begin{cases} 1/4 & x \in (1/9,\ 2/9) \text{ ise},\\ 2/4 & x \in (1/3,\ 2/3) \text{ ise},\\ 3/4 & x \in (7/9,\ 8/9) \text{ ise}. \end{cases} \]
Yani \(\varphi\), \(\mathcal{O}_k\)’nin \(2^k - 1\) aralığında soldan sağa \(1/2^k, 2/2^k, \ldots, (2^k - 1)/2^k\) değerlerini alan bir basamak fonksiyonudur ve \(C\)’nin noktalarında soldaki basamakların yüksekliğine eşitlenir. Tanım tutarlıdır: \(\mathcal{O}_k\)’nin \(j\)-inci aralığı \(\mathcal{O}_{k+1}\)’in \(2j\)-inci aralığı olduğundan, o aralığa iki aşamada verilen değerler \(j/2^k = 2j/2^{k+1}\) olarak çakışır. \(C \setminus \{0\}\)’da supremumu alınan küme de boş değildir: \(x \in C\) ve \(3^{-k} < x\) ise \(x \ge 2 \cdot 3^{-k}\) olur ve \((3^{-k}, 2\cdot 3^{-k}) \subseteq \mathcal{O}\) aralığı \(x\)’in solunda kalır.
Teorem 6.2 (Cantor–Lebesgue Fonksiyonunun Özellikleri) Cantor–Lebesgue fonksiyonu \(\varphi : [0,1] \to \mathbb{R}\) artan, süreklidir ve \([0,1]\)’i \([0,1]\)’in üzerine götürür. \(\varphi\), Cantor kümesinin \([0,1]\)’deki tümleyeni olan \(\mathcal{O}\) açık kümesinin her noktasında türevlenebilirdir ve \[ \varphi' = 0 \ \ \mathcal{O} \text{ üzerinde}, \qquad m(\mathcal{O}) = 1, \qquad \varphi(1) > \varphi(0). \]
İspat
Adım 1: \(\mathcal{O}\) üzerinde artanlık. \(s < t\) ve \(s, t \in \mathcal{O}\) olsun. \(\{\mathcal{O}_k\}\) artan olduğundan \(s, t \in \mathcal{O}_k\) olan bir \(k\) vardır. \(s\) ile \(t\) aynı aralıktaysa \(\varphi(s) = \varphi(t)\); değilse \(s\)’nin aralığı soldadır ve \(\varphi(s) < \varphi(t)\).
Adım 2: \([0,1]\) üzerinde artanlık. \(x < y\) olsun.
- \(x, y \in C\) ise \(\mathcal{O} \cap [0,x) \subseteq \mathcal{O} \cap [0,y)\) olduğundan \(\varphi(x) \le \varphi(y)\) (\(x = 0\) ise \(\varphi(x) = 0\) ve \(\varphi \ge 0\) olduğundan yine doğru).
- \(x \in \mathcal{O}\), \(y \in C\) ise \(x \in \mathcal{O} \cap [0,y)\) olduğundan \(\varphi(x) \le \varphi(y)\).
- \(x \in C\), \(y \in \mathcal{O}\) ise \(\mathcal{O} \cap [0,x)\)’teki her \(t\) için \(t < y\) ve Adım 1 gereği \(\varphi(t) \le \varphi(y)\); supremum alınarak \(\varphi(x) \le \varphi(y)\) (\(x = 0\) ise \(\varphi(0) = 0 \le \varphi(y)\), çünkü \(\varphi \ge 0\)).
- \(x, y \in \mathcal{O}\) durumu Adım 1’dir.
Adım 3: Değerler. \(\varphi\)’nin \(\mathcal{O}\)’daki değerleri \((0,1)\) aralığındadır; supremumlar da \([0,1]\)’dedir, yani \(\varphi([0,1]) \subseteq [0,1]\). Ayrıca her \(k\) ve \(1 \le j \le 2^k - 1\) için \(j/2^k\) değeri alınır. Bu ikili kesirler \([0,1]\)’de yoğundur. \(1 \in C\) ve \(\mathcal{O} \cap [0,1) = \mathcal{O}\) olduğundan \[ \varphi(1) = \sup_{k} \frac{2^k - 1}{2^k} = 1 > 0 = \varphi(0). \]
Adım 4: Süreklilik. \(\varphi\) bir \(x_0\) noktasında süreksiz olsun. Artan fonksiyonların tek yönlü limitleri vardır; süreksizlik ancak bir sıçrama olabilir, örneğin \(\varphi(x_0^-) < \varphi(x_0)\) (sağdan sıçrama durumu aynıdır). Artanlıktan \(x < x_0\) için \(\varphi(x) \le \varphi(x_0^-)\), \(x \ge x_0\) için \(\varphi(x) \ge \varphi(x_0)\) olur. Dolayısıyla \(\bigl(\varphi(x_0^-), \varphi(x_0)\bigr)\) açık aralığı \(\varphi\)’nin hiçbir değerini içermez. Oysa bu aralık \([0,1]\)’in boş olmayan açık bir alt aralığıdır ve Adım 3 gereği \(\varphi\)’nin değeri olan bir \(j/2^k\) ikili kesrini içerir; çelişki. O hâlde \(\varphi\) süreklidir.
Adım 5: Örtenlik. \(\varphi\) sürekli, \(\varphi(0) = 0\) ve \(\varphi(1) = 1\) olduğundan Ara Değer Teoremi (bkz. Analiz 1: Ara Değer Teoremi) her \(y \in [0,1]\) değerinin alındığını verir. Adım 3 ile birlikte \(\varphi([0,1]) = [0,1]\).
Adım 6: Türev. \(x \in \mathcal{O}\) ise \(x\), üzerinde \(\varphi\)’nin sabit olduğu açık bir aralığa aittir; bu yüzden \(\varphi'(x)\) vardır ve \(0\)’dır. Son olarak Teorem 6.1 gereği \(m(C) = 0\) olduğundan \(m(\mathcal{O}) = m([0,1]) - m(C) = 1\).
\(\blacksquare\)
Yani \(\varphi\) bütün yükselişini ölçüsü sıfır olan \(C\) kümesinde yapar: hemen her yerde türevi \(0\) olduğu hâlde \(0\)’dan \(1\)’e çıkar. Bu, “türevi hemen her yerde sıfır olan sürekli fonksiyon sabittir” sanısının yanlış olduğunu gösterir.
6.3 Borel Olmayan Ölçülebilir Bir Küme
\(\varphi\)’ye özdeşlik fonksiyonunu eklersek, Cantor kümesini ölçüsü \(1\) olan bir kümeye şişiren, kesin artan sürekli bir fonksiyon elde ederiz.
Teorem 6.3 (Cantor Kümesini Şişiren Fonksiyon) \(\varphi\) Cantor–Lebesgue fonksiyonu olsun ve \(\psi : [0,1] \to \mathbb{R}\) fonksiyonunu \[ \psi(x) = \varphi(x) + x \qquad (x \in [0,1]) \] ile tanımlayalım. \(\psi\), \([0,1]\)’i \([0,2]\)’nin üzerine götüren kesin artan, sürekli bir fonksiyondur ve
- (i) Cantor kümesini pozitif ölçülü bir ölçülebilir kümeye götürür: \(m(\psi(C)) = 1\);
- (ii) Cantor kümesinin ölçülebilir bir alt kümesini ölçülemeyen bir kümeye götürür.
İspat
Adım 1: Temel özellikler. \(\varphi\) artan, \(x \mapsto x\) kesin artan olduğundan \(\psi\) kesin artandır; iki sürekli fonksiyonun toplamı olarak süreklidir. \(\psi(0) = 0\), \(\psi(1) = 2\) olduğundan Ara Değer Teoremi \(\psi([0,1]) = [0,2]\) verir. Kesin artanlık \(\psi\)’yi birebir yapar; yani \(\psi\), \([0,1]\)’den \([0,2]\)’ye bir birebir örtendir.
Adım 2: \(\psi(\mathcal{O})\)’nun ölçüsü. \([0,1] = C \cup \mathcal{O}\) ayrık birleşim ve \(\psi\) birebir örten olduğundan \[ [0,2] = \psi(C) \cup \psi(\mathcal{O}) \quad \text{(ayrık birleşim)}. \tag{1} \] \(\{I_k\}_{k=1}^{\infty}\), atma işleminde atılan bütün açık aralıkların bir numaralaması olsun; \(\mathcal{O} = \bigcup_k I_k\). \(\varphi\), \(I_k\) üzerinde bir \(c_k\) sabitine eşit olduğundan \[ \psi(I_k) = I_k + c_k , \] yani \(\psi(I_k)\), \(I_k\) ile aynı uzunlukta bir açık aralıktır. \(\psi\) birebir olduğundan \(\{\psi(I_k)\}\) ayrıktır. Bu yüzden \(\psi(\mathcal{O})\) açıktır ve sayılabilir toplamsallıktan (Teorem 4.1) \[ m(\psi(\mathcal{O})) = \sum_{k=1}^{\infty} \ell(\psi(I_k)) = \sum_{k=1}^{\infty} \ell(I_k) = m(\mathcal{O}) = 1 . \]
Adım 3: (i)’nin ispatı. \(C\) kapalı ve sınırlı, dolayısıyla kompakt olduğundan \(\psi(C)\) de kompakttır (bkz. Analiz 1: Kompakt Kümenin Sürekli Görüntüsü); yani kapalı ve ölçülebilirdir. (1)’den ve sonlu toplamsallıktan \[ m(\psi(C)) = m([0,2]) - m(\psi(\mathcal{O})) = 2 - 1 = 1 . \]
Adım 4: (ii)’nin ispatı. \(m(\psi(C)) = 1 > 0\) olduğundan, pozitif dış ölçülü her kümenin ölçülemeyen bir alt kümesi vardır sonucu (Teorem 5.1) bir \(W \subseteq \psi(C)\) ölçülemeyen kümesi verir. \(A = \psi^{-1}(W)\) olsun. \(A \subseteq C\) olduğundan \(m^*(A) \le m(C) = 0\); dış ölçüsü sıfır olan küme ölçülebilir olduğundan (Teorem 1.4) \(A\) ölçülebilirdir. \(\psi\) örten olduğundan \(\psi(A) = W\) ölçülemezdir.
\(\blacksquare\)
Yani sürekli, hatta kesin artan bir fonksiyon bile ölçülebilir bir kümeyi ölçülemeyen bir kümeye götürebilir. Aynı \(A\) kümesi, Borel kümelerinin ölçülebilir kümelerin tamamını kapsamadığını da gösterir.
Teorem 6.4 (Borel Olmayan Ölçülebilir Küme) Cantor kümesinin, Borel kümesi olmayan ölçülebilir bir alt kümesi vardır. Dolayısıyla \(\mathcal{B} \subsetneq \mathcal{M}\).
İspat
\(\psi\), \(W\) ve \(A = \psi^{-1}(W)\) önceki teoremdeki gibi olsun (Teorem 6.3). \(A \subseteq C\) ölçülebilirdir; \(A\)’nın Borel kümesi olmadığını göstereceğiz. \(g = \psi^{-1} : [0,2] \to [0,1]\) olsun.
Adım 1: Kapalı kümelerin ters görüntüsü. \(F \subseteq \mathbb{R}\) kapalı olsun. \(\psi\) birebir örten olduğundan \[ g^{-1}(F) = \{y \in [0,2] : g(y) \in F\} = \psi(F \cap [0,1]). \] \(F \cap [0,1]\) kapalı ve sınırlı, yani kompakttır; sürekli \(\psi\) altındaki görüntüsü de kompakt, dolayısıyla kapalıdır. Yani \(g^{-1}(F)\) bir Borel kümesidir.
Adım 2: Borel kümelerinin ters görüntüsü. \(\Sigma = \{B \subseteq \mathbb{R} : g^{-1}(B) \in \mathcal{B}\}\) olsun. \(\Sigma\) bir σ-cebiridir:
- \(g^{-1}(\mathbb{R}) = [0,2] \in \mathcal{B}\);
- \(B \in \Sigma\) ise \(g^{-1}(\mathbb{R} \setminus B) = [0,2] \setminus g^{-1}(B) \in \mathcal{B}\);
- \(B_k \in \Sigma\) ise ters görüntü birleşimle yer değiştirdiğinden \(g^{-1}\bigl(\bigcup_k B_k\bigr) \in \mathcal{B}\).
Adım 1’e göre \(\Sigma\) bütün kapalı kümeleri, tümleyen alınarak da bütün açık kümeleri içerir. \(\mathcal{B}\) açık kümeleri içeren en küçük σ-cebiri olduğundan (Tanım 2.5) \(\mathcal{B} \subseteq \Sigma\) olur: her Borel kümesinin \(g\) altındaki ters görüntüsü Borel kümesidir.
Adım 3: Sonuç. \(A\) bir Borel kümesi olsaydı Adım 2’den \(g^{-1}(A) = \psi(A) = W\) bir Borel kümesi, dolayısıyla ölçülebilir (Teorem 2.4) olurdu. Bu, \(W\)’nin ölçülemez oluşuyla çelişir. O hâlde \(A\) ölçülebilir ama Borel değildir ve \(\mathcal{B} \ne \mathcal{M}\).
\(\blacksquare\)
Sürekli fonksiyonlar ölçülebilirliği korumasa da, daha güçlü bir düzenlilik koşulu altında durum değişir.
Tanım 6.5 (Lipschitz Fonksiyon) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) olsun. Her \(u, v \in [a,b]\) için \[ |f(u) - f(v)| \le c\,|u - v| \] olacak biçimde bir \(c \ge 0\) sabiti varsa \(f\)’ye Lipschitz fonksiyon denir.
Yani \(f\), iki nokta arasındaki uzaklığı en fazla \(c\) katına çıkarır. Bu yüzden küçük kümeleri küçük kümelere götürür; alıştırmalarda Lipschitz fonksiyonların sıfır ölçülü kümeleri sıfır ölçülü, ölçülebilir kümeleri ölçülebilir kümelere götürdüğünü göreceğiz. \(\psi\) ise Lipschitz değildir: sıfır ölçülü \(C\)’yi ölçüsü \(1\) olan bir kümeye götürür.
6.4 Alıştırmalar
Aşağıdaki sorular sürekli fonksiyonların kümeleri nasıl taşıdığını ve Cantor tipi kümelerin beklenmedik özelliklerini inceler.
Alıştırma 6.1 (Kesin Artan Sürekli Fonksiyonun Tersi) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli ve kesin artan olsun. \(f^{-1} : [f(a), f(b)] \to \mathbb{R}\) fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: \(f^{-1}\) tanımlıdır. \(f\) kesin artan olduğundan birebirdir ve \(f([a,b]) \subseteq [f(a), f(b)]\). Ara Değer Teoremi gereği \(f(a)\) ile \(f(b)\) arasındaki her değer alınır; yani \(f\), \([a,b]\)’den \([f(a), f(b)]\)’ye birebir örtendir ve \(g = f^{-1} : [f(a), f(b)] \to [a,b]\) tanımlıdır.
Adım 2: Dizisel süreklilik. \(y_n \to y\) olan \([f(a), f(b)]\)’deki bir dizi alalım; \(x_n = g(y_n)\), \(x = g(y)\) olsun. \(x_n \to x\) olmadığını varsayalım. O zaman bir \(\varepsilon > 0\) ve her terimi \(|x_{n_k} - x| \ge \varepsilon\) koşulunu sağlayan bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır. Bu alt dizi \([a,b]\)’de sınırlı olduğundan Bolzano–Weierstrass teoremiyle yakınsak bir alt dizisi vardır; limiti \(x'\) olsun. \([a,b]\) kapalı olduğundan \(x' \in [a,b]\) ve \(|x' - x| \ge \varepsilon\), yani \(x' \ne x\).
Adım 3: Çelişki. \(f\) sürekli olduğundan bu alt dizi boyunca \(f(x_{n_k}) \to f(x')\). Öte yandan \(f(x_{n_k}) = y_{n_k} \to y = f(x)\). Limit tek olduğundan \(f(x') = f(x)\); \(f\) birebir olduğundan \(x' = x\). Bu çelişki \(x_n \to x\) olduğunu, yani \(g\)’nin \(y\)’de sürekli olduğunu gösterir. \(y\) keyfi olduğundan \(f^{-1}\) süreklidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.2 (Sürekli Fonksiyon ve Kapalı Kümeler) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f\)’nin \([a,b]\)’nin kapalı alt kümelerini kapalı kümelere götürdüğünü gösterin.
Çözüm
\(F \subseteq [a,b]\) kapalı olsun. \(F\) sınırlı (\([a,b]\)’nin içinde) ve kapalı olduğundan Heine–Borel teoremi gereği kompakttır. Kompakt bir kümenin sürekli görüntüsü kompakttır; dolayısıyla \(f(F)\) kompakttır. Yine Heine–Borel teoremi gereği \(\mathbb{R}\)’nin kompakt alt kümeleri kapalıdır. O hâlde \(f(F)\) kapalıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.3 (Sürekli Fonksiyon ve F-sigma Kümeleri) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f\)’nin \([a,b]\)’nin \(F_\sigma\) alt kümelerini \(F_\sigma\) kümelerine götürdüğünü gösterin.
Çözüm
\(E \subseteq [a,b]\) bir \(F_\sigma\) kümesi olsun: \(E = \bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\), her \(F_k\) kapalı. \(F_k \subseteq E \subseteq [a,b]\) olduğundan her \(F_k\), \([a,b]\)’nin kapalı bir alt kümesidir ve Alıştırma 6.2 gereği \(f(F_k)\) kapalıdır. Görüntü birleşimle yer değiştirir: \[ f(E) = f\Bigl(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k\Bigr) = \bigcup_{k=1}^{\infty} f(F_k). \] Bu, sayılabilir çoklukta kapalı kümenin birleşimidir; yani \(f(E)\) bir \(F_\sigma\) kümesidir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.4 (Sürekli Fonksiyon ve Ölçülebilir Kümeler) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(f\) ölçülebilir kümeleri her zaman ölçülebilir kümelere götürür mü?
Çözüm
Hayır. \([a,b] = [0,1]\) alalım ve \(f = \psi\), yani \(\psi(x) = \varphi(x) + x\) olsun; burada \(\varphi\) Cantor–Lebesgue fonksiyonudur. Teorem 6.3 gereği \(\psi\) süreklidir ve Cantor kümesinin öyle bir \(A\) alt kümesi vardır ki \(A\) ölçülebilir (dış ölçüsü sıfır olduğu için), ama \(\psi(A) = W\) ölçülemezdir. Dolayısıyla sürekli bir fonksiyon ölçülebilir bir kümeyi ölçülemeyen bir kümeye götürebilir.
Bu, Alıştırma 6.3 ile çelişmez: sürekli fonksiyonlar \(F_\sigma\) kümelerini korur, ama sıfır ölçülü kümeleri korumayabilir. Nitekim \(\psi\), sıfır ölçülü \(C\)’yi ölçüsü \(1\) olan \(\psi(C)\)’ye götürür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.5 (Lipschitz Fonksiyon ve Sıfır Ölçülü Kümeler) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) Lipschitz olsun (Tanım 6.5). \(f\)’nin sürekli olduğunu ve sıfır ölçülü kümeleri sıfır ölçülü kümelere götürdüğünü gösterin.
Çözüm
\(c \ge 0\) Lipschitz sabiti olsun.
Adım 1: Süreklilik. \(c = 0\) ise \(f\) sabittir, dolayısıyla süreklidir. \(c > 0\) ise \(\varepsilon > 0\) için \(\delta = \varepsilon / c\) alalım: \(|u - v| < \delta\) iken \(|f(u) - f(v)| \le c|u - v| < \varepsilon\). Yani \(f\) (hatta düzgün) süreklidir.
Adım 2: Bir aralığın görüntüsü. \(J \subseteq [a,b]\) bir aralık olsun. \(u, v \in J\) için \(|f(u) - f(v)| \le c\,\ell(J)\) olduğundan \(\sup f(J) - \inf f(J) \le c\,\ell(J)\); yani \(f(J)\), uzunluğu \(c\,\ell(J)\) olan bir kapalı aralığın içindedir. Aralığın dış ölçüsü uzunluğu olduğundan (Teorem 1.1) ve dış ölçü monoton olduğundan \(m^*(f(J)) \le c\,\ell(J)\).
Adım 3: Sıfır ölçülü kümeler. \(E \subseteq [a,b]\) ve \(m^*(E) = 0\) olsun. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Dış ölçünün tanımından (Tanım 1.5) \(E \subseteq \bigcup_k I_k\) ve \(\sum_k \ell(I_k) < \varepsilon\) olan açık aralıklar vardır. \(J_k = I_k \cap [a,b]\) birer aralıktır (boş olabilir), \(\ell(J_k) \le \ell(I_k)\) ve \(E \subseteq \bigcup_k J_k\). Buradan \(f(E) \subseteq \bigcup_k f(J_k)\) olur ve sayılabilir alt toplamsallık (Teorem 1.3) ile Adım 2’den \[ m^*(f(E)) \le \sum_{k=1}^{\infty} m^*(f(J_k)) \le c \sum_{k=1}^{\infty} \ell(I_k) \le c\,\varepsilon . \] \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(m^*(f(E)) = 0\); dış ölçüsü sıfır olan küme ölçülebilir olduğundan (Teorem 1.4) \(m(f(E)) = 0\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.6 (Lipschitz Fonksiyon ve Ölçülebilir Kümeler) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) Lipschitz olsun. \(f\)’nin ölçülebilir kümeleri ölçülebilir kümelere götürdüğünü gösterin. (İpucu: önceki alıştırmaları ve ölçünün iç yaklaşım özelliğini (Teorem 3.1) kullanın.)
Çözüm
Adım 1: Kümeyi ayırmak. \(E \subseteq [a,b]\) ölçülebilir olsun. İçten yaklaşım teoremine göre (Teorem 3.1) her \(n\) için \(F_n \subseteq E\) ve \(m(E \setminus F_n) < 1/n\) olan bir kapalı \(F_n\) kümesi vardır. \(F = \bigcup_n F_n\) bir \(F_\sigma\) kümesidir, \(F \subseteq E\) ve her \(n\) için \(E \setminus F \subseteq E \setminus F_n\) olduğundan \(m(E \setminus F) < 1/n\); yani \(m(E \setminus F) = 0\). \(Z = E \setminus F\) dersek \[ E = F \cup Z, \qquad f(E) = f(F) \cup f(Z). \]
Adım 2: İki parçanın görüntüsü. \(f\) Lipschitz olduğundan süreklidir (Alıştırma 6.5). Alıştırma 6.3 gereği \(f(F)\) bir \(F_\sigma\) kümesidir; \(F_\sigma\) kümeleri Borel kümesi olduğundan ölçülebilirdir (Teorem 2.4). \(m(Z) = 0\) olduğundan Alıştırma 6.5 gereği \(f(Z)\) sıfır ölçülüdür, dolayısıyla ölçülebilirdir.
Adım 3: Sonuç. İki ölçülebilir kümenin birleşimi ölçülebilir olduğundan \(f(E)\) ölçülebilirdir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.7 (Genelleştirilmiş Cantor Kümesi Kapalıdır) \(0 < \alpha < 1\) ve \(F\) genelleştirilmiş Cantor kümesi olsun (Tanım 6.3). \(F\)’nin kapalı olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: İnşa her aşamada yapılabilir. \(F_n\), uzunluğu \(L_n\) olan \(2^n\) ayrık kapalı aralığın birleşimi olsun (\(L_0 = 1\)). \(n\)-inci aşamada uzunluğu \(L_{n-1}\) olan her aralıktan uzunluğu \(\alpha 3^{-n}\) olan orta açık parça atılınca uzunluğu \[ L_n = \tfrac12\left(L_{n-1} - \alpha\, 3^{-n}\right) \] olan iki kapalı aralık kalır. Tümevarımla \(L_n = 2^{-n}(1-\alpha) + \alpha 3^{-n}\) olduğu görülür: \(n = 0\) için \(L_0 = 1\); formül \(n-1\) için doğruysa \[ \begin{aligned} L_n &= \tfrac12\left(2^{-(n-1)}(1-\alpha) + \alpha 3^{-(n-1)} - \alpha 3^{-n}\right)\\[1mm] &= 2^{-n}(1-\alpha) + \tfrac12 \cdot \alpha 3^{-n}(3 - 1) = 2^{-n}(1-\alpha) + \alpha 3^{-n}. \end{aligned} \] Buradan \(L_n > \alpha 3^{-n} > \alpha 3^{-(n+1)}\); yani \((n+1)\)-inci aşamada atılacak parça her aralığın içine sığar ve kalan iki aralığın uzunluğu pozitiftir.
Adım 2: Kapalılık. Her \(F_n\) sonlu sayıda kapalı aralığın birleşimi olduğundan kapalıdır. Kapalı kümelerin herhangi bir ailesinin kesişimi kapalı olduğundan \(F = \bigcap_n F_n\) kapalıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.8 (Genelleştirilmiş Cantor Kümesinin Tümleyeni Yoğundur) \(0 < \alpha < 1\) ve \(F\) genelleştirilmiş Cantor kümesi olsun. \([0,1] \setminus F\) kümesinin \([0,1]\)’de yoğun olduğunu gösterin.
Çözüm
\(x \in [0,1]\) ve \(\varepsilon > 0\) verilsin; \((x - \varepsilon, x + \varepsilon)\)’un \([0,1] \setminus F\)’nin bir noktasını içerdiğini göstereceğiz.
\(x \notin F\) ise \(x\)’in kendisi uygundur. \(x \in F\) olsun. \(F_n\)’nin aralıklarının uzunluğu \(L_n\) için \(L_n = \tfrac12(L_{n-1} - \alpha 3^{-n}) < \tfrac12 L_{n-1}\) olduğundan \(L_n < 2^{-n}\) ve \(L_n \to 0\). \(L_n < \varepsilon\) olan bir \(n\) seçelim. \(x \in F \subseteq F_n\) olduğundan \(x\), \(F_n\)’nin uzunluğu \(L_n\) olan bir \(J\) aralığındadır ve \(J \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon)\). \((n+1)\)-inci aşamada \(J\)’nin ortasından açık bir aralık atılır; bu aralığın noktaları \([0,1] \setminus F\)’dedir ve \(J\)’nin, dolayısıyla \((x - \varepsilon, x + \varepsilon)\)’un içindedir.
Böylece \([0,1]\)’in her noktasının her komşuluğu \([0,1] \setminus F\)’yi keser; yani \([0,1] \setminus F\), \([0,1]\)’de yoğundur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.9 (Genelleştirilmiş Cantor Kümesinin Ölçüsü) \(0 < \alpha < 1\) ve \(F\) genelleştirilmiş Cantor kümesi olsun. \(m(F) = 1 - \alpha\) olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Tümleyen, atılan aralıkların birleşimidir. De Morgan kurallarından \[ [0,1] \setminus F = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigl([0,1] \setminus F_n\bigr), \] ve \([0,1] \setminus F_n\), ilk \(n\) aşamada atılan açık aralıkların birleşimidir. Yani \([0,1] \setminus F\), bütün aşamalarda atılan açık aralıkların birleşimidir; bu aralıklar ikişer ikişer ayrıktır.
Adım 2: Atılan toplam uzunluk. \(n\)-inci aşamada \(2^{n-1}\) aralığın her birinden uzunluğu \(\alpha 3^{-n}\) olan bir parça atılır. Sayılabilir toplamsallıktan (Teorem 4.1) \[ \begin{aligned} m([0,1] \setminus F) &= \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1}\,\alpha\, 3^{-n} = \frac{\alpha}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac23\right)^{n-1}\\[1mm] &= \frac{\alpha}{3} \cdot \frac{1}{1 - 2/3} = \alpha . \end{aligned} \]
Adım 3: Sonuç. \(F\) kapalı olduğundan ölçülebilirdir ve \([0,1] = F \cup ([0,1] \setminus F)\) ayrık birleşimdir. Sonlu toplamsallıktan \[ m(F) = m([0,1]) - m([0,1] \setminus F) = 1 - \alpha . \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.10 (Sınırı Pozitif Ölçülü Açık Küme) Sınırı pozitif ölçülü olan bir açık \(U \subseteq \mathbb{R}\) kümesi bulunduğunu gösterin. (İpucu: bir genelleştirilmiş Cantor kümesinin tümleyenini düşünün.)
Çözüm
\(0 < \alpha < 1\) sabitleyelim, \(F\) genelleştirilmiş Cantor kümesi olsun ve \(U = \mathbb{R} \setminus F\) diyelim. \(F\) kapalı olduğundan (Alıştırma 6.7) \(U\) açıktır. Açık bir kümenin sınırı \(\partial U = \overline{U} \setminus U\)’dur.
Adım 1: \(\overline{U} = \mathbb{R}\). \([0,1]\) dışındaki noktalar \(U\)’dadır. \([0,1]\)’in her noktası, \([0,1] \setminus F \subseteq U\) kümesinin kapanışındadır, çünkü bu küme \([0,1]\)’de yoğundur (Alıştırma 6.8). Dolayısıyla her reel sayı \(U\)’nun kapanışındadır.
Adım 2: Sınırın ölçüsü. \(\partial U = \mathbb{R} \setminus U = F\) olur ve Alıştırma 6.9 gereği \[ m(\partial U) = m(F) = 1 - \alpha > 0 . \] Yani \(U\), sınırı pozitif ölçülü bir açık kümedir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.11 (Cantor Kümesi Hiçbir Yerde Yoğun Değildir) Cantor kümesinin hiçbir yerde yoğun olmadığını (Tanım 6.2) gösterin.
Çözüm
\(U\) boş olmayan bir açık küme olsun. Bir \(x \in U\) ve \((x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U\) olan bir \(\varepsilon > 0\) seçelim; \(3^{-k} < 2\varepsilon\) olan bir \(k\) alalım.
Adım 1: \((x - \varepsilon, x + \varepsilon)\), \(C_k\)’nin içinde değildir. Tersine, bu aralık \(C_k\)’nin içinde olsun. \(C_k\)’nin iki ayrı Cantor aralığının noktalarını içeremez: içerseydi, aralık olduğu için bu iki Cantor aralığının arasındaki (atılmış) boşluğun noktalarını da içerirdi ve bu noktalar \(C_k\)’de değildir. O hâlde aralık tek bir Cantor aralığının içindedir ve uzunluğu \(2\varepsilon \le 3^{-k}\) olurdu; bu, \(k\)’nin seçimiyle çelişir.
Adım 2: Aranan açık küme. \(V = (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \setminus C_k\) olsun. \(C_k\) kapalı olduğundan \(V\) açıktır, Adım 1 gereği boş değildir ve \(V \subseteq U\). \(C \subseteq C_k\) olduğundan \(V \cap C = \varnothing\).
Böylece boş olmayan her açık küme, \(C\)’den ayrık, boş olmayan bir açık alt küme içerir; yani \(C\) hiçbir yerde yoğun değildir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 6.12 (Borel Kümesinin Ters Görüntüsü) \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekli ve \(B\) bir Borel kümesi olsun. \(f^{-1}(B)\)’nin bir Borel kümesi olduğunu gösterin.
Çözüm
Adım 1: Kapalı kümeler. \(F \subseteq \mathbb{R}\) kapalı olsun. \(f^{-1}(F) = \{x \in [a,b] : f(x) \in F\}\) kapalıdır: \(x_n \in f^{-1}(F)\) ve \(x_n \to x\) ise \([a,b]\) kapalı olduğundan \(x \in [a,b]\), süreklilikten \(f(x_n) \to f(x)\) ve \(F\) kapalı olduğundan \(f(x) \in F\). Yani \(f^{-1}(F)\) kapalı, dolayısıyla Borel kümesidir.
Adım 2: Ters görüntüsü Borel olan kümeler. \(\Sigma = \{B \subseteq \mathbb{R} : f^{-1}(B) \in \mathcal{B}\}\) olsun. \(\Sigma\) bir σ-cebiridir:
- \(f^{-1}(\mathbb{R}) = [a,b] \in \mathcal{B}\);
- \(B \in \Sigma\) ise \(f^{-1}(\mathbb{R} \setminus B) = [a,b] \setminus f^{-1}(B) \in \mathcal{B}\);
- \(B_k \in \Sigma\) ise ters görüntü birleşimle yer değiştirdiğinden \(f^{-1}\bigl(\bigcup_k B_k\bigr) \in \mathcal{B}\).
Adım 3: Sonuç. Adım 1’e göre \(\Sigma\) bütün kapalı kümeleri içerir; σ-cebiri olduğu için tümleyenlerini, yani bütün açık kümeleri de içerir. \(\mathcal{B}\) açık kümeleri içeren en küçük σ-cebiri olduğundan (Tanım 2.5) \(\mathcal{B} \subseteq \Sigma\). Demek ki her Borel kümesi \(B\) için \(f^{-1}(B)\) bir Borel kümesidir.
\(\blacksquare\)
Ölçü teorisinin temel kümeleri ve örnekleri böylece tamamlandı. Sıradaki bölümde bakışımızı kümelerden fonksiyonlara çeviriyor ve Ölçülebilir Fonksiyonlar kavramını tanımlıyoruz.