9 Vektörel ve Karma Çarpım
İç çarpım iki vektörden bir sayı üretir ve bize açıyı, uzunluğu, dikliği verir. Uzayda çok sık karşılaşılan bir başka soru ise şudur: verilen iki vektörün ikisine birden dik olan bir vektör nasıl bulunur? Bu sorunun cevabı vektörel çarpımdır. Vektörel çarpım iki vektörden yeni bir vektör üretir; bu vektör hem iki vektöre diktir hem de uzunluğu, iki vektörün belirlediği paralelkenarın alanına eşittir.
Vektörel çarpımı bir iç çarpımla birleştirince karma çarpım elde edilir: üç vektörden bir sayı. Bu sayı, üç vektörün üzerine kurulan paralelyüzün hacmini verir ve üç vektörün aynı düzleme paralel olup olmadığını tek bir determinantla söyler. Bölümün sonunda düzleme dönüp bu kavramlardan hangilerinin düzlemde anlamlı olduğunu tartışacağız.
9.1 Vektörel Çarpım
Vektörel çarpımı bir determinant yardımıyla tanımlayacağız. Birinci satırına standart baz vektörleri \(e_1, e_2, e_3\) yazılan bu determinant gerçek bir sayı determinantı değildir; onu, birinci satıra göre açtığımızda ortaya çıkan ifadeyi kısaca yazmanın bir yolu olarak düşünmek gerekir.
Tanım 9.1 (Vektörel çarpım) \(u = u_1e_1 + u_2e_2 + u_3e_3\) ve \(v = v_1e_1 + v_2e_2 + v_3e_3\), \(\mathbb{R}^3\)’te iki vektör olsun. \[ \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3, \qquad (u, v) \longmapsto u \times v \] işlemi \[ u \times v = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \] determinantıyla, yani bu determinantın birinci satıra göre Laplace açılımıyla \[ \begin{aligned} u \times v ={}& (u_2v_3 - u_3v_2)\,e_1 + (u_3v_1 - u_1v_3)\,e_2 \\ &+ (u_1v_2 - u_2v_1)\,e_3 \end{aligned} \] olarak tanımlansın. Bu işleme \(\mathbb{R}^3\)’te vektörel çarpım, \(u \times v\) vektörüne de \(u\) ile \(v\)’nin vektörel çarpımı denir.
Yani \(u \times v\) bir sayı değil, \(\mathbb{R}^3\)’te bir vektördür. Koordinatlarla yazarsak \[ u \times v = \big(u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1\big) \] olur. Her bileşen bir \(2 \times 2\) determinanttır. Bileşenlerdeki indislere dikkat edin: birinci bileşende \(2, 3\); ikincide \(3, 1\); üçüncüde \(1, 2\) indisleri kullanılır. Yani indisler \(1 \to 2 \to 3 \to 1\) biçiminde döngüsel olarak kayar. Bu gözlemi ispatlarda sık sık kullanacağız.
- \(u\)’nun koordinatlarını üst satıra, \(v\)’nin koordinatlarını alt satıra yazın.
- Birinci bileşen için birinci sütunu kapatın ve kalan \(2 \times 2\) determinantı hesaplayın. Üçüncü bileşen için üçüncü sütunu kapatıp aynısını yapın.
- İkinci bileşen için ikinci sütunu kapatın, kalan \(2 \times 2\) determinantı hesaplayın ve işaretini değiştirin. Bu işaret, Laplace açılımındaki \(+,-,+\) işaret düzeninden gelir.
Örnek 9.1 (Standart baz vektörlerinin vektörel çarpımları) \(e_1 \times e_2\), \(e_2 \times e_3\) ve \(e_3 \times e_1\) vektörlerini hesaplayalım.
Çözüm
\(e_1 = (1, 0, 0)\), \(e_2 = (0, 1, 0)\), \(e_3 = (0, 0, 1)\) olduğundan tanımdaki formül doğrudan uygulanır: \[ \begin{aligned} e_1 \times e_2 &= (0\cdot 0 - 0\cdot 1,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - 0\cdot 0) \\ &= (0, 0, 1) = e_3, \\[1mm] e_2 \times e_3 &= (1\cdot 1 - 0\cdot 0,\; 0\cdot 0 - 0\cdot 1,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 0) \\ &= (1, 0, 0) = e_1, \\[1mm] e_3 \times e_1 &= (0\cdot 0 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - 0\cdot 0,\; 0\cdot 0 - 0\cdot 1) \\ &= (0, 1, 0) = e_2. \end{aligned} \] Yani \(e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1\) döngüsünde ardışık iki baz vektörünün vektörel çarpımı, döngüdeki bir sonraki baz vektörüdür. Her sonuç, çarpılan iki vektörün ikisine de diktir.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.2 (İlk vektörel çarpım hesabı) \(u = (1, 2, 3)\) ve \(v = (4, 5, 6)\) için \(u \times v\)’yi bulalım ve sonucun hem \(u\)’ya hem \(v\)’ye dik olduğunu doğrulayalım.
Çözüm
Üç adımlı reçeteyi uygulayalım. Üst satır \((1, 2, 3)\), alt satır \((4, 5, 6)\):
- Birinci sütun kapatılınca \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 12 - 15 = -3\).
- İkinci sütun kapatılınca \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 6 - 12 = -6\); işareti değişir ve \(6\) olur.
- Üçüncü sütun kapatılınca \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3\).
Buna göre \[ u \times v = (-3, 6, -3) \] bulunur. Diklik için iç çarpımlara bakalım: \[ \begin{aligned} \langle u \times v, u\rangle &= (-3)\cdot 1 + 6\cdot 2 + (-3)\cdot 3 = -3 + 12 - 9 = 0, \\ \langle u \times v, v\rangle &= (-3)\cdot 4 + 6\cdot 5 + (-3)\cdot 6 = -12 + 30 - 18 = 0. \end{aligned} \] İki iç çarpım da sıfır olduğundan \(u \times v\), hem \(u\)’ya hem \(v\)’ye diktir.
\(\blacksquare\)
Vektörel Çarpımın Özellikleri
Vektörel çarpımın cebirsel kurallarını, tanımdaki determinantın özelliklerinden okuyabiliriz. Sembolik determinantta her bileşen bir \(2 \times 2\) alt determinant olduğundan, satırların yer değiştirmesi, bir satırın bir sayıyla çarpılması ya da bir satırın iki satırın toplamı olarak yazılması gibi kurallar aynen geçerlidir.
Teorem 9.1 (Vektörel çarpımın özellikleri) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) olsun. Bu durumda
i) \(u \times v = -\,v \times u\),
ii) \(u \times u = 0\),
iii) \((\lambda u) \times v = \lambda (u \times v) = u \times (\lambda v)\),
iv) \(u \times (v + w) = u \times v + u \times w\),
v) \((u + v) \times w = u \times w + v \times w\),
vi) \(u \times v \perp u\) ve \(u \times v \perp v\)
dir.
İspat
i) Bir determinantta iki satırın yeri değişirse determinantın işareti değişir. İkinci ve üçüncü satırları değiştirirsek \[ u \times v = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = -\,v \times u \] bulunur.
ii) İki satırı aynı olan bir determinant sıfırdır. \(u \times u\)’nun determinantında ikinci ve üçüncü satırlar aynı olduğundan \(u \times u = 0\) olur. Bunu i)’den de görebiliriz: \(u \times u = -\,u \times u\) ise \(2(u \times u) = 0\), yani \(u \times u = 0\) dır.
iii) Bir satırın bütün elemanları \(\lambda\) ile çarpılırsa determinant da \(\lambda\) ile çarpılır: \[ (\lambda u) \times v = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ \lambda u_1 & \lambda u_2 & \lambda u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \lambda \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \lambda (u \times v). \] Aynı kural üçüncü satıra uygulanırsa \[ u \times (\lambda v) = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ \lambda v_1 & \lambda v_2 & \lambda v_3 \end{vmatrix} = \lambda (u \times v) \] elde edilir.
iv) Bir satırı iki satırın toplamı olan determinant, o satır yerine sırasıyla toplananlar yazılarak elde edilen iki determinantın toplamıdır: \[ \begin{aligned} u \times (v + w) &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 + w_1 & v_2 + w_2 & v_3 + w_3 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \\[1mm] &= u \times v + u \times w. \end{aligned} \]
v) Aynı kural bu kez ikinci satıra uygulanır: \[ \begin{aligned} (u + v) \times w &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 + v_1 & u_2 + v_2 & u_3 + v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \\[1mm] &= u \times w + v \times w. \end{aligned} \]
vi) İç çarpımı koordinatlarla hesaplayalım: \[ \begin{aligned} \langle u \times v, u\rangle &= (u_2v_3 - u_3v_2)u_1 + (u_3v_1 - u_1v_3)u_2 \\ &\quad + (u_1v_2 - u_2v_1)u_3 \\[1mm] &= u_1u_2v_3 - u_1u_3v_2 + u_2u_3v_1 \\ &\quad - u_1u_2v_3 + u_1u_3v_2 - u_2u_3v_1 \\[1mm] &= 0. \end{aligned} \] İkinci satırdaki her terim, işareti ters olarak bir kez daha geçtiği için terimler ikişer ikişer sadeleşir. Demek ki \(u \times v \perp u\) dur. Benzer biçimde \[ \begin{aligned} \langle u \times v, v\rangle &= (u_2v_3 - u_3v_2)v_1 + (u_3v_1 - u_1v_3)v_2 \\ &\quad + (u_1v_2 - u_2v_1)v_3 \\[1mm] &= u_2v_1v_3 - u_3v_1v_2 + u_3v_1v_2 \\ &\quad - u_1v_2v_3 + u_1v_2v_3 - u_2v_1v_3 \\[1mm] &= 0 \end{aligned} \] olduğundan \(u \times v \perp v\) dir.
\(\blacksquare\)
- özelliğine göre vektörel çarpım değişmeli değildir: çarpanların sırası değişince sonuç ters yöne döner. Örneğin Örnek 9.1 ile birlikte \(e_2 \times e_1 = -e_3\), \(e_3 \times e_2 = -e_1\) ve \(e_1 \times e_3 = -e_2\) bulunur.
Sonuç 9.1 (Lineer bağımlı iki vektörün vektörel çarpımı) \(u, v \in \mathbb{R}^3\) lineer bağımlı olsun; yani ikisi birden sıfır olmayan \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\) sayıları için \[ \lambda_1 u + \lambda_2 v = 0 \] bağıntısı sağlansın. Bu durumda \(u \times v = 0\) dır.
İspat
\(\lambda_1 \neq 0\) olduğunu varsayalım. Bu durumda \(u = \mu v\) yazılabilir; burada \(\mu = -\lambda_2/\lambda_1\) dir. Teorem 9.1 iii) ve ii)’den \[ u \times v = (\mu v) \times v = \mu\,(v \times v) = \mu \cdot 0 = 0 \] bulunur. \(\lambda_1 = 0\) ise \(\lambda_2 \neq 0\) olmak zorundadır ve bu kez \(v = \nu u\), \(\nu = -\lambda_1/\lambda_2\) yazılır. Yine aynı özelliklerden \[ u \times v = u \times (\nu u) = \nu\,(u \times u) = 0 \] çıkar.
\(\blacksquare\)
Yani paralel iki vektörün, ya da biri sıfır vektörü olan iki vektörün vektörel çarpımı sıfırdır. Bu sonucun tersinin de doğru olduğunu aşağıda göreceğiz (Önerme 9.3).
9.2 Üçlü Özdeşlik
Vektörel çarpım iki vektörden bir vektör ürettiğine göre, sonucu üçüncü bir vektörle yeniden vektörel çarpabiliriz. Böyle “iç içe” vektörel çarpımlar, iç çarpımlar cinsinden çok düzgün bir biçimde yazılabilir.
Teorem 9.2 (Üçlü özdeşlik) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) olsun. Bu durumda
i) \[u \times (v \times w) = \langle u, w\rangle\, v - \langle u, v\rangle\, w,\]
ii) \[(u \times v) \times w = \langle u, w\rangle\, v - \langle v, w\rangle\, u\]
dur.
İspat
i) \(t = v \times w\) diyelim. Tanıma göre \[ t = (t_1, t_2, t_3) = (v_2w_3 - v_3w_2,\; v_3w_1 - v_1w_3,\; v_1w_2 - v_2w_1) \] ve \[ u \times t = (u_2t_3 - u_3t_2,\; u_3t_1 - u_1t_3,\; u_1t_2 - u_2t_1) \] dir. Önce birinci bileşeni hesaplayalım. \(t_3\) ile \(t_2\) yerine yazılırsa \[ \begin{aligned} u_2t_3 - u_3t_2 &= u_2(v_1w_2 - v_2w_1) - u_3(v_3w_1 - v_1w_3) \\ &= u_2v_1w_2 - u_2v_2w_1 - u_3v_3w_1 + u_3v_1w_3 \\ &= v_1(u_2w_2 + u_3w_3) - w_1(u_2v_2 + u_3v_3) \end{aligned} \] olur. Son satıra \(u_1v_1w_1\) terimini bir kez ekleyip bir kez çıkaralım; eklenen terimi ilk parantezin, çıkarılanı ikinci parantezin içine alalım: \[ \begin{aligned} u_2t_3 - u_3t_2 &= v_1(u_1w_1 + u_2w_2 + u_3w_3) \\ &\quad - w_1(u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) \\ &= v_1\langle u, w\rangle - w_1\langle u, v\rangle. \end{aligned} \] Diğer iki bileşen için hesabı yinelemeye gerek yok. Vektörel çarpımın formülü, indisleri döngüsel olarak kaydırdığımızda (\(1 \to 2 \to 3 \to 1\)) değişmez: birinci bileşen ikinciye, ikinci üçüncüye, üçüncü birinciye dönüşür. İç çarpım \(\langle u, w\rangle = u_1w_1 + u_2w_2 + u_3w_3\) ise bu kaydırmada hiç değişmez. Bu yüzden yukarıdaki hesapta indisleri bir kez kaydırınca ikinci bileşen, iki kez kaydırınca üçüncü bileşen elde edilir: \[ \begin{aligned} u_3t_1 - u_1t_3 &= v_2\langle u, w\rangle - w_2\langle u, v\rangle, \\ u_1t_2 - u_2t_1 &= v_3\langle u, w\rangle - w_3\langle u, v\rangle. \end{aligned} \] Üç bileşeni bir araya getirirsek \[ \begin{aligned} u \times (v \times w) &= \langle u, w\rangle (v_1, v_2, v_3) - \langle u, v\rangle (w_1, w_2, w_3) \\ &= \langle u, w\rangle\, v - \langle u, v\rangle\, w \end{aligned} \] bulunur.
ii) Teorem 9.1 i)’yi ve ardından bu teoremin i) şıkkını (\(u\) yerine \(w\), \(v\) yerine \(u\), \(w\) yerine \(v\) yazarak) kullanalım: \[ \begin{aligned} (u \times v) \times w &= -\,w \times (u \times v) \\ &= -\big(\langle w, v\rangle\, u - \langle w, u\rangle\, v\big) \\ &= \langle w, u\rangle\, v - \langle w, v\rangle\, u \\ &= \langle u, w\rangle\, v - \langle v, w\rangle\, u. \end{aligned} \] Son adımda iç çarpımın simetri özelliğini kullandık.
\(\blacksquare\)
Yani \(u \times (v \times w)\) vektörü, \(v\) ile \(w\)’nin lineer bileşimidir; dolayısıyla \(v\) ile \(w\)’nin belirlediği düzleme paraleldir. Bu şaşırtıcı değildir: \(u \times (v \times w)\), \(v \times w\)’ye diktir ve \(v\) ile \(w\) lineer bağımsız olduğunda \(v \times w\)’ye dik olan vektörler tam olarak \(v\) ile \(w\)’nin düzlemine paralel olan vektörlerdir. Aynı biçimde \((u \times v) \times w\) da \(u\) ile \(v\)’nin lineer bileşimidir.
Örnek 9.3 (Üçlü özdeşliği bir örnekte görmek) \(u = (1, 1, 2)\), \(v = (2, 0, 0)\) ve \(w = (1, 2, 0)\) için \(u \times (v \times w)\)’yi önce doğrudan, sonra üçlü özdeşlikle hesaplayalım.
Çözüm
Doğrudan hesap. Önce \[ v \times w = (0\cdot 0 - 0\cdot 2,\; 0\cdot 1 - 2\cdot 0,\; 2\cdot 2 - 0\cdot 1) = (0, 0, 4) \] bulunur. Sonra \[ \begin{aligned} u \times (v \times w) &= (1, 1, 2) \times (0, 0, 4) \\ &= (1\cdot 4 - 2\cdot 0,\; 2\cdot 0 - 1\cdot 4,\; 1\cdot 0 - 1\cdot 0) \\ &= (4, -4, 0) \end{aligned} \] elde edilir.
Üçlü özdeşlikle. \(\langle u, w\rangle = 1 + 2 + 0 = 3\) ve \(\langle u, v\rangle = 2 + 0 + 0 = 2\) olduğundan \[ \begin{aligned} u \times (v \times w) &= 3v - 2w = (6, 0, 0) - (2, 4, 0) \\ &= (4, -4, 0) \end{aligned} \] bulunur. İki yol aynı sonucu verir. \(v\) ile \(w\), \(XY\) düzlemindedir ve sonuç da, beklendiği gibi, \(XY\) düzleminde kalır.
\(\blacksquare\)
Vektörel çarpım birleşmeli de değildir: \(u \times (v \times w)\) ile \((u \times v) \times w\) genellikle farklıdır. Üçlü özdeşliğin iki şıkkı zaten farklı ifadeler verir; aşağıdaki örnek bunu en sade biçimde gösterir.
Örnek 9.4 (Vektörel çarpım birleşmeli değildir) \(e_1 \times (e_1 \times e_2)\) ile \((e_1 \times e_1) \times e_2\) vektörlerini karşılaştıralım.
Çözüm
Standart baz vektörleri için \(e_1 \times e_2 = e_3\) ve \(e_3 \times e_1 = e_2\) dir (Örnek 9.1). Teorem 9.1 i)’den \[ e_1 \times (e_1 \times e_2) = e_1 \times e_3 = -\,e_3 \times e_1 = -e_2 \] bulunur. Öte yandan Teorem 9.1 ii)’den \(e_1 \times e_1 = 0\) olduğundan \[ (e_1 \times e_1) \times e_2 = 0 \times e_2 = 0 \] dır. \(-e_2 \neq 0\) olduğundan iki ifade farklıdır. Demek ki vektörel çarpımda parantezlerin yeri önemlidir.
\(\blacksquare\)
9.3 Karma Çarpım
Üç vektörün koordinatlarını bir determinantın satırlarına yazarak bir sayı elde edebiliriz. Bu sayı, birazdan göreceğimiz gibi, hem bir vektörel çarpımı hem bir iç çarpımı içerir.
Tanım 9.2 (Karma çarpım) \(u = (u_1, u_2, u_3)\), \(v = (v_1, v_2, v_3)\) ve \(w = (w_1, w_2, w_3)\), \(\mathbb{R}^3\)’te üç vektör olsun. \[ [\;\cdot\;, \;\cdot\;, \;\cdot\;] : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} \] \[ (u, v, w) \longmapsto [u, v, w] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \] biçiminde tanımlanan işleme karma çarpım, \([u, v, w]\) sayısına da \(u\), \(v\), \(w\) vektörlerinin karma çarpımı denir.
Yani karma çarpım, satırları sırasıyla \(u\), \(v\), \(w\) olan \(3 \times 3\) determinanttır ve sonucu bir sayıdır. İşleme “karma” denmesinin nedeni aşağıdaki önermededir: bu sayı, bir vektörel çarpım ile bir iç çarpımın art arda yapılmasıyla elde edilir.
Önerme 9.1 (Karma çarpım, bir vektörel ve bir iç çarpımdır) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) için \[ [u, v, w] = \langle u \times v, w\rangle = \langle w, u \times v\rangle \] dir.
İspat
Determinantı üçüncü satırına göre açalım. İşaret düzeni üçüncü satırda \(+, -, +\) olduğundan \[ \begin{aligned} [u, v, w] &= w_1 \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} - w_2 \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} + w_3 \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \\[1mm] &= w_1(u_2v_3 - u_3v_2) + w_2(u_3v_1 - u_1v_3) \\ &\quad + w_3(u_1v_2 - u_2v_1) \end{aligned} \] bulunur. Parantezlerin içindekiler sırasıyla \(u \times v\)’nin birinci, ikinci ve üçüncü bileşenleridir. Dolayısıyla bu toplam, \(w\) ile \(u \times v\)’nin iç çarpımıdır: \[ [u, v, w] = \langle w, u \times v\rangle = \langle u \times v, w\rangle. \] Son eşitlik iç çarpımın simetri özelliğidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.5 (Karma çarpımı iki yoldan hesaplamak) \(u = (1, 0, 2)\), \(v = (2, 1, 0)\) ve \(w = (0, 3, 1)\) için \([u, v, w]\)’yi hem determinantla hem de \(\langle u \times v, w\rangle\) ile hesaplayalım.
Çözüm
Determinantla. Birinci satıra göre açarsak \[ \begin{aligned} [u, v, w] &= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\[1mm] &= 1\,(1\cdot 1 - 0\cdot 3) - 0\,(2\cdot 1 - 0\cdot 0) + 2\,(2\cdot 3 - 1\cdot 0) \\ &= 1 - 0 + 12 = 13 \end{aligned} \] bulunur.
Vektörel ve iç çarpımla. Önce \[ u \times v = (0\cdot 0 - 2\cdot 1,\; 2\cdot 2 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - 0\cdot 2) = (-2, 4, 1) \] ve sonra \[ \langle u \times v, w\rangle = (-2)\cdot 0 + 4\cdot 3 + 1\cdot 1 = 13 \] elde edilir. İki yol aynı sonucu verir: \([u, v, w] = 13\).
\(\blacksquare\)
Karma Çarpımın Özellikleri
Karma çarpım bir determinant olduğu için özellikleri de determinantın satır işlemlerinden gelir. Bazı adımlarda karma çarpımın \(\langle u \times v, w\rangle\) biçimindeki yazılışını (Önerme 9.1) kullanmak daha kısadır.
Teorem 9.3 (Karma çarpımın özellikleri) \(u, v, w, t \in \mathbb{R}^3\) ve \(\lambda \in \mathbb{R}\) olsun.
i) Döngüsel sıra değişiminde karma çarpım değişmez, iki vektörün yeri değişince işaret değiştirir: \[ [u, v, w] = [w, u, v] = [v, w, u], \] \[ [u, v, w] = -[u, w, v] = -[w, v, u] = -[v, u, w]. \]
ii) İki vektörü aynı olan karma çarpım sıfırdır: \[ [u, u, v] = [u, v, u] = [u, v, v] = 0. \]
iii) Bir bileşendeki sayı çarpanı dışarı çıkar: \[ \lambda [u, v, w] = [\lambda u, v, w] = [u, \lambda v, w] = [u, v, \lambda w]. \]
iv) Karma çarpım her bileşende toplamsaldır: \[ \begin{aligned} [u + t, v, w] &= [u, v, w] + [t, v, w], \\ [u, v + t, w] &= [u, v, w] + [u, t, w], \\ [u, v, w + t] &= [u, v, w] + [u, v, t]. \end{aligned} \]
İspat
i) İki satırın yeri değişince determinantın işareti değişir. Önce ikinci ile üçüncü satırı, sonra birinci ile ikinci satırı değiştirelim: \[ [u, v, w] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}. \] Ortadaki determinant \([u, w, v]\), sağdaki \([w, u, v]\) dir. Böylece hem \([u, v, w] = -[u, w, v]\) hem de \([u, v, w] = [w, u, v]\) bulunur. Aynı iki adımı \([w, u, v]\)’ye uygularsak \[ [w, u, v] = \begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} \] olur; yani \([w, u, v] = [v, w, u]\) dır. Birinci ile ikinci satırı değiştirirsek \[ [u, v, w] = -\begin{vmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = -[v, u, w], \] birinci ile üçüncü satırı değiştirirsek \[ [u, v, w] = -\begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = -[w, v, u] \] elde edilir.
ii) Önerme 9.1 ile Teorem 9.1 ii) ve vi)’yı kullanalım: \[ \begin{aligned} [u, u, v] &= \langle u \times u, v\rangle = \langle 0, v\rangle = 0, \\ [u, v, u] &= \langle u \times v, u\rangle = 0, \\ [u, v, v] &= \langle u \times v, v\rangle = 0. \end{aligned} \] İkinci ve üçüncü satırlarda sıfır, \(u \times v\)’nin hem \(u\)’ya hem \(v\)’ye dik olmasından gelir.
iii) Önerme 9.1, iç çarpımın doğrusallığı ve Teorem 9.1 iii)’den \[ \begin{aligned} \lambda [u, v, w] &= \lambda \langle u \times v, w\rangle = \langle \lambda (u \times v), w\rangle \\ &= \langle (\lambda u) \times v, w\rangle = [\lambda u, v, w] \end{aligned} \] bulunur. Aynı zincirde \(\lambda (u \times v) = u \times (\lambda v)\) yazılırsa \(\lambda [u, v, w] = [u, \lambda v, w]\) çıkar. Son olarak iç çarpımın ikinci bileşende de doğrusal olmasından \[ \lambda [u, v, w] = \langle u \times v, \lambda w\rangle = [u, v, \lambda w] \] elde edilir.
iv) Teorem 9.1 v)’den \((u + t) \times v = u \times v + t \times v\) olduğundan \[ \begin{aligned} [u + t, v, w] &= \langle (u + t) \times v, w\rangle \\ &= \langle u \times v + t \times v, w\rangle \\ &= \langle u \times v, w\rangle + \langle t \times v, w\rangle \\ &= [u, v, w] + [t, v, w] \end{aligned} \] bulunur. İkinci eşitlik için bu kez Teorem 9.1 iv)’ü kullanırız: \[ \begin{aligned} [u, v + t, w] &= \langle u \times v + u \times t, w\rangle \\ &= [u, v, w] + [u, t, w]. \end{aligned} \] Üçüncüsü doğrudan iç çarpımın toplamsallığıdır: \[ \begin{aligned} [u, v, w + t] &= \langle u \times v, w + t\rangle \\ &= \langle u \times v, w\rangle + \langle u \times v, t\rangle \\ &= [u, v, w] + [u, v, t]. \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Yani karma çarpım, her bileşeninde ayrı ayrı doğrusaldır; üç vektörün sırasını döngüsel olarak kaydırmak sonucu değiştirmez, iki vektörün yerini değiştirmek yalnızca işaretini değiştirir. Özellikle i) şıkkı ile Önerme 9.1 birleşince \[ \langle u \times v, w\rangle = [u, v, w] = [v, w, u] = \langle u, v \times w\rangle \] bulunur: karma çarpımda “\(\times\)” ile iç çarpımın yerleri değiştirilebilir.
9.4 Lagrange, Dörtlü ve Gram Özdeşlikleri
Üçlü özdeşlik ile karma çarpımın özellikleri bir araya gelince, vektörel çarpımların iç çarpımları ve karma çarpımların çarpımları için kullanışlı formüller elde edilir. Bu formüller, uzunluk ve açı hesaplarının temelidir.
Teorem 9.4 (Lagrange özdeşliği) \(u, v, w, t \in \mathbb{R}^3\) olmak üzere \[ \langle u \times v, w \times t\rangle = \begin{vmatrix} \langle u, w\rangle & \langle u, t\rangle \\ \langle v, w\rangle & \langle v, t\rangle \end{vmatrix} \] dir.
İspat
\(z = w \times t\) diyelim. Önerme 9.1 ve Teorem 9.3 i)’deki döngüsel kaydırmayla \[ \langle u \times v, z\rangle = [u, v, z] = [z, u, v] = \langle z \times u, v\rangle \] yazılır. Burada \(z \times u = (w \times t) \times u\) vektörüne Teorem 9.2 ii)’yi (\(u\) yerine \(w\), \(v\) yerine \(t\), \(w\) yerine \(u\) yazarak) uygulayalım: \[ (w \times t) \times u = \langle w, u\rangle\, t - \langle t, u\rangle\, w. \] Bunu yerine koyup iç çarpımın doğrusallığını ve simetrisini kullanırsak \[ \begin{aligned} \langle u \times v, w \times t\rangle &= \big\langle \langle w, u\rangle\, t - \langle t, u\rangle\, w,\; v\big\rangle \\ &= \langle w, u\rangle \langle t, v\rangle - \langle t, u\rangle \langle w, v\rangle \\ &= \langle u, w\rangle \langle v, t\rangle - \langle u, t\rangle \langle v, w\rangle \\[1mm] &= \begin{vmatrix} \langle u, w\rangle & \langle u, t\rangle \\ \langle v, w\rangle & \langle v, t\rangle \end{vmatrix} \end{aligned} \] elde edilir.
\(\blacksquare\)
Lagrange özdeşliğinin en önemli kullanımı, bir vektörel çarpımın uzunluğunu iç çarpımlarla hesaplamaktır.
Sonuç 9.2 (Vektörel çarpımın uzunluğu) \(u, v \in \mathbb{R}^3\) olsun. Bu durumda
i) \[\|u \times v\|^2 = \langle u, u\rangle \langle v, v\rangle - \langle u, v\rangle^2,\]
ii) \(u\) ile \(v\) sıfırdan farklı ve aralarındaki açı \(\theta\) ise \(\|u \times v\| = \|u\|\,\|v\| \sin\theta\)
dır.
İspat
i) Lagrange özdeşliğinde \(w\) yerine \(u\), \(t\) yerine \(v\) yazalım. Sol taraf \(\langle u \times v, u \times v\rangle = \|u \times v\|^2\) olur ve \[ \|u \times v\|^2 = \begin{vmatrix} \langle u, u\rangle & \langle u, v\rangle \\ \langle v, u\rangle & \langle v, v\rangle \end{vmatrix} = \langle u, u\rangle \langle v, v\rangle - \langle u, v\rangle^2 \] bulunur.
ii) \(\langle u, u\rangle = \|u\|^2\), \(\langle v, v\rangle = \|v\|^2\) ve \(\langle u, v\rangle = \|u\|\,\|v\| \cos\theta\) olduğundan i)’den \[ \begin{aligned} \|u \times v\|^2 &= \|u\|^2 \|v\|^2 - \big(\|u\|\,\|v\| \cos\theta\big)^2 \\ &= \|u\|^2 \|v\|^2 - \|u\|^2 \|v\|^2 \cos^2\theta \\ &= \|u\|^2 \|v\|^2 (1 - \cos^2\theta) \\ &= \|u\|^2 \|v\|^2 \sin^2\theta \end{aligned} \] bulunur. İki vektör arasındaki açı \(0 \le \theta \le \pi\) aralığında olduğundan \(\sin\theta \ge 0\) dır. İki tarafın da negatif olmayan karekökünü alırsak \[ \|u \times v\| = \|u\|\,\|v\| \sin\theta \] elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.6 (Uzunluk formülünü bir örnekte doğrulamak) \(u = (1, 2, 3)\) ve \(v = (4, 5, 6)\) için \[ \|u \times v\|^2 = \langle u, u\rangle \langle v, v\rangle - \langle u, v\rangle^2 \] eşitliğini doğrulayalım.
Çözüm
Bu vektörler için \(u \times v = (-3, 6, -3)\) bulmuştuk (Örnek 9.2). Buna göre \[ \|u \times v\|^2 = 9 + 36 + 9 = 54 \] dür. Öte yandan \[ \langle u, u\rangle = 1 + 4 + 9 = 14, \qquad \langle v, v\rangle = 16 + 25 + 36 = 77 \] ve \[ \langle u, v\rangle = 4 + 10 + 18 = 32 \] olduğundan \[ \langle u, u\rangle \langle v, v\rangle - \langle u, v\rangle^2 = 14 \cdot 77 - 32^2 = 1078 - 1024 = 54 \] bulunur. İki taraf da \(54\)’tür.
\(\blacksquare\)
Şimdi dört vektör arasındaki bir bağıntıya geçelim. \(\mathbb{R}^3\)’te dört vektör her zaman lineer bağımlıdır; aşağıdaki özdeşlik bu bağımlılığı karma çarpımlarla açıkça yazar.
Teorem 9.5 (Dörtlü özdeşlik) \(u, v, w, t \in \mathbb{R}^3\) olsun. Bu durumda \[ [u, v, w]\, t = [t, v, w]\, u + [u, t, w]\, v + [u, v, t]\, w \] dir.
İspat
\((u \times v) \times (w \times t)\) vektörünü üçlü özdeşliğin iki şıkkıyla iki farklı biçimde hesaplayıp sonuçları eşitleyeceğiz.
Birinci hesap. Teorem 9.2 ii)’de üçüncü vektör olarak \(w \times t\)’yi alalım: \[ (u \times v) \times (w \times t) = \langle u, w \times t\rangle\, v - \langle v, w \times t\rangle\, u. \] Karma çarpımın iç çarpımla yazılışından (Önerme 9.1) \(\langle u, w \times t\rangle = \langle w \times t, u\rangle = [w, t, u]\) ve benzer biçimde \(\langle v, w \times t\rangle = [w, t, v]\) dir. Böylece \[ (u \times v) \times (w \times t) = [w, t, u]\, v - [w, t, v]\, u \] bulunur.
İkinci hesap. Teorem 9.2 i)’de birinci vektör olarak \(y = u \times v\)’yi alalım: \[ y \times (w \times t) = \langle y, t\rangle\, w - \langle y, w\rangle\, t. \] Burada \(\langle y, t\rangle = \langle u \times v, t\rangle = [u, v, t]\) ve \(\langle y, w\rangle = [u, v, w]\) dir. Böylece \[ (u \times v) \times (w \times t) = [u, v, t]\, w - [u, v, w]\, t \] bulunur.
Eşitleme. İki sonuç aynı vektör olduğundan \[ [u, v, t]\, w - [u, v, w]\, t = [w, t, u]\, v - [w, t, v]\, u \] ve buradan \[ [u, v, w]\, t = [w, t, v]\, u - [w, t, u]\, v + [u, v, t]\, w \] elde edilir. Katsayıları istenen biçime getirelim. Teorem 9.3 i)’deki döngüsel kaydırmayla \([w, t, v] = [t, v, w]\) dir. Yine döngüsel kaydırmayla \([w, t, u] = [u, w, t]\) ve son iki vektörün yeri değişince işaret değiştiğinden \([u, w, t] = -[u, t, w]\) dir; yani \(-[w, t, u] = [u, t, w]\) olur. Bunları yerine yazarsak \[ [u, v, w]\, t = [t, v, w]\, u + [u, t, w]\, v + [u, v, t]\, w \] bulunur.
\(\blacksquare\)
Yani \([u, v, w] \neq 0\) ise, her \(t\) vektörü \(u\), \(v\), \(w\) cinsinden \[ t = \frac{[t, v, w]}{[u, v, w]}\, u + \frac{[u, t, w]}{[u, v, w]}\, v + \frac{[u, v, t]}{[u, v, w]}\, w \] biçiminde yazılır. Katsayıların her biri, \([u, v, w]\)’de ilgili vektörün yerine \(t\) konarak elde edilen karma çarpımın \([u, v, w]\)’ye oranıdır.
Örnek 9.7 (Bir vektörü karma çarpımlarla bileşenlerine ayırmak) \(u = (1, 1, 0)\), \(v = (0, 1, 1)\), \(w = (1, 0, 1)\) ve \(t = (2, 3, 5)\) olsun. Dörtlü özdeşliği kullanarak \(t\)’yi \(u\), \(v\), \(w\) cinsinden yazalım.
Çözüm
Gereken dört karma çarpımı birinci satıra göre açarak hesaplayalım: \[ \begin{aligned} [u, v, w] &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\,(1 - 0) - 1\,(0 - 1) + 0 = 2, \\[1mm] [t, v, w] &= \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2\,(1 - 0) - 3\,(0 - 1) + 5\,(0 - 1) = 0, \\[1mm] [u, t, w] &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\,(3 - 0) - 1\,(2 - 5) + 0 = 6, \\[1mm] [u, v, t] &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1\,(5 - 3) - 1\,(0 - 2) + 0 = 4. \end{aligned} \] Dörtlü özdeşlikten \(2t = 0\cdot u + 6v + 4w\), yani \[ t = 3v + 2w \] bulunur. Kontrol edelim: \[ 3v + 2w = (0, 3, 3) + (2, 0, 2) = (2, 3, 5) = t. \]
\(\blacksquare\)
Son olarak iki karma çarpımın çarpımını iç çarpımlarla yazalım. İspatta lineer cebirden bilinen iki kural kullanılır: bir matrisin determinantı transpozunun determinantına eşittir ve iki matrisin çarpımının determinantı determinantların çarpımıdır.
Teorem 9.6 (Gram özdeşliği) \(u, v, w, x, y, z \in \mathbb{R}^3\) olsun. Bu durumda \[ [x, y, z]\,[u, v, w] = \begin{vmatrix} \langle x, u\rangle & \langle x, v\rangle & \langle x, w\rangle \\ \langle y, u\rangle & \langle y, v\rangle & \langle y, w\rangle \\ \langle z, u\rangle & \langle z, v\rangle & \langle z, w\rangle \end{vmatrix} \] dir.
İspat
İkinci determinantı transpozuyla değiştirebiliriz, çünkü transpoz alınınca determinant değişmez: \[ [x, y, z]\,[u, v, w] = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{vmatrix}. \] Determinantların çarpımı, matrislerin çarpımının determinantıdır: \[ [x, y, z]\,[u, v, w] = \left| \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} \right|. \] Çarpım matrisinin \(i\)-inci satır, \(j\)-inci sütun elemanı, birinci matrisin \(i\)-inci satırı ile ikinci matrisin \(j\)-inci sütununun karşılıklı elemanlarının çarpımlarının toplamıdır. Örneğin sol üst eleman \(x_1u_1 + x_2u_2 + x_3u_3 = \langle x, u\rangle\), onun sağındaki \(x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = \langle x, v\rangle\) dir. Birinci matrisin satırları \(x\), \(y\), \(z\); ikinci matrisin sütunları \(u\), \(v\), \(w\) olduğundan çarpım matrisinin bütün elemanları iç çarpımdır: \[ [x, y, z]\,[u, v, w] = \begin{vmatrix} \langle x, u\rangle & \langle x, v\rangle & \langle x, w\rangle \\ \langle y, u\rangle & \langle y, v\rangle & \langle y, w\rangle \\ \langle z, u\rangle & \langle z, v\rangle & \langle z, w\rangle \end{vmatrix}. \]
\(\blacksquare\)
Yani özellikle \(x = u\), \(y = v\), \(z = w\) alınırsa \[ [u, v, w]^2 = \begin{vmatrix} \langle u, u\rangle & \langle u, v\rangle & \langle u, w\rangle \\ \langle v, u\rangle & \langle v, v\rangle & \langle v, w\rangle \\ \langle w, u\rangle & \langle w, v\rangle & \langle w, w\rangle \end{vmatrix} \] olur: karma çarpımın karesini bilmek için vektörlerin koordinatlarına gerek yoktur, aralarındaki iç çarpımlar yeter. Bu, Sonuç 9.2 i)’nin üç vektörlü karşılığıdır.
Örnek 9.8 (Karma çarpımın karesini iç çarpımlardan bulmak) \(u = (1, 0, 2)\), \(v = (2, 1, 0)\), \(w = (0, 3, 1)\) için \([u, v, w]^2\)’yi Gram özdeşliğiyle hesaplayalım ve Örnek 9.5 ile karşılaştıralım.
Çözüm
Gerekli iç çarpımlar şunlardır: \[ \begin{aligned} \langle u, u\rangle &= 5, & \langle u, v\rangle &= 2, & \langle u, w\rangle &= 2, \\ \langle v, v\rangle &= 5, & \langle v, w\rangle &= 3, & \langle w, w\rangle &= 10. \end{aligned} \] Gram determinantını birinci satıra göre açalım: \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 10 \end{vmatrix} &= 5\,(50 - 9) - 2\,(20 - 6) + 2\,(6 - 10) \\ &= 205 - 28 - 8 = 169. \end{aligned} \] Daha önce \([u, v, w] = 13\) bulmuştuk (Örnek 9.5) ve gerçekten \(13^2 = 169\) dur.
\(\blacksquare\)
9.5 Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu
Buraya kadar vektörel çarpımı cebirsel olarak inceledik. Şimdi \(u \times v\) vektörünün geometrik olarak neyi temsil ettiğini, yani doğrultusunu, yönünü ve uzunluğunu sırayla yorumlayalım.
Doğrultu. \(u, v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ise Teorem 9.1 vi)’ya göre \[ u \times v \perp u \qquad \text{ve} \qquad u \times v \perp v \] dir. Demek ki \(u\) ile \(v\)’ye paralel olan bir düzleme dik bir vektör bulmak için bu iki vektörün vektörel çarpımını almak yeterlidir.
Örnek 9.9 (İki vektöre dik birim vektörler) \(u = (2, -1, 1)\) ve \(v = (1, 1, -1)\) vektörlerinin ikisine de dik olan birim vektörleri bulalım.
Çözüm
Önce \[ \begin{aligned} u \times v &= \big((-1)(-1) - 1\cdot 1,\; 1\cdot 1 - 2\cdot(-1),\; 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1\big) \\ &= (0, 3, 3) \end{aligned} \] bulunur. Diklik kontrolü: \(\langle (0, 3, 3), u\rangle = 0 - 3 + 3 = 0\) ve \(\langle (0, 3, 3), v\rangle = 0 + 3 - 3 = 0\). Uzunluk \(\|u \times v\| = \sqrt{0 + 9 + 9} = 3\sqrt{2}\) olduğundan bu doğrultudaki birim vektörler \[ \pm \frac{1}{3\sqrt{2}}\,(0, 3, 3) = \pm \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] dir. İki vektöre dik doğrultu tektir; bu doğrultuda birbirinin tersi olan iki birim vektör vardır.
\(\blacksquare\)
Yön: sağ el kuralı. Bir doğrultuda birbirinin tersi olan iki yön vardır; \(u \times v\) bunlardan hangisindedir? Standart baz için \(e_1 \times e_2 = e_3\) bulmuştuk (Örnek 9.1): \(e_1\)’den \(e_2\)’ye dönüşü sağ elimizin dört parmağıyla izlersek başparmağımız \(e_3\)’ü gösterir. Koordinat eksenlerinin bu yerleşimini karma çarpımın işaretiyle ifade edebiliriz.
Tanım 9.3 (Sağ el sistemi) \(a, b, c \in \mathbb{R}^3\) olsun. \([a, b, c] > 0\) ise \((a, b, c)\) sıralı üçlüsüne bir sağ el sistemi denir.
Yani sağ el sistemi, koordinat eksenleriyle aynı biçimde yerleşmiş bir üçlüdür: \([e_1, e_2, e_3] = 1 > 0\) olduğundan \((e_1, e_2, e_3)\) bir sağ el sistemidir. Eksenlerin sağ el kuralına göre yönlendirildiğini varsaymıştık (Uzayda Dik Koordinat Sistemi); bu sözleşmeyle \((e_1, e_2, e_3)\) sağ elle uyumludur ve \([a, b, c] > 0\) koşulu bu uyumu genel üçlülere taşır. Sağ elin dört parmağı \(a\)’dan \(b\)’ye doğru (\(\pi\)’den küçük açıyla) kıvrıldığında başparmak, \(a\) ile \(b\)’nin düzleminin \(c\)’nin bulunduğu tarafını gösterir. Sıradaki iki vektörün yerini değiştirmek karma çarpımın işaretini değiştirdiğinden (Teorem 9.3), örneğin \((b, a, c)\) artık bir sağ el sistemi değildir.
Önerme 9.2 (Sağ el kuralı) \(u, v \in \mathbb{R}^3\) lineer bağımsız ise \[ [u, v, u \times v] = \|u \times v\|^2 > 0 \] dır. Yani \((u, v, u \times v)\) bir sağ el sistemidir: sağ elin dört parmağı \(u\)’dan \(v\)’ye doğru kıvrıldığında başparmak \(u \times v\)’nin yönünü gösterir.
İspat
Karma çarpımın iç çarpımla yazılışından (Önerme 9.1) \[ [u, v, u \times v] = \langle u \times v, u \times v\rangle = \|u \times v\|^2 \] dir. \(u\) ile \(v\) lineer bağımsız olduğundan \(u \times v \neq 0\) dır (bunu hemen aşağıda Önerme 9.3 ile ispatlayacağız; o ispat bu önermeyi kullanmaz). Dolayısıyla \(\|u \times v\|^2 > 0\) olur ve tanım gereği \((u, v, u \times v)\) bir sağ el sistemidir.
Buna karşılık \([v, u, u \times v] = -[u, v, u \times v] < 0\) dır: çarpanların sırası değişince \(v \times u = -(u \times v)\) vektörü ters yöne döner ve \((v, u, v \times u)\) yine bir sağ el sistemi olur.
\(\blacksquare\)
Uzunluk ve sıfır olma durumu. Lineer bağımlı iki vektörün vektörel çarpımının sıfır olduğunu gördük (Sonuç 9.1). Şimdi bunun tersini de ispatlayalım.
Önerme 9.3 (Vektörel çarpımın sıfır olması) \(u, v \in \mathbb{R}^3\) için \[ u \times v = 0 \iff u \text{ ile } v \text{ lineer bağımlıdır} \] dır. Özellikle \(u = 0\) ya da \(v = 0\) ise \(u \times v = 0\) dır; \(u, v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) için ise \(u \times v = 0\) olması, \(u\) ile \(v\)’nin paralel olmasıyla denktir.
İspat
(\(\Leftarrow\)) Bu yön doğrudan Sonuç 9.1 ile verilir. Özellikle \(u = 0\) ise \(1\cdot u + 0\cdot v = 0\) bağıntısı \(u\) ile \(v\)’nin lineer bağımlı olduğunu gösterir ve \(u \times v = 0\) olur; \(v = 0\) için de aynısı geçerlidir.
(\(\Rightarrow\)) \(u \times v = 0\) olsun. \(v = 0\) ise \(0\cdot u + 1\cdot v = 0\) olduğundan \(u\) ile \(v\) lineer bağımlıdır. \(v \neq 0\) olsun; o hâlde \(v\)’nin en az bir bileşeni sıfırdan farklıdır. Vektörel çarpımın formülü indislerin döngüsel kaydırılmasıyla değişmediği için \(v_1 \neq 0\) olduğunu varsayabiliriz. \(u \times v = 0\) eşitliği bileşen bileşen \[ u_2v_3 = u_3v_2, \qquad u_3v_1 = u_1v_3, \qquad u_1v_2 = u_2v_1 \] demektir. \(\lambda = u_1/v_1\) diyelim. Üçüncü eşitlikten \(u_2v_1 = u_1v_2\), yani \(u_2 = \lambda v_2\); ikinci eşitlikten \(u_3v_1 = u_1v_3\), yani \(u_3 = \lambda v_3\) bulunur. Ayrıca \(u_1 = \lambda v_1\) dir. Demek ki \(u = \lambda v\), yani \(1\cdot u - \lambda v = 0\) dır ve \(u\) ile \(v\) lineer bağımlıdır.
Sıfırdan farklı iki vektörün lineer bağımlı olmasının paralel olmalarıyla denk olduğunu Vektörler bölümünde görmüştük; bu da son iddiayı verir.
\(\blacksquare\)
Bu sonucu açıyla da okuyabiliriz. \(u, v \neq 0\) ve aralarındaki açı \(\theta\) ise Sonuç 9.2 ii)’den \[ u \times v = 0 \iff \|u\|\,\|v\| \sin\theta = 0 \iff \sin\theta = 0 \iff \theta \in \{0, \pi\} \] olur. Yani iki vektör ya aynı yönlüdür (\(\theta = 0\)) ya da zıt yönlüdür (\(\theta = \pi\)); her iki durumda da paraleldirler.
Açı. İç çarpım bize açının kosinüsünü, vektörel çarpım da sinüsünü verir.
Sonuç 9.3 (Açının kosinüsü ve sinüsü) \(u, v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ve aralarındaki açı \(\theta\) olsun. Bu durumda \[ \cos\theta = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}, \qquad \sin\theta = \frac{\|u \times v\|}{\|u\|\,\|v\|} \] dir.
İspat
Birinci eşitlik, \(\langle u, v\rangle = \|u\|\,\|v\| \cos\theta\) bağıntısının \(\|u\|\,\|v\| \neq 0\) sayısına bölünmesiyle elde edilir. İkinci eşitlik, Sonuç 9.2 ii)’deki \(\|u \times v\| = \|u\|\,\|v\| \sin\theta\) bağıntısının aynı sayıya bölünmesiyle elde edilir.
\(\blacksquare\)
Yalnız sinüs, açıyı belirlemeye yetmez: \(\theta\) ile \(\pi - \theta\) aynı sinüse sahiptir. Açının dar mı geniş mi olduğunu \(\cos\theta\)’nın, yani \(\langle u, v\rangle\)’nin işareti söyler.
Örnek 9.10 (Açıyı sinüs ve kosinüsle bulmak) \(u = (1, 1, 0)\) ile \(v = (0, 1, 1)\) arasındaki \(\theta\) açısını bulalım.
Çözüm
\(\|u\| = \|v\| = \sqrt{2}\) ve \(\langle u, v\rangle = 0 + 1 + 0 = 1\) olduğundan \[ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \] dir. Ayrıca \[ u \times v = (1\cdot 1 - 0\cdot 1,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 1 - 1\cdot 0) = (1, -1, 1) \] ve \(\|u \times v\| = \sqrt{3}\) olduğundan \[ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \] bulunur. Kosinüs pozitif olduğundan açı dardır ve \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\) tür. Kontrol olarak \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac14 + \frac34 = 1\) dir.
\(\blacksquare\)
Alan. Vektörel çarpımın uzunluğunun en güzel yorumu alandır.
Teorem 9.7 (Paralelkenarın alanı) \(u, v \in \mathbb{R}^3\) lineer bağımsız olsun ve \(ABCD\) paralelkenarının kenarları \(\overrightarrow{AB} = u\), \(\overrightarrow{AD} = v\) olsun; yani \(|AB| = \|u\|\), \(|AD| = \|v\|\) dir. Bu paralelkenarın alanı \[ A(ABCD) = \|u \times v\| \] dir.
İspat
\(u\) ile \(v\) arasındaki açı \(\theta\) olsun. \(D\)’den \(AB\) doğrusuna inilen dikmenin ayağı \(H\), yüksekliğin uzunluğu \(h = |DH|\) olsun.
Paralelkenarın alanı taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımıdır: \[ A(ABCD) = |AB|\,|DH| = \|u\|\, h. \] \(AHD\) dik üçgeninde hipotenüs \(|AD| = \|v\|\) dir. \(\theta\) dar açıysa \(H\), \(AB\) ışını üzerindedir ve \(h = \|v\| \sin\theta\) olur. \(\theta\) geniş açıysa \(H\), \(A\)’nın öbür tarafına düşer; bu kez \(A\)’daki iç açı \(\pi - \theta\) olur ve \(h = \|v\| \sin(\pi - \theta) = \|v\| \sin\theta\) dır. \(\theta = \pi/2\) ise \(H = A\) ve \(h = \|v\| = \|v\| \sin\theta\) dır. Her durumda \(h = \|v\| \sin\theta\) olduğundan, Sonuç 9.2 ii)’den \[ A(ABCD) = \|u\|\,\|v\| \sin\theta = \|u \times v\| \] bulunur.
\(\blacksquare\)
\(u\) ile \(v\) lineer bağımlıysa, yani \(u \parallel v\) ise ya da biri sıfırsa, paralelkenar bir doğru parçasına yassılaşır ve alanı \(0\) olur; Önerme 9.3 gereğince bu durumda da \(\|u \times v\| = 0\) dır, yani formül yine doğrudur.
Özetle \(u \times v\) vektörü üç bilgiyle tamamen belirlenir: \(u\) ile \(v\)’ye diktir, yönü sağ el kuralıyla bulunur ve uzunluğu \(u\) ile \(v\) üzerine kurulan paralelkenarın alanına eşittir.
Örnek 9.11 (Uzayda bir paralelkenarın alanı) \(A = (1, 1, 0)\), \(B = (3, 2, 1)\) ve \(D = (0, 3, 2)\) noktaları verilsin. \(AB\) ile \(AD\) kenarları üzerine kurulan \(ABCD\) paralelkenarının dördüncü köşesini ve alanını bulalım.
Çözüm
Kenar vektörleri \[ u = \overrightarrow{AB} = (3 - 1,\; 2 - 1,\; 1 - 0) = (2, 1, 1), \] \[ v = \overrightarrow{AD} = (0 - 1,\; 3 - 1,\; 2 - 0) = (-1, 2, 2) \] dir. Dördüncü köşe \[ C = B + v = (3 - 1,\; 2 + 2,\; 1 + 2) = (2, 4, 3) \] olur. Vektörel çarpım \[ \begin{aligned} u \times v &= \big(1\cdot 2 - 1\cdot 2,\; 1\cdot(-1) - 2\cdot 2,\; 2\cdot 2 - 1\cdot(-1)\big) \\ &= (0, -5, 5) \end{aligned} \] ve alan \[ A(ABCD) = \|u \times v\| = \sqrt{0 + 25 + 25} = 5\sqrt{2} \] dir.
\(\blacksquare\)
Paralelkenarı bir köşegeniyle ikiye bölünce iki eş üçgen elde edilir. Bu, üçgenin alanı için de bir formül verir.
Sonuç 9.4 (Üçgenin alanı) Uzayda doğrusal olmayan \(A\), \(B\), \(C\) noktalarının belirlediği \(ABC\) üçgeninin alanı \[ A(ABC) = \frac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\big\| \] dir.
İspat
\(u = \overrightarrow{AB}\) ve \(v = \overrightarrow{AC}\) üzerine kurulan paralelkenarın dördüncü köşesi \(D\) olsun. \(BC\) köşegeni bu paralelkenarı, üç kenarı karşılıklı eşit olan iki üçgene ayırır; bu üçgenlerden biri \(ABC\) dir. Eş üçgenlerin alanları eşit olduğundan \(ABC\) üçgeninin alanı paralelkenarın alanının yarısıdır ve Teorem 9.7 gereğince \[ A(ABC) = \frac{1}{2}\,\|u \times v\| = \frac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\big\| \] bulunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.12 (Eksenleri kesen bir üçgenin alanı) \(A = (1, 0, 0)\), \(B = (0, 2, 0)\) ve \(C = (0, 0, 3)\) köşeli üçgenin alanını bulalım.
Çözüm
\(\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)\) ve \(\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)\) dür. Buna göre \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \big(2\cdot 3 - 0\cdot 0,\; 0\cdot(-1) - (-1)\cdot 3,\; (-1)\cdot 0 - 2\cdot(-1)\big) \\ &= (6, 3, 2) \end{aligned} \] ve \(\|(6, 3, 2)\| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7\) olduğundan \[ A(ABC) = \frac{7}{2} \] bulunur.
\(\blacksquare\)
9.6 Karma Çarpımın Geometrik Yorumu
Vektörel çarpımın uzunluğu bir alan veriyordu. Bir adım ileri gidip bu alanı bir yükseklikle çarparsak hacim elde ederiz; karma çarpım tam olarak bunu yapar.
\(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) lineer bağımsız üç vektör olsun. Vektörler bölümünde gördüğümüz gibi bu üç vektör aynı düzleme paralel olamaz. Başlangıç noktaları ortak alınırsa \(u\), \(v\), \(w\) kenarları üzerine bir paralelyüz kurulur: karşılıklı yüzleri paralelkenar olan, altı yüzlü bir cisim.
Teorem 9.8 (Paralelyüzün hacmi) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) üzerine kurulan paralelyüzün hacmi \[ V = \big|[u, v, w]\big| \] dir. Özellikle \(u, v, w\) lineer bağımsız ise \(V > 0\) dır.
İspat
Önce \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımsız olsun. Başlangıç noktası \(O\) olsun; \(u\), \(v\), \(w\) vektörlerinin uçları sırasıyla \(A\), \(C\), \(D\), taban paralelkenarının dördüncü köşesi \(B\) olsun. Taban olarak \(u\) ile \(v\) üzerine kurulan \(OABC\) paralelkenarını alalım. Paralelyüzün hacmi taban alanı ile bu tabana ait yüksekliğin çarpımıdır: \[ V = (\text{taban alanı}) \cdot h. \] Teorem 9.7 gereğince taban alanı \(\|u \times v\|\) dir.
\(D\)’den taban düzlemine inilen dikmenin ayağı \(H\) olsun; yükseklik \(h = |HD|\) dir. \(u\) ile \(v\) lineer bağımsız olduğundan Önerme 9.3 gereğince \(u \times v \neq 0\), yani \(\|u \times v\| > 0\) dır. \(D\) taban düzleminde olsaydı \(w\), \(u\) ile \(v\)’nin lineer bileşimi olurdu ve \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımlı olurdu; o hâlde \(D\) taban düzleminde değildir ve \(h > 0\) dır. \(\overrightarrow{HD}\) tabana dik olduğundan \(u \times v\) ile aynı doğrultudadır. \(w\) ile \(u \times v\) arasındaki açı \(\theta\) olsun. \(H \neq O\) ise \(OHD\) dik üçgeninde hipotenüs \(|OD| = \|w\|\) ve \(D\)’deki açı ya \(\theta\) ya da \(\pi - \theta\) dır (hangisi olduğu, \(w\)’nin tabanın \(u \times v\) tarafında mı yoksa öbür tarafında mı olduğuna bağlıdır). \(H = O\) ise \(w = \overrightarrow{OD}\) tabana diktir, yani \(u \times v\) ile aynı doğrultudadır; bu durumda \(\theta \in \{0, \pi\}\) ve \(h = \|w\| = \|w\|\,|\cos\theta|\) dır. Her durumda \[ h = \|w\|\,|\cos\theta| \] olur. Buna göre \[ V = \|u \times v\|\,\|w\|\,|\cos\theta| = \big|\langle u \times v, w\rangle\big| = \big|[u, v, w]\big| \] bulunur; burada \(\langle u \times v, w\rangle = \|u \times v\|\,\|w\| \cos\theta\) bağıntısını ve karma çarpımın iç çarpımla yazılışını (Önerme 9.1) kullandık. Taban alanı \(\|u \times v\|\) ve yükseklik \(h\) pozitif olduğundan hacim de pozitiftir.
\(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımlı ise üç vektör aynı düzleme paraleldir, paralelyüz yassılaşır ve hacmi \(0\) olur. Bu durumda da \([u, v, w] = 0\) olduğunu birazdan göreceğiz (Sonuç 9.5); dolayısıyla formül yine geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Yani karma çarpımın mutlak değeri hacimdir; işareti ise yönü söyler. \([u, v, w] > 0\) ise \(w\), taban düzleminin \(u \times v\) ile aynı tarafındadır ve \(u\), \(v\), \(w\) üçlüsü sağ el sistemi oluşturur. \([u, v, w] < 0\) ise \(w\) öbür taraftadır.
Örnek 9.13 (Bir paralelyüzün hacmi) \(u = (2, 0, 0)\), \(v = (1, 3, 0)\) ve \(w = (1, 1, 4)\) vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmini bulalım.
Çözüm
Karma çarpımı birinci satıra göre açalım: \[ \begin{aligned} [u, v, w] &= \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} \\[1mm] &= 2\,(3\cdot 4 - 0\cdot 1) - 0 + 0 = 24. \end{aligned} \] Buna göre hacim \(V = |24| = 24\) birim küptür.
Sonucu taban ve yükseklikle de görelim. \(u\) ile \(v\), \(XY\) düzlemindedir ve \[ u \times v = (0\cdot 0 - 0\cdot 3,\; 0\cdot 1 - 2\cdot 0,\; 2\cdot 3 - 0\cdot 1) = (0, 0, 6) \] olduğundan taban alanı \(\|u \times v\| = 6\)’dır. \(w\)’nin ucu \(XY\) düzleminden \(4\) birim yukarıdadır, yani yükseklik \(4\)’tür. Gerçekten \(6 \cdot 4 = 24\) bulunur. Karma çarpım pozitif olduğundan \(u\), \(v\), \(w\) bir sağ el sistemi oluşturur.
\(\blacksquare\)
Hacim yorumu bize üç vektörün aynı düzleme paralel olup olmadığını anlamanın kolay bir yolunu verir. Üç vektörün lineer bağımlı olmasının, aynı düzleme paralel olmalarıyla denk olduğunu Vektörler bölümünde görmüştük.
Sonuç 9.5 (Karma çarpım ve lineer bağımlılık) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) için \[ [u, v, w] = 0 \iff u, v, w \text{ lineer bağımlıdır} \] dır. Yani üç vektörün aynı düzleme paralel olması için gerek ve yeter koşul karma çarpımlarının sıfır olmasıdır.
İspat
(\(\Leftarrow\)) \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımlı olsun: hepsi birden sıfır olmayan \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) için \(\lambda_1 u + \lambda_2 v + \lambda_3 w = 0\) dır.
- \(\lambda_3 \neq 0\) ise \(w = \alpha u + \beta v\) yazılabilir (\(\alpha = -\lambda_1/\lambda_3\), \(\beta = -\lambda_2/\lambda_3\)). Teorem 9.3 iii), iv) ve ii)’den \[ [u, v, w] = \alpha\,[u, v, u] + \beta\,[u, v, v] = \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0 \] bulunur.
- \(\lambda_3 = 0\) ise \(\lambda_1 u + \lambda_2 v = 0\) ve \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) ikisi birden sıfır değildir; yani \(u\) ile \(v\) lineer bağımlıdır. Sonuç 9.1 uyarınca \(u \times v = 0\) ve \([u, v, w] = \langle 0, w\rangle = 0\) olur.
(\(\Rightarrow\)) \([u, v, w] = 0\) olsun. \(u\) ile \(v\) lineer bağımlıysa \(u\), \(v\), \(w\) de lineer bağımlıdır (\(w\)’nin katsayısı \(0\) alınır). \(u\) ile \(v\) lineer bağımsız olsun. Bu durumda Önerme 9.3 uyarınca \(n = u \times v \neq 0\) dır.
Önce \(u\), \(v\), \(n\) vektörlerinin lineer bağımsız olduğunu gösterelim. \(\alpha u + \beta v + \gamma n = 0\) olsun. Bu eşitliğin \(n\) ile iç çarpımını alırsak, \(\langle u, n\rangle = \langle v, n\rangle = 0\) olduğundan \(\gamma \|n\|^2 = 0\), yani \(\gamma = 0\) bulunur. Geriye \(\alpha u + \beta v = 0\) kalır ve \(u\), \(v\) lineer bağımsız olduğundan \(\alpha = \beta = 0\) dır.
\(\mathbb{R}^3\)’te üç lineer bağımsız vektör bir baz oluşturduğundan \(w = \alpha u + \beta v + \gamma n\) biçiminde yazılabilir. Şimdi \[ 0 = [u, v, w] = \langle n, w\rangle = \alpha \langle n, u\rangle + \beta \langle n, v\rangle + \gamma \langle n, n\rangle = \gamma \|n\|^2 \] olduğundan \(\gamma = 0\) dır. Demek ki \(w = \alpha u + \beta v\), yani \(u\), \(v\), \(w\) lineer bağımlıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 9.14 (Üç vektörün aynı düzleme paralel olup olmadığını sınamak) \(u = (1, 2, 3)\), \(v = (4, 5, 6)\) ve \(w = (7, 8, 9)\) vektörlerinin aynı düzleme paralel olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm
Karma çarpımı birinci satıra göre açalım: \[ \begin{aligned} [u, v, w] &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \\[1mm] &= 1\,(45 - 48) - 2\,(36 - 42) + 3\,(32 - 35) \\ &= -3 + 12 - 9 = 0. \end{aligned} \] Sonuç 9.5 uyarınca üç vektör lineer bağımlıdır, yani aynı düzleme paraleldir. Bağıntıyı açıkça da görebiliriz: \[ 2v - u = (8 - 1,\; 10 - 2,\; 12 - 3) = (7, 8, 9) = w. \]
\(\blacksquare\)
9.7 Düzlemde Vektörler
Şimdiye kadar \(\mathbb{R}^3\)’te çalıştık. Düzlemde, yani \(\mathbb{R}^2\)’de, iç çarpım aynı biçimde tanımlanır; ancak vektörel ve karma çarpım için durum farklıdır.
Tanım 9.4 (Düzlemde iç çarpım) \(u = (u_1, u_2)\) ve \(v = (v_1, v_2)\), \(\mathbb{R}^2\)’de iki vektör olsun. \[ \langle\;\cdot\;, \;\cdot\;\rangle : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad (u, v) \longmapsto \langle u, v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 \] biçiminde tanımlanan fonksiyona \(\mathbb{R}^2\) üzerinde iç çarpım fonksiyonu, \(\langle u, v\rangle\) sayısına da \(u\) ile \(v\)’nin iç çarpımı denir.
Yani düzlemdeki iç çarpım, uzaydaki iç çarpımın (İç Çarpım) üçüncü bileşeni atılmış hâlidir ve aynı özellikleri taşır. Özellikle \(u, v \neq 0\) ve aralarındaki açı \(\theta\) ise \[ \cos\theta = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|} \] dir.
Örnek 9.15 (Düzlemde iki vektör arasındaki açı) \(u = (1, 2)\) ile \(v = (3, 1)\) arasındaki \(\theta\) açısını bulalım.
Çözüm
\(\langle u, v\rangle = 1\cdot 3 + 2\cdot 1 = 5\), \(\|u\| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\) ve \(\|v\| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) dur. Buna göre \[ \cos\theta = \frac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] ve \(0 \le \theta \le \pi\) olduğundan \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) tür.
\(\blacksquare\)
Vektörel çarpım, iki vektöre birden dik olan üçüncü bir doğrultuya ihtiyaç duyar. Düzlemde sıfırdan farklı ve paralel olmayan iki vektöre birden dik olan sıfırdan farklı bir vektör bulunmaz. Bu yüzden \(\mathbb{R}^2\)’de vektörel çarpım tanımlı değildir; vektörel çarpım olmadan kurulamayan karma çarpım da tanımlı değildir.
Yine de düzlemdeki vektörleri uzayın içinde görerek vektörel çarpımdan yararlanabiliriz. Uzayda \((x, y, 0)\) biçimindeki vektörlerin hepsi \(XY\) düzleminde bulunur. \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) vektörünü \((x, y, 0) \in \mathbb{R}^3\) ile özdeşleştirirsek, bu vektörler için incelediğimiz kavramlar düzlemsel hâle indirgenmiş olur: iç çarpım ve uzunluk değişmez, vektörel çarpım ise aşağıda göreceğimiz gibi \(Z\) ekseni doğrultusunda kalır.
Önerme 9.4 (Düzlemde paralelkenarın alanı) \(u = (u_1, u_2)\) ve \(v = (v_1, v_2)\), \(\mathbb{R}^2\)’de lineer bağımsız iki vektör olsun. \(u\) ile \(v\) üzerine kurulan paralelkenarın alanı \[ A = \left|\,\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\,\right| = |u_1v_2 - u_2v_1| \] dir.
İspat
\(u\) ile \(v\)’yi uzayda \(\tilde u = (u_1, u_2, 0)\) ve \(\tilde v = (v_1, v_2, 0)\) olarak görelim. \(\tilde u\) ile \(\tilde v\) de lineer bağımsızdır, çünkü \(\alpha \tilde u + \beta \tilde v = 0\) eşitliğinin ilk iki bileşeni \(\alpha u + \beta v = 0\) demektir. Bu vektörlerin üzerine kurulan paralelkenar, düzlemdeki paralelkenarın ta kendisidir. Vektörel çarpım \[ \tilde u \times \tilde v = \big(u_2\cdot 0 - 0\cdot v_2,\; 0\cdot v_1 - u_1\cdot 0,\; u_1v_2 - u_2v_1\big) = (0, 0, u_1v_2 - u_2v_1) \] dir; yani \(Z\) ekseni doğrultusundadır. Teorem 9.7 gereğince alan \[ A = \|\tilde u \times \tilde v\| = \sqrt{0 + 0 + (u_1v_2 - u_2v_1)^2} = |u_1v_2 - u_2v_1| \] bulunur.
\(\blacksquare\)
\(u \parallel v\) ise ya da biri sıfırsa paralelkenar yine bir doğru parçasına yassılaşır ve alanı \(0\) olur; bu durumda \((u_1, u_2, 0)\) ile \((v_1, v_2, 0)\) de lineer bağımlıdır, Sonuç 9.1 gereğince vektörel çarpımları sıfırdır ve bu çarpımın üçüncü bileşeni olan \(u_1v_2 - u_2v_1\) de sıfır olur. Yani formül yine doğrudur.
Örnek 9.16 (Düzlemde bir paralelkenarın alanı) \(u = (3, 1)\) ve \(v = (1, 2)\) vektörleri üzerine kurulan paralelkenarın alanını bulalım.
Çözüm
Önerme 9.4 uyarınca \[ A = \left|\,\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\,\right| = |3\cdot 2 - 1\cdot 1| = 5 \] bulunur. Uzaydan bakarsak \((3, 1, 0) \times (1, 2, 0) = (0, 0, 5)\) dir: vektörel çarpım \(Z\) ekseni üzerindedir ve uzunluğu alana eşittir.
\(\blacksquare\)
9.8 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalarda vektörel ve karma çarpımı hem sayısal olarak hesaplayacak hem de bu bölümün özdeşliklerini kullanarak genel bağıntılar ispatlayacağız.
Alıştırma 9.1 (İç çarpım: u ile v) \(u = (-1, -2, -3)\) ve \(v = (4, 1, -2)\) olsun. \(\langle u, v\rangle\) nedir?
Çözüm
Karşılıklı bileşenleri çarpıp toplarız: \[ \langle u, v\rangle = (-1)\cdot 4 + (-2)\cdot 1 + (-3)\cdot(-2) = -4 - 2 + 6 = 0. \] Demek ki \(u\) ile \(v\) birbirine diktir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.2 (İç çarpım: u ile w) \(u = (-1, -2, -3)\) ve \(w = (1, 0, 2)\) olsun. \(\langle u, w\rangle\) nedir?
Çözüm
\[ \langle u, w\rangle = (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + (-3)\cdot 2 = -1 + 0 - 6 = -7. \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.3 (İç çarpım: v ile w) \(v = (4, 1, -2)\) ve \(w = (1, 0, 2)\) olsun. \(\langle v, w\rangle\) nedir?
Çözüm
\[ \langle v, w\rangle = 4\cdot 1 + 1\cdot 0 + (-2)\cdot 2 = 4 + 0 - 4 = 0. \] Demek ki \(v\) ile \(w\) de birbirine diktir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.4 (Vektörel çarpım: u ile v) \(u = (-1, -2, -3)\) ve \(v = (4, 1, -2)\) olsun. \(u \times v\) nedir?
Çözüm
Sembolik determinantı birinci satıra göre açalım: \[ \begin{aligned} u \times v &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \big((-2)(-2) - (-3)\cdot 1\big)e_1 + \big((-3)\cdot 4 - (-1)(-2)\big)e_2 \\ &\quad + \big((-1)\cdot 1 - (-2)\cdot 4\big)e_3 \\[1mm] &= (4 + 3)e_1 + (-12 - 2)e_2 + (-1 + 8)e_3 \\ &= 7e_1 - 14e_2 + 7e_3 = (7, -14, 7). \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.5 (Vektörel çarpım: v ile w) \(v = (4, 1, -2)\) ve \(w = (1, 0, 2)\) olsun. \(v \times w\) nedir?
Çözüm
\[ \begin{aligned} v \times w &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \big(1\cdot 2 - (-2)\cdot 0\big)e_1 + \big((-2)\cdot 1 - 4\cdot 2\big)e_2 \\ &\quad + (4\cdot 0 - 1\cdot 1)e_3 \\[1mm] &= 2e_1 - 10e_2 - e_3 = (2, -10, -1). \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.6 (İç içe vektörel çarpım: u × (v × w)) \(u = (-1, -2, -3)\), \(v = (4, 1, -2)\) ve \(w = (1, 0, 2)\) olsun. \(u \times (v \times w)\) nedir?
Çözüm
Birinci yol: doğrudan hesap. \(v \times w = (2, -10, -1)\) olduğunu biliyoruz (Alıştırma 9.5). Buna göre \[ \begin{aligned} u \times (v \times w) &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & -10 & -1 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \big((-2)(-1) - (-3)(-10)\big)e_1 + \big((-3)\cdot 2 - (-1)(-1)\big)e_2 \\ &\quad + \big((-1)(-10) - (-2)\cdot 2\big)e_3 \\[1mm] &= (2 - 30)e_1 + (-6 - 1)e_2 + (10 + 4)e_3 \\ &= (-28, -7, 14) = -7\,(4, 1, -2) = -7v \end{aligned} \] bulunur.
İkinci yol: üçlü özdeşlik. Önceki alıştırmalarda \(\langle u, w\rangle = -7\) ve \(\langle u, v\rangle = 0\) bulmuştuk (Alıştırma 9.2, Alıştırma 9.1). Teorem 9.2 i)’den \[ u \times (v \times w) = \langle u, w\rangle\, v - \langle u, v\rangle\, w = -7v - 0\cdot w = -7v \] elde edilir. İkinci yol hiçbir determinant hesaplamadan aynı sonuca ulaşır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.7 (İç içe vektörel çarpım: (u × v) × w) \(u = (-1, -2, -3)\), \(v = (4, 1, -2)\) ve \(w = (1, 0, 2)\) olsun. \((u \times v) \times w\) nedir?
Çözüm
Birinci yol: doğrudan hesap. \(u \times v = (7, -14, 7)\) olduğunu biliyoruz (Alıştırma 9.4). Buna göre \[ \begin{aligned} (u \times v) \times w &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 7 & -14 & 7 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \\[1mm] &= \big((-14)\cdot 2 - 7\cdot 0\big)e_1 + (7\cdot 1 - 7\cdot 2)e_2 \\ &\quad + \big(7\cdot 0 - (-14)\cdot 1\big)e_3 \\[1mm] &= -28e_1 - 7e_2 + 14e_3 \\ &= (-28, -7, 14) = -7v \end{aligned} \] bulunur.
İkinci yol: üçlü özdeşlik. \(\langle u, w\rangle = -7\) ve \(\langle v, w\rangle = 0\) dır (Alıştırma 9.2, Alıştırma 9.3). Teorem 9.2 ii)’den \[ (u \times v) \times w = \langle u, w\rangle\, v - \langle v, w\rangle\, u = -7v - 0\cdot u = -7v \] elde edilir.
Bu vektörler için \(u \times (v \times w) = (u \times v) \times w\) çıktı. Bu bir rastlantı değildir: \(\langle u, v\rangle = \langle v, w\rangle = 0\) olduğundan iki özdeşlikte de yalnız \(\langle u, w\rangle\, v\) terimi kalır. Genelde iki ifade farklıdır (Örnek 9.4).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.8 (İç içe vektörel çarpımların döngüsel toplamı) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) olmak üzere \[ u \times (v \times w) + v \times (w \times u) + w \times (u \times v) \] toplamını hesaplayınız.
Çözüm
Üç terimin her birine Teorem 9.2 i)’yi uygulayalım: \[ \begin{aligned} u \times (v \times w) &= \langle u, w\rangle\, v - \langle u, v\rangle\, w, \\ v \times (w \times u) &= \langle v, u\rangle\, w - \langle v, w\rangle\, u, \\ w \times (u \times v) &= \langle w, v\rangle\, u - \langle w, u\rangle\, v. \end{aligned} \] İç çarpım simetrik olduğundan \(\langle u, w\rangle = \langle w, u\rangle\), \(\langle u, v\rangle = \langle v, u\rangle\) ve \(\langle v, w\rangle = \langle w, v\rangle\) dir. Üç satırı toplarsak her terim, işareti ters olarak bir kez daha geçer:
- \(v\)’nin katsayısı: \(\langle u, w\rangle - \langle w, u\rangle = 0\),
- \(w\)’nin katsayısı: \(-\langle u, v\rangle + \langle v, u\rangle = 0\),
- \(u\)’nun katsayısı: \(-\langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle = 0\).
Demek ki \[ u \times (v \times w) + v \times (w \times u) + w \times (u \times v) = 0 \] dır. Bu eşitliğe Jacobi özdeşliği denir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.9 (Aynı düzleme paralel olma koşulu) \(\mathbb{R}^3\)’te \(u = (1, -1, 1)\), \(v = (1, 2, -1)\) ve \(w = (3, m, 1)\) vektörlerinin aynı düzlemde olmaları için \(m\) ne olmalıdır?
Çözüm
Sonuç 9.5 uyarınca üç vektörün aynı düzlemde olması için gerek ve yeter koşul \([u, v, w] = 0\) olmasıdır. \(m\) üçüncü satırda olduğundan determinantı üçüncü satıra göre açalım; işaret düzeni \(+, -, +\) dır: \[ \begin{aligned} [u, v, w] &= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & m & 1 \end{vmatrix} \\[1mm] &= 3\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - m\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\[1mm] &= 3\,(1 - 2) - m\,(-1 - 1) + (2 + 1) \\ &= -3 + 2m + 3 = 2m. \end{aligned} \] \([u, v, w] = 2m = 0\) koşulundan \(m = 0\) bulunur. Bu durumda \(w = (3, 0, 1)\) dir ve gerçekten \[ 2u + v = (2 + 1,\; -2 + 2,\; 2 - 1) = (3, 0, 1) = w \] olur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.10 (Toplamların karma çarpımı) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) olmak üzere \[ \langle u + v, (v + w) \times (w + u)\rangle = 2\,\langle u, v \times w\rangle \] olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Önerme 9.1 gereğince sol taraf bir karma çarpımdır: \[ \begin{aligned} \langle u + v, (v + w) \times (w + u)\rangle &= \langle (v + w) \times (w + u), u + v\rangle \\[1mm] &= [v + w, w + u, u + v]. \end{aligned} \] Şimdi Teorem 9.3 iv)’teki toplamsallığı bileşen bileşen uygulayalım. Önce birinci bileşeni açalım: \[ [v + w, w + u, u + v] = [v, w + u, u + v] + [w, w + u, u + v]. \] Sonra ikinci bileşenleri açalım: \[ \begin{aligned} &= [v, w, u + v] + [v, u, u + v] \\ &\quad + [w, w, u + v] + [w, u, u + v]. \end{aligned} \] \([w, w, u + v]\) terimi iki bileşeni aynı olduğundan sıfırdır (Teorem 9.3 ii). Son olarak üçüncü bileşenleri açalım: \[ \begin{aligned} &= [v, w, u] + [v, w, v] + [v, u, u] + [v, u, v] \\ &\quad + [w, u, u] + [w, u, v]. \end{aligned} \] \([v, w, v]\), \([v, u, u]\), \([v, u, v]\) ve \([w, u, u]\) terimlerinin her birinde iki bileşen aynıdır, dolayısıyla hepsi sıfırdır. Geriye \[ [v, w, u] + [w, u, v] \] kalır. Döngüsel kaydırmayla \([w, u, v] = [v, w, u]\) olduğundan (Teorem 9.3 i) toplam \(2\,[v, w, u]\) olur. Son olarak \[ 2\,[v, w, u] = 2\,\langle v \times w, u\rangle = 2\,\langle u, v \times w\rangle \] bulunur ve istenen eşitlik elde edilir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.11 (Toplamı sıfır olan üç vektör) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) ve \(u + v + w = 0\) ise \[ u \times v = v \times w = w \times u \] olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(v \times w = u \times v\) eşitliği. \(u + v + w = 0\) olduğundan \(w = -(u + v)\) dir. Teorem 9.1 iii), iv) ve ii)’den \[ \begin{aligned} v \times w &= v \times \big(-(u + v)\big) = -\big(v \times (u + v)\big) \\ &= -\big(v \times u + v \times v\big) = -(v \times u) \end{aligned} \] bulunur; çünkü \(v \times v = 0\) dır. Teorem 9.1 i)’den \(-(v \times u) = u \times v\) olduğundan \[ v \times w = u \times v \tag{1} \] elde edilir.
\(u \times v = w \times u\) eşitliği. Bu kez \(v = -(u + w)\) yazalım. Aynı özelliklerle \[ \begin{aligned} u \times v &= u \times \big(-(u + w)\big) = -\big(u \times (u + w)\big) \\ &= -\big(u \times u + u \times w\big) = -(u \times w) = w \times u \end{aligned} \] bulunur: \[ u \times v = w \times u. \tag{2} \]
- ve (2) eşitliklerinden \(u \times v = v \times w = w \times u\) çıkar. Aynı yöntemle \(u = -(v + w)\) yazılırsa \[ w \times u = w \times \big(-(v + w)\big) = -(w \times v) = v \times w \] eşitliği doğrudan da görülür.
Geometrik olarak: \(u + v + w = 0\) ise \(u\), \(v\), \(w\) uç uca eklendiğinde bir üçgen oluşturur. Üç eşitlik, bu üçgenin alanının iki katının hangi iki kenar kullanılarak hesaplanırsa hesaplansın aynı çıktığını söyler.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.12 (İki vektörel çarpımın vektörel çarpımı) \(u, v, w, x \in \mathbb{R}^3\) olsun. Bu durumda \[ (u \times v) \times (w \times x) = [w, x, u]\, v - [w, x, v]\, u \] olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(a = w \times x\) diyelim. Teorem 9.2 ii)’de üçüncü vektör olarak \(a\)’yı alırsak \[ \begin{aligned} (u \times v) \times a &= \langle u, a\rangle\, v - \langle v, a\rangle\, u \\ &= \langle u, w \times x\rangle\, v - \langle v, w \times x\rangle\, u \end{aligned} \] bulunur. İç çarpım simetrik olduğundan \(\langle u, w \times x\rangle = \langle w \times x, u\rangle\) ve \(\langle v, w \times x\rangle = \langle w \times x, v\rangle\) dir. Önerme 9.1 gereğince bunlar sırasıyla \([w, x, u]\) ve \([w, x, v]\) karma çarpımlarıdır. Böylece \[ (u \times v) \times (w \times x) = [w, x, u]\, v - [w, x, v]\, u \] elde edilir.
Yani iki vektörel çarpımın vektörel çarpımı, ilk çarpanın vektörleri olan \(u\) ile \(v\)’nin lineer bileşimidir. Bu hesap, dörtlü özdeşliğin (Teorem 9.5) ispatındaki birinci hesabın aynısıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.13 (Altı vektörlü bir özdeşlik) \(u, v, w, x, y, z \in \mathbb{R}^3\) olmak üzere \[ \begin{aligned} &\langle u \times v, (w \times x) \times (y \times z)\rangle \\ &\quad = \langle u, v \times x\rangle \langle w, y \times z\rangle - \langle u, v \times w\rangle \langle x, y \times z\rangle \end{aligned} \] olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Önce \((w \times x) \times (y \times z)\) vektörünü açalım. Teorem 9.2 ii)’de üçüncü vektör olarak \(y \times z\)’yi alırsak \[ (w \times x) \times (y \times z) = \langle w, y \times z\rangle\, x - \langle x, y \times z\rangle\, w \] bulunur. Burada \(\langle w, y \times z\rangle\) ve \(\langle x, y \times z\rangle\) birer sayıdır. İç çarpımın doğrusallığından \[ \begin{aligned} &\langle u \times v, (w \times x) \times (y \times z)\rangle \\ &\quad = \langle w, y \times z\rangle \langle u \times v, x\rangle - \langle x, y \times z\rangle \langle u \times v, w\rangle \end{aligned} \] olur. Şimdi \(\langle u \times v, x\rangle\) ile \(\langle u \times v, w\rangle\) çarpanlarını istenen biçime getirelim. Önerme 9.1 ve döngüsel kaydırmayla (Teorem 9.3 i) \[ \langle u \times v, x\rangle = [u, v, x] = [v, x, u] = \langle v \times x, u\rangle = \langle u, v \times x\rangle \] ve aynı biçimde \[ \langle u \times v, w\rangle = [u, v, w] = [v, w, u] = \langle v \times w, u\rangle = \langle u, v \times w\rangle \] dir. Bunları yerine yazar ve çarpanların sırasını düzenlersek \[ \begin{aligned} &\langle u \times v, (w \times x) \times (y \times z)\rangle \\ &\quad = \langle u, v \times x\rangle \langle w, y \times z\rangle - \langle u, v \times w\rangle \langle x, y \times z\rangle \end{aligned} \] elde edilir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 9.14 (Sinüs teoremi) Bir \(ABC\) üçgeninde sinüs teoremini, yani \[ \frac{\sin A}{|BC|} = \frac{\sin B}{|AC|} = \frac{\sin C}{|AB|} \] eşitliklerini vektörel çarpım yardımıyla ispatlayınız. Burada \(A\), \(B\), \(C\) aynı zamanda üçgenin bu köşelerdeki iç açılarını gösterir.
Çözüm
Bir \(O\) başlangıç noktası seçelim ve \(A\), \(B\), \(C\) noktalarının yer vektörlerine sırasıyla \(a\), \(b\), \(c\) diyelim. Kenar vektörleri \[ a - b = \overrightarrow{BA}, \qquad b - c = \overrightarrow{CB}, \qquad c - a = \overrightarrow{AC} \] dir ve uzunlukları \(|a - b| = |AB|\), \(|b - c| = |BC|\), \(|c - a| = |AC|\) dir.
\(a - b\), \(b - c\) ve \(c - a\) vektörlerinin toplamı sıfırdır: \[ (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0. \] Alıştırma 9.11 gereğince bu üç vektörün ikişerli vektörel çarpımları eşittir; özellikle uzunlukları da eşittir: \[ \|(a - b) \times (b - c)\| = \|(b - c) \times (c - a)\| = \|(c - a) \times (a - b)\|. \] Bu ortak değer, Sonuç 9.4 gereğince \(ABC\) üçgeninin alanının iki katıdır. Şimdi her birini kenar uzunlukları ve bir iç açının sinüsü cinsinden yazalım. Bir vektörün işaretini değiştirmek vektörel çarpımın yalnız işaretini değiştirir (Teorem 9.1 iii), uzunluğunu değiştirmez.
- \(A\) köşesinde iç açı, \(\overrightarrow{AB} = b - a\) ile \(\overrightarrow{AC} = c - a\) arasındaki açıdır. Buna göre \[ \|(c - a) \times (a - b)\| = \|(b - a) \times (c - a)\| = |AB|\,|AC| \sin A. \]
- \(B\) köşesinde iç açı, \(\overrightarrow{BA} = a - b\) ile \(\overrightarrow{BC} = c - b\) arasındaki açıdır. Buna göre \[ \|(a - b) \times (b - c)\| = \|(a - b) \times (c - b)\| = |AB|\,|BC| \sin B. \]
- \(C\) köşesinde iç açı, \(\overrightarrow{CB} = b - c\) ile \(\overrightarrow{CA} = a - c\) arasındaki açıdır. Buna göre \[ \|(b - c) \times (c - a)\| = \|(b - c) \times (a - c)\| = |BC|\,|AC| \sin C. \]
Her satırda son eşitlik Sonuç 9.2 ii)’dir. Üç ifade eşit olduğundan \[ |AB|\,|AC| \sin A = |AB|\,|BC| \sin B = |BC|\,|AC| \sin C \] bulunur. Bu eşitlikleri sıfırdan farklı \(|AB|\,|AC|\,|BC|\) sayısına bölersek \[ \frac{\sin A}{|BC|} = \frac{\sin B}{|AC|} = \frac{\sin C}{|AB|} \] elde edilir. Bu, sinüs teoremidir: bir üçgende her iç açının sinüsü, karşısındaki kenarın uzunluğuyla orantılıdır.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde uzayın üç temel çarpımını tamamladık: iç çarpım açıyı ve uzunluğu, vektörel çarpım dik doğrultuyu ve alanı, karma çarpım hacmi ve eş düzlemliliği ölçer. Bir sonraki bölümde bu araçlarla uzaydaki doğruların denklemlerini kuracağız: Uzayda Doğru Denklemleri.