15 Uzayda Simetri
Aynaya baktığımızda gördüğümüz görüntü, aynanın öbür tarafında ve aynaya bizimle aynı uzaklıkta durur. Ayna ile aramızdaki en kısa yol aynaya diktir; görüntüye giden yol da bu dikmenin devamıdır. Uzayda simetri bu gözlemin matematiksel hâlidir. Bu bölümde iki tür “ayna” kullanacağız: bir doğru ve bir düzlem.
İki durumda da yöntem aynıdır. Noktadan aynaya bir dikme indiririz; dikmenin ayağı \(K\) olsun. Simetrik nokta, bu dikmenin uzantısı üzerinde, \(K\)’nın öbür yanında ve \(K\)’ya aynı uzaklıktadır. Başka bir deyişle \(K\), nokta ile simetriğini birleştiren doğru parçasının orta noktasıdır. Formüllerin hepsi bu iki koşuldan çıkacak: “\(K\) aynanın üzerindedir” ve “nokta ile simetriğini birleştiren doğru aynaya diktir”.
15.1 Doğruya Göre Simetri
Önce aynamız bir doğru olsun. \(d\) doğrusu \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) noktasından geçsin ve doğrultman vektörü \(v = (a, b, c) \neq 0\) olsun. Doğrunun noktaları, \(\lambda\) bütün reel sayıları dolaşırken \[ d:\quad x = x_0 + \lambda a,\qquad y = y_0 + \lambda b,\qquad z = z_0 + \lambda c \] parametrik denklemleriyle verilir. \(a, b, c\) sıfırdan farklıysa aynı doğru \[ d:\ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} = \lambda \] kartezyen biçiminde de yazılır (doğru denklemleri için bkz. Uzayda Doğru Denklemleri).
\(P(x_1, y_1, z_1)\) bir nokta olsun. \(P\)’den \(d\)’ye inilen dikmenin \(d\)’yi kestiği nokta, yani dikmenin ayağı \(K\) olsun; \(P \in d\) ise \(K = P\) alınır. Böyle bir \(K\) noktası vardır ve tektir: \(\overrightarrow{P_0P}\) vektörünü \(P_0\)’dan çizdiğimizde, \(\overrightarrow{P_0K}\) tam olarak bu vektörün \(v\) üzerine dik izdüşümüdür (Tanım 8.4).
Tanım 15.1 (Bir noktanın bir doğruya göre simetriği) \(P \notin d\) olsun ve \(K\), \(P\)’den \(d\) doğrusuna inilen dikmenin ayağı olsun. \(PK\) doğrusu üzerinde bulunan, \(K\)’nın öbür yanında kalan ve \[ |PK| = |P'K| \] koşulunu sağlayan \(P'\) noktasına \(P\) noktasının \(d\) doğrusuna göre simetriği denir. \(P \in d\) ise \(P\)’nin simetriği kendisidir: \(P' = P\).
Yani \(d\) doğrusu bir eksen gibi davranır: \(P\)’den \(d\)’ye dik olarak gidip aynı uzaklık kadar devam edince \(P'\)’ye varırız. \(K\), \(PP'\) doğru parçasının orta noktasıdır ve \(PP'\) doğrusu \(d\)’ye diktir. Bu iki koşul simetrik noktayı tamamen belirler.
Orta noktanın koordinatlarını düzlemde biliyoruz (Sonuç 2.1). Uzayda da aynı formül geçerlidir.
Lemma 15.1 (Uzayda orta nokta) Uç noktaları \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) ve \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) olan doğru parçasının orta noktası \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] noktasıdır.
İspat
\(M\)’nin koordinatlarından \(P_1\)’inkileri çıkarırsak \[ \overrightarrow{P_1M} = \left(\frac{x_2 - x_1}{2},\ \frac{y_2 - y_1}{2},\ \frac{z_2 - z_1}{2}\right) = \frac{1}{2}\,\overrightarrow{P_1P_2} \] buluruz. Aynı biçimde \(P_2\)’nin koordinatlarından \(M\)’ninkileri çıkarırsak \(\overrightarrow{MP_2} = \frac{1}{2}\,\overrightarrow{P_1P_2}\) olur. Demek ki \(\overrightarrow{P_1M}\) ile \(\overrightarrow{MP_2}\) aynı vektördür: ikisi de \(\overrightarrow{P_1P_2}\) ile aynı yönlüdür ve onun yarısı uzunluğundadır. Buna göre \(M\), \(P_1\)’den \(P_2\)’ye giden doğru parçasının üzerindedir ve \[ |P_1M| = |MP_2| = \frac{1}{2}\,|P_1P_2| \] olur. Doğru parçası üzerinde \(P_1\)’e uzaklığı \(\frac{1}{2}|P_1P_2|\) olan tek bir nokta bulunduğundan orta nokta \(M\)’dir.
\(\blacksquare\)
Artık simetrik noktanın koordinatlarını hesaplayabiliriz.
Teorem 15.1 (Doğruya göre simetri formülü) \(d\) doğrusu \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) noktasından geçsin ve doğrultman vektörü \(v = (a, b, c) \neq 0\) olsun. \(P(x_1, y_1, z_1)\) noktasının \(d\)’ye göre simetriği \(P'(x_1', y_1', z_1')\) ise \[ \lambda = \frac{a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) + c(z_1 - z_0)}{a^2 + b^2 + c^2} \] olmak üzere \[ \begin{aligned} x_1' &= -x_1 + 2(x_0 + \lambda a),\\ y_1' &= -y_1 + 2(y_0 + \lambda b),\\ z_1' &= -z_1 + 2(z_0 + \lambda c) \end{aligned} \] olur. Ayrıca dikmenin ayağı \(K(x_0 + \lambda a,\ y_0 + \lambda b,\ z_0 + \lambda c)\) noktasıdır.
İspat
Önce \(P \notin d\) olsun ve \(P'\), \(P\)’nin simetriği olsun. \(K\) noktası \(PP'\) doğru parçasının orta noktası olduğundan Lemma 15.1 gereğince \[ K\left(\frac{x_1 + x_1'}{2},\ \frac{y_1 + y_1'}{2},\ \frac{z_1 + z_1'}{2}\right) \tag{1} \] olur. \(K\) noktası \(d\) üzerindedir; öyleyse parametrik denklemleri sağlayan bir \(\lambda\) sayısı vardır: \[ \begin{aligned} \frac{x_1 + x_1'}{2} &= x_0 + \lambda a,\\ \frac{y_1 + y_1'}{2} &= y_0 + \lambda b,\\ \frac{z_1 + z_1'}{2} &= z_0 + \lambda c. \end{aligned} \tag{2} \] Bu eşitliklerin her birini \(2\) ile çarpıp \(x_1\), \(y_1\), \(z_1\)’i karşı tarafa atarsak \[ \begin{aligned} x_1' &= -x_1 + 2(x_0 + \lambda a),\\ y_1' &= -y_1 + 2(y_0 + \lambda b),\\ z_1' &= -z_1 + 2(z_0 + \lambda c). \end{aligned} \tag{3} \] elde ederiz. Geriye \(\lambda\)’yı bulmak kalıyor. \(PP'\) doğrusu \(d\)’ye dik olduğundan \(\overrightarrow{PP'} \perp v\), yani \(\langle \overrightarrow{PP'}, v\rangle = 0\) olur (Önerme 8.2). Koordinatlarla \[ a(x_1' - x_1) + b(y_1' - y_1) + c(z_1' - z_1) = 0. \tag{4} \] (3)’ten \(x_1' - x_1 = -2(x_1 - x_0) + 2\lambda a\) ve benzer biçimde \(y_1' - y_1 = -2(y_1 - y_0) + 2\lambda b\), \(z_1' - z_1 = -2(z_1 - z_0) + 2\lambda c\) gelir. Bunları (4)’te yerine yazalım: \[ \begin{aligned} &-2a(x_1 - x_0) + 2\lambda a^2 - 2b(y_1 - y_0) + 2\lambda b^2 \\ &\quad - 2c(z_1 - z_0) + 2\lambda c^2 = 0. \end{aligned} \] \(\lambda\) içeren terimleri bir yanda toplarsak \[ 2\lambda\,(a^2 + b^2 + c^2) = 2a(x_1 - x_0) + 2b(y_1 - y_0) + 2c(z_1 - z_0) \] olur. \(v \neq 0\) olduğundan \(a^2 + b^2 + c^2 > 0\)’dır; iki yanı \(2(a^2 + b^2 + c^2)\) sayısına bölünce \(\lambda\) için verilen formül çıkar. Bu \(\lambda\) ile (3) teoremdeki eşitliklerdir, (2) de \(K\)’nın koordinatlarını verir.
Tersine, \(\lambda\) formüldeki gibi tanımlansın; \(K\) ve \(P'\) noktaları da teoremdeki koordinatlarla alınsın. \(K\), parametre değeri \(\lambda\) olan nokta olduğundan \(d\) üzerindedir. (3) eşitlikleri (2) ile denk olduğundan \(K\), \(PP'\)’nün orta noktasıdır. Yukarıdaki hesap geriye doğru okunursa (4) sağlanır, yani \(\overrightarrow{PP'} \perp v\) olur. \(P \notin d\) ise \(P \neq K\)’dır ve \(PK\) doğrusu \(d\)’ye \(K\)’da dik iner; demek ki \(K\) dikmenin ayağıdır. \(P'\) bu dikme üzerinde, \(K\)’nın öbür yanında ve \(|P'K| = |PK|\) uzaklığındadır. Dolayısıyla \(P'\), \(P\)’nin simetriğidir.
Son olarak \(P \in d\) olsun. Bu durumda bir \(t\) için \(x_1 - x_0 = ta\), \(y_1 - y_0 = tb\), \(z_1 - z_0 = tc\) olur ve formül \[ \lambda = \frac{t(a^2 + b^2 + c^2)}{a^2 + b^2 + c^2} = t \] verir. O zaman \(K = P\) ve \(x_1' = -x_1 + 2x_1 = x_1\) olur; aynı biçimde \(y_1' = y_1\), \(z_1' = z_1\) bulunur. Formül bu durumda da doğru sonucu, \(P' = P\)’yi verir.
\(\blacksquare\)
Formüldeki \(\lambda\) sayısı tanıdıktır: dik izdüşüm formülündeki katsayıdır (Teorem 8.3). Gerçekten \(\lambda = \dfrac{\langle \overrightarrow{P_0P}, v\rangle}{\langle v, v\rangle}\) olduğundan \(\lambda v = \operatorname{izd}_v(\overrightarrow{P_0P})\) olur. Yani \(K\)’ya varmak için \(P_0\)’dan başlayıp \(\overrightarrow{P_0P}\)’nin \(v\) üzerindeki izdüşümü kadar ilerliyoruz. \(P'\) ise \(K\)’nın \(P\)’ye göre “iki katı” konumdur: her koordinatta \(x_1' = 2 \cdot (K\text{'nın apsisi}) - x_1\).
- Doğrunun denkleminden bir \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) noktası ve bir \(v = (a, b, c)\) doğrultman vektörü oku.
- \(\lambda = \dfrac{\langle \overrightarrow{P_0P}, v\rangle}{a^2 + b^2 + c^2}\) sayısını hesapla ve dikmenin ayağını \(K(x_0 + \lambda a,\ y_0 + \lambda b,\ z_0 + \lambda c)\) olarak yaz.
- \(P'\)’nün her koordinatını “\(K\)’nın koordinatının iki katı eksi \(P\)’nin koordinatı” olarak bul. İstersen \(\langle \overrightarrow{PP'}, v\rangle = 0\) olduğunu sınayarak sonucu denetle.
Örnek 15.1 (Bir noktanın kartezyen denklemi verilen doğruya göre simetriği) \(P(3, 4, -2)\) noktasının \[ d:\ \frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z - 2}{1} \] doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
Çözüm
Doğrudan okunanlar. Paydalar doğrultman vektörünü, paylardaki sabitler de doğrunun bir noktasını verir: \(v = (2, 4, 1)\) ve \(P_0(0, 0, 2) \in d\). Ayrıca \(x_1 = 3\), \(y_1 = 4\), \(z_1 = -2\)’dir.
\(\lambda\) sayısı. Doğruya göre simetri formülüyle (Teorem 15.1) \[ \lambda = \frac{2(3 - 0) + 4(4 - 0) + 1(-2 - 2)}{2^2 + 4^2 + 1^2} = \frac{6 + 16 - 4}{21} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7} \] bulunur. Dikmenin ayağı \[ K\left(0 + \tfrac{6}{7} \cdot 2,\ 0 + \tfrac{6}{7} \cdot 4,\ 2 + \tfrac{6}{7} \cdot 1\right) = K\left(\tfrac{12}{7},\ \tfrac{24}{7},\ \tfrac{20}{7}\right) \] noktasıdır.
Simetrik nokta. \(P\)’nin simetriği \(P'(x_1', y_1', z_1')\) olsun. Teoremdeki eşitliklerle \[ \begin{aligned} x_1' &= -3 + 2\left(0 + \tfrac{6}{7} \cdot 2\right) = -3 + \tfrac{24}{7} = \tfrac{3}{7},\\ y_1' &= -4 + 2\left(0 + \tfrac{6}{7} \cdot 4\right) = -4 + \tfrac{48}{7} = \tfrac{20}{7},\\ z_1' &= -(-2) + 2\left(2 + \tfrac{6}{7} \cdot 1\right) = 2 + \tfrac{40}{7} = \tfrac{54}{7} \end{aligned} \] bulunur. Demek ki \(P'\left(\tfrac{3}{7}, \tfrac{20}{7}, \tfrac{54}{7}\right)\)’dir.
Sağlama. \(P\) ile \(P'\)’nün koordinat farkları \[ \overrightarrow{PP'} = \left(\tfrac{3}{7} - 3,\ \tfrac{20}{7} - 4,\ \tfrac{54}{7} + 2\right) = \tfrac{1}{7}(-18, -8, 68) \] olur ve \[ \langle \overrightarrow{PP'}, v\rangle = \tfrac{1}{7}\big((-18) \cdot 2 + (-8) \cdot 4 + 68 \cdot 1\big) = \tfrac{1}{7}(-36 - 32 + 68) = 0 \] çıkar; \(PP'\) gerçekten \(d\)’ye diktir. \(PP'\)’nün orta noktası da \(K\)’dır: \[ \left(\tfrac{3 + 3/7}{2},\ \tfrac{4 + 20/7}{2},\ \tfrac{-2 + 54/7}{2}\right) = \left(\tfrac{12}{7},\ \tfrac{24}{7},\ \tfrac{20}{7}\right). \]
\(\blacksquare\)
Doğru her zaman bütün paydaları sıfırdan farklı bir kartezyen denklemle verilmez. Parametrik denklemlerle çalışınca bu durum hiçbir güçlük çıkarmaz.
Örnek 15.2 (Bir koordinatı sabit olan doğruya göre simetri) \(P(3, 2, 5)\) noktasının \[ d:\quad x = 1 + \lambda,\qquad y = 1,\qquad z = 2 + \lambda \] doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
Çözüm
Doğrudan okunanlar. \(\lambda = 0\) alınca \(P_0(1, 1, 2) \in d\) bulunur; \(\lambda\)’nın katsayıları da \(v = (1, 0, 1)\) doğrultman vektörünü verir. \(v\)’nin ikinci bileşeni \(0\)’dır: doğru boyunca \(y\) değişmez.
\(\lambda\) sayısı. \(\overrightarrow{P_0P} = (2, 1, 3)\) olduğundan \[ \lambda = \frac{1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3}{1^2 + 0^2 + 1^2} = \frac{5}{2} \] olur. Dikmenin ayağı \[ K\left(1 + \tfrac{5}{2},\ 1 + \tfrac{5}{2} \cdot 0,\ 2 + \tfrac{5}{2}\right) = K\left(\tfrac{7}{2},\ 1,\ \tfrac{9}{2}\right) \] noktasıdır.
Simetrik nokta. Her koordinat, \(K\)’nın koordinatının iki katı eksi \(P\)’ninkidir: \[ x_1' = 2 \cdot \tfrac{7}{2} - 3 = 4,\qquad y_1' = 2 \cdot 1 - 2 = 0,\qquad z_1' = 2 \cdot \tfrac{9}{2} - 5 = 4. \] Demek ki \(P'(4, 0, 4)\)’tür.
Sağlama. \(\overrightarrow{PP'} = (1, -2, -1)\) ve \(\langle \overrightarrow{PP'}, v\rangle = 1 - 0 - 1 = 0\)’dır. Ayrıca \(\overrightarrow{KP} = \left(-\tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{1}{2}\right)\) ve \(\overrightarrow{KP'} = \left(\tfrac{1}{2}, -1, -\tfrac{1}{2}\right)\) olduğundan \[ |PK|^2 = |P'K|^2 = \tfrac{1}{4} + 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{2} \] bulunur; iki uzaklık da \(\sqrt{3/2}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Koordinat eksenleri de birer doğrudur ve onlara göre simetri çok sade bir biçim alır.
Sonuç 15.1 (Koordinat eksenlerine göre simetri) \(P(x_1, y_1, z_1)\) noktasının
i) \(X\)-eksenine göre simetriği \((x_1, -y_1, -z_1)\),
ii) \(Y\)-eksenine göre simetriği \((-x_1, y_1, -z_1)\),
iii) \(Z\)-eksenine göre simetriği \((-x_1, -y_1, z_1)\)
noktasıdır. Yani eksene ait koordinat korunur, öbür iki koordinat işaret değiştirir.
İspat
i) \(X\)-ekseni \(O(0, 0, 0)\) noktasından geçer ve doğrultman vektörü \(e_1 = (1, 0, 0)\)’dır. Simetri formülünde (Teorem 15.1) \(P_0 = O\) ve \(v = e_1\) alınırsa \[ \lambda = \frac{1 \cdot x_1 + 0 \cdot y_1 + 0 \cdot z_1}{1} = x_1 \] olur ve dikmenin ayağı \(K(x_1, 0, 0)\)’dır. Buna göre \[ \begin{aligned} x_1' &= -x_1 + 2x_1 = x_1,\\ y_1' &= -y_1 + 2 \cdot 0 = -y_1,\\ z_1' &= -z_1 + 2 \cdot 0 = -z_1 \end{aligned} \] bulunur.
ii) \(P_0 = O\) ve \(v = e_2 = (0, 1, 0)\) alınırsa \(\lambda = y_1\), \(K(0, y_1, 0)\) ve \(P'(-x_1, y_1, -z_1)\) olur.
iii) \(P_0 = O\) ve \(v = e_3 = (0, 0, 1)\) alınırsa \(\lambda = z_1\), \(K(0, 0, z_1)\) ve \(P'(-x_1, -y_1, z_1)\) olur.
Örneğin \(P(2, 3, 2)\) noktasının \(Z\)-eksenine göre simetriği \(P'(-2, -3, 2)\)’dir ve dikmenin ayağı \(K(0, 0, 2)\)’dir.
\(\blacksquare\)
15.2 Düzleme Göre Simetri
Şimdi aynamız bir düzlem olsun. \(\mathfrak{D}: Ax + By + Cz + D = 0\) düzleminin normal vektörü \(n = (A, B, C) \neq 0\)’dır; \(n\)’ye paralel her doğru düzleme diktir (bkz. Uzayda Düzlem Denklemleri). \(P(x_1, y_1, z_1)\) noktasından geçen ve \(n\)’ye paralel olan doğru, \(P\)’den \(\mathfrak{D}\)’ye inilen dikmedir; bu dikme düzlemi tek bir \(K\) noktasında keser.
Tanım 15.2 (Bir noktanın bir düzleme göre simetriği) \(\mathfrak{D}: Ax + By + Cz + D = 0\) düzlemi verilsin ve \(P(x_1, y_1, z_1) \notin \mathfrak{D}\) olsun. \(P\)’den \(\mathfrak{D}\) düzlemine inilen dikmenin düzlemi kestiği nokta \(K\) olmak üzere, bu dikme üzerinde bulunan, \(K\)’nın öbür yanında kalan ve \[ |PK| = |KP'| \] koşulunu sağlayan \(P'(x_1', y_1', z_1')\) noktasına \(P\)’nin \(\mathfrak{D}\) düzlemine göre simetriği denir. \(P \in \mathfrak{D}\) ise \(P\)’nin simetriği kendisidir: \(P' = P\).
Yani \(\mathfrak{D}\) düzlemi bir ayna gibidir: \(P'\), \(P\)’nin aynadaki görüntüsüdür. Yine \(K\), \(PP'\) doğru parçasının orta noktasıdır ve bu kez \(PP'\) doğrusu düzlemin normaline paraleldir.
Teorem 15.2 (Düzleme göre simetri formülü) \(\mathfrak{D}: Ax + By + Cz + D = 0\) düzlemi ve \(P(x_1, y_1, z_1)\) noktası verilsin. \(P\)’nin \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriği \(P'(x_1', y_1', z_1')\) ise \[ \mu = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D)}{A^2 + B^2 + C^2} \] olmak üzere \[ x_1' = x_1 + \mu A,\qquad y_1' = y_1 + \mu B,\qquad z_1' = z_1 + \mu C \] olur. Ayrıca dikmenin ayağı \(K\left(x_1 + \tfrac{\mu}{2}A,\ y_1 + \tfrac{\mu}{2}B,\ z_1 + \tfrac{\mu}{2}C\right)\) noktasıdır.
İspat
Önce \(P \notin \mathfrak{D}\) olsun ve \(P'\), \(P\)’nin simetriği olsun. \(P'\) noktası \(P\)’den geçen ve \(n = (A, B, C)\)’ye paralel olan dikme üzerindedir; bu yüzden \(\overrightarrow{PP'} \parallel n\)’dir ve bir \(\mu\) sayısı için \(\overrightarrow{PP'} = \mu n\) yazılabilir: \[ \begin{aligned} x_1' - x_1 &= \mu A,\\ y_1' - y_1 &= \mu B,\\ z_1' - z_1 &= \mu C. \end{aligned} \tag{5} \] Buradan \[ \begin{aligned} x_1' &= x_1 + \mu A,\\ y_1' &= y_1 + \mu B,\\ z_1' &= z_1 + \mu C. \end{aligned} \tag{6} \] çıkar. Geriye \(\mu\)’yü bulmak kalıyor. \(K\), \(PP'\) doğru parçasının orta noktasıdır. Lemma 15.1 ve (6) gereğince \[ K\left(\frac{x_1 + x_1'}{2},\ \frac{y_1 + y_1'}{2},\ \frac{z_1 + z_1'}{2}\right) = K\left(x_1 + \tfrac{\mu}{2}A,\ y_1 + \tfrac{\mu}{2}B,\ z_1 + \tfrac{\mu}{2}C\right) \] olur. \(K \in \mathfrak{D}\) olduğundan koordinatları düzlemin denklemini sağlar: \[ A\left(x_1 + \tfrac{\mu}{2}A\right) + B\left(y_1 + \tfrac{\mu}{2}B\right) + C\left(z_1 + \tfrac{\mu}{2}C\right) + D = 0. \tag{7} \] Parantezleri açıp \(\mu\) içeren terimleri toplarsak \[ Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D + \frac{1}{2}\,\mu\,(A^2 + B^2 + C^2) = 0 \] buluruz. \(n \neq 0\) olduğundan \(A^2 + B^2 + C^2 > 0\)’dır ve \[ \mu = \frac{-2(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D)}{A^2 + B^2 + C^2} \tag{8} \] elde edilir. Bu değer (6)’da yerine yazılınca simetrik noktanın koordinatları bulunur.
Tersine, \(\mu\) (8) ile tanımlansın ve \(P'\) (6) ile alınsın. \(K\), \(PP'\)’nün orta noktası olsun. Yukarıdaki hesap geriye doğru okunursa (7) sağlanır, yani \(K \in \mathfrak{D}\)’dir. \(\overrightarrow{PK} = \tfrac{\mu}{2}\,n\) olduğundan \(PK\) doğrusu \(n\)’ye paraleldir, yani düzleme diktir. \(P \notin \mathfrak{D}\) ise \(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D \neq 0\), dolayısıyla \(\mu \neq 0\) ve \(P \neq K\)’dır; demek ki \(K\) dikmenin ayağıdır. \(P'\) bu dikme üzerinde, \(K\)’nın öbür yanında ve \(|KP'| = |PK|\) uzaklığındadır. Böylece \(P'\), \(P\)’nin simetriğidir.
Son olarak \(P \in \mathfrak{D}\) ise \(Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0\), dolayısıyla \(\mu = 0\) ve \(P' = P\) olur. Formül bu durumda da doğru sonucu verir.
\(\blacksquare\)
Formül bir uzaklık formülünü de içinde taşır. \(\overrightarrow{PK} = \tfrac{\mu}{2}\,n\) olduğundan \[ \begin{aligned} |PK| &= \frac{|\mu|}{2}\,\|n\| = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{A^2 + B^2 + C^2}\,\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\\[1mm] &= \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \end{aligned} \] olur. Bu, \(P\) noktasının \(\mathfrak{D}\) düzlemine uzaklığıdır (bkz. Doğru ile Düzlem ve Uzaklıklar). Yani simetri formülü, “düzleme uzaklık kadar dik in, bir o kadar daha devam et” demenin koordinatlarla söylenişidir.
- \(\delta = Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D\) değerini (noktanın koordinatlarını düzlemin denkleminin sol yanında yerine yazarak) ve \(A^2 + B^2 + C^2\) sayısını hesapla; \(\mu = \dfrac{-2\delta}{A^2 + B^2 + C^2}\) olur.
- \(P'\)’nü \(P\)’ye \(\mu n = (\mu A, \mu B, \mu C)\) vektörünü ekleyerek bul. İstersen orta noktanın düzlemin denklemini sağladığını sınayarak sonucu denetle.
Örnek 15.3 (Bir noktanın bir düzleme göre simetriği) \(P(2, -2, 3)\) noktasının \(\mathfrak{D}: x - 2y + 2z - 3 = 0\) düzlemine göre simetriğini bulunuz.
Çözüm
\(\mu\) sayısı. Düzlemin normal vektörü \(n = (1, -2, 2)\)’dir ve \(A^2 + B^2 + C^2 = 1 + 4 + 4 = 9\)’dur. \(P\)’nin koordinatlarını denklemin sol yanında yerine yazarsak \[ \delta = 2 - 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 - 3 = 2 + 4 + 6 - 3 = 9 \] bulunur. Düzleme göre simetri formülüyle (Teorem 15.2) \[ \mu = \frac{-2 \cdot 9}{9} = -2 \] olur.
Simetrik nokta. \[ \begin{aligned} x_1' &= 2 + (-2) \cdot 1 = 0,\\ y_1' &= -2 + (-2) \cdot (-2) = 2,\\ z_1' &= 3 + (-2) \cdot 2 = -1. \end{aligned} \] Demek ki \(P'(0, 2, -1)\)’dir.
Sağlama. Dikmenin ayağı, yani \(PP'\)’nün orta noktası \(K(1, 0, 1)\)’dir ve \(1 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 3 = 0\) olduğundan \(K \in \mathfrak{D}\)’dir. \(\overrightarrow{PP'} = (-2, 4, -4) = -2n\) olduğundan \(PP'\) düzleme diktir. Ayrıca \(|PK| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\) bulunur; bu da \(P\)’nin düzleme uzaklığı olan \(\dfrac{|9|}{\sqrt{9}} = 3\) ile aynıdır.
\(\blacksquare\)
Koordinat düzlemlerine göre simetri, koordinat eksenlerine göre simetrinin eşidir.
Sonuç 15.2 (Koordinat düzlemlerine göre simetri) \(P(x_1, y_1, z_1)\) noktasının
i) \(XY\)-düzlemine göre simetriği \((x_1, y_1, -z_1)\),
ii) \(XZ\)-düzlemine göre simetriği \((x_1, -y_1, z_1)\),
iii) \(YZ\)-düzlemine göre simetriği \((-x_1, y_1, z_1)\)
noktasıdır. Yani düzleme dik olan eksenin koordinatı işaret değiştirir, öbür iki koordinat korunur.
İspat
i) \(XY\)-düzleminin denklemi \(z = 0\)’dır; yani \(A = B = 0\), \(C = 1\), \(D = 0\)’dır. Düzleme göre simetri formülüyle (Teorem 15.2) \[ \mu = \frac{-2(0 \cdot x_1 + 0 \cdot y_1 + 1 \cdot z_1 + 0)}{0^2 + 0^2 + 1^2} = -2z_1 \] olur ve \[ x_1' = x_1 + \mu \cdot 0 = x_1,\qquad y_1' = y_1 + \mu \cdot 0 = y_1,\qquad z_1' = z_1 - 2z_1 = -z_1 \] bulunur.
ii) \(XZ\)-düzleminin denklemi \(y = 0\)’dır. \(A = 0\), \(B = 1\), \(C = 0\), \(D = 0\) ile \(\mu = -2y_1\) ve \(P'(x_1, -y_1, z_1)\) elde edilir.
iii) \(YZ\)-düzleminin denklemi \(x = 0\)’dır. \(A = 1\), \(B = C = 0\), \(D = 0\) ile \(\mu = -2x_1\) ve \(P'(-x_1, y_1, z_1)\) elde edilir.
Örneğin \(P(2, 3, 2)\) noktasının \(XY\)-düzlemine göre simetriği \(P'(2, 3, -2)\)’dir ve dikmenin ayağı \(K(2, 3, 0)\)’dır.
\(\blacksquare\)
Simetri almayı iki kez uygulayınca başladığımız yere döneriz. Bu basit gözlem, bir sonraki önermede bütün bir kümenin simetriğini bulmamızı sağlayacak.
Önerme 15.1 (Simetriğin simetriği) Ayna bir doğru ya da bir düzlem olsun. \(P'\), \(P\) noktasının bu aynaya göre simetriği ise \(P'\)’nün aynı aynaya göre simetriği \(P\)’dir.
İspat
\(P\) aynanın üzerindeyse \(P' = P\)’dir ve söylenecek bir şey yoktur. \(P\) aynanın üzerinde değilse \(K\), \(P\)’den aynaya inilen dikmenin ayağı olsun. \(K\), \(PP'\)’nün orta noktasıdır. \(P'\), \(PK\) doğrusu üzerindedir ve bu doğru aynayı yalnız \(K\)’da keser; öyleyse \(P'\) aynanın üzerinde olsaydı \(P' = K\) olurdu. Oysa \(|P'K| = |PK| > 0\)’dır. Demek ki \(P'\) aynanın üzerinde değildir.
\(P'\), \(PK\) doğrusu üzerindedir. Bu doğru aynaya \(K\)’da diktir ve \(P'\)’den geçer; o hâlde \(P'\)’den aynaya inilen dikme de bu doğrudur ve ayağı yine \(K\)’dır. (Ayna bir doğruysa dikmenin ayağı tektir; ayna bir düzlemse \(P'\)’den geçip normale paralel olan doğru tektir.) \(P'\)’nün simetriği, bu dikme üzerinde \(K\)’nın öbür yanında ve \(K\)’ya \(|P'K|\) uzaklığında olan noktadır. \(K\), \(PP'\)’nün orta noktası olduğundan bu nokta \(P\)’dir.
\(\blacksquare\)
Yani simetri alma işlemi kendi kendisinin tersidir: bir noktayı aynaya göre yansıtıp görüntüyü tekrar yansıtırsak noktanın kendisini buluruz.
Bir Geometrik Yerin Düzleme Göre Simetriği
Bir \(\mathcal{G}\) geometrik yeri (bir yüzey, bir düzlem, bir küre …) \(f(x, y, z) = 0\) denklemiyle verilsin. \(\mathcal{G}\)’nin noktalarının \(\mathfrak{D}\) düzlemine göre simetriklerinin oluşturduğu kümeye \(\mathcal{G}\)’nin \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriği denir. Bu kümenin denklemini, formülü \(f\)’nin içine yerleştirerek hemen yazabiliriz.
Önerme 15.2 (Bir geometrik yerin düzleme göre simetriğinin denklemi) \(\mathfrak{D}: Ax + By + Cz + D = 0\) bir düzlem, \(\mathcal{G}\) de \(f(x, y, z) = 0\) denklemiyle verilen bir geometrik yer olsun. Kısaltma olarak \[ \delta = Ax + By + Cz + D,\qquad N = A^2 + B^2 + C^2 \] yazalım. \(\mathcal{G}\)’nin \(\mathfrak{D}\) düzlemine göre simetriğinin denklemi \[ f\left(x - \frac{2A\,\delta}{N},\ y - \frac{2B\,\delta}{N},\ z - \frac{2C\,\delta}{N}\right) = 0 \] biçimindedir.
İspat
Bir \(Q(x, y, z)\) noktasının \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriğini \(\sigma(Q)\) ile gösterelim. Simetri formülünde (Teorem 15.2) \(P = Q\) alınırsa \(\mu = -\dfrac{2\delta}{N}\) olur ve \[ \sigma(Q) = \left(x - \frac{2A\,\delta}{N},\ y - \frac{2B\,\delta}{N},\ z - \frac{2C\,\delta}{N}\right) \] bulunur. \(\mathcal{G}'\), \(\mathcal{G}\)’nin simetriği olsun. Şunu göstereceğiz: \[ Q \in \mathcal{G}' \iff \sigma(Q) \in \mathcal{G}. \] \(Q \in \mathcal{G}'\) ise bir \(R \in \mathcal{G}\) için \(Q = \sigma(R)\)’dir. Önerme 15.1 gereğince \(\sigma(Q) = \sigma(\sigma(R)) = R\) olur, yani \(\sigma(Q) \in \mathcal{G}\)’dir. Tersine \(\sigma(Q) \in \mathcal{G}\) ise \(R = \sigma(Q)\) diyelim. Yine Önerme 15.1 gereğince \(\sigma(R) = Q\) olur; \(Q\), \(\mathcal{G}\)’nin bir noktasının simetriği olduğundan \(Q \in \mathcal{G}'\)’dür.
Son olarak \(\sigma(Q) \in \mathcal{G}\) olması, \(\sigma(Q)\)’nun koordinatlarının \(f = 0\) denklemini sağlaması demektir. Bu koşul yukarıda yazılan denklemdir.
\(\blacksquare\)
Yani simetriğin denklemini bulmak için \(f\)’nin içindeki \(x, y, z\) yerine, \((x, y, z)\) noktasının aynadaki görüntüsünün koordinatlarını yazarız. Dikkat: \(\delta\), sabit bir noktadaki değer değil, \(x, y, z\) değişkenlerine bağlı \(Ax + By + Cz + D\) ifadesidir. Koordinat düzlemleri için bu kural çok kısalır: örneğin \(XY\)-düzlemine göre simetrinin denklemi, \(f\)’de \(z\) yerine \(-z\) yazılarak elde edilir (Sonuç 15.2).
Örnek 15.4 (Bir kürenin bir düzleme göre simetriği) \(\mathcal{S}: (x - 3)^2 + y^2 + z^2 = 4\) küresinin \(\mathfrak{D}: x + y + z = 0\) düzlemine göre simetriğinin denklemini bulunuz.
Çözüm
Görüntünün koordinatları. Burada \(A = B = C = 1\), \(D = 0\) olduğundan \(\delta = x + y + z\) ve \(N = 3\)’tür. \((x, y, z)\) noktasının görüntüsünün koordinatlarına \(X, Y, Z\) diyelim: \[ \begin{aligned} X &= x - \tfrac{2}{3}(x + y + z) = \tfrac{1}{3}(x - 2y - 2z),\\ Y &= y - \tfrac{2}{3}(x + y + z) = \tfrac{1}{3}(-2x + y - 2z),\\ Z &= z - \tfrac{2}{3}(x + y + z) = \tfrac{1}{3}(-2x - 2y + z). \end{aligned} \]
Yerine koyma. Kürenin denklemini açarsak \[ f(x, y, z) = (x - 3)^2 + y^2 + z^2 - 4 = x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 5 \] olur. Önerme 15.2 gereğince simetriğin denklemi \[ X^2 + Y^2 + Z^2 - 6X + 5 = 0 \] olur. Önce kareler toplamını hesaplayalım. Üç kareyi ayrı ayrı açarsak \[ \begin{aligned} (x - 2y - 2z)^2 &= x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 4xy - 4xz + 8yz,\\ (-2x + y - 2z)^2 &= 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy + 8xz - 4yz,\\ (-2x - 2y + z)^2 &= 4x^2 + 4y^2 + z^2 + 8xy - 4xz - 4yz \end{aligned} \] bulunur. Toplarken \(xy\), \(xz\) ve \(yz\) terimlerinin katsayıları \(-4 - 4 + 8 = 0\) olur; kare terimlerin katsayıları ise \(1 + 4 + 4 = 9\)’dur. Buna göre \[ X^2 + Y^2 + Z^2 = \frac{9x^2 + 9y^2 + 9z^2}{9} = x^2 + y^2 + z^2 \] çıkar. Ayrıca \[ -6X = -2(x - 2y - 2z) = -2x + 4y + 4z \] dir. Simetriğin denklemi \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 4z + 5 = 0 \] olur.
Tam kareye tamamlama. \(x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1\), \(y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4\), \(z^2 + 4z = (z + 2)^2 - 4\) olduğundan \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 - 1 - 4 - 4 + 5 = 0, \] yani \[ \mathcal{S}': (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 4 \] bulunur. Simetrik küre, merkezi \(M'(1, -2, -2)\) ve yarıçapı \(2\) olan küredir.
Sağlama. Asıl kürenin merkezi \(M(3, 0, 0)\)’dır. Onun \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriği için \(\delta = 3\) ve \(\mu = -\tfrac{2 \cdot 3}{3} = -2\) olur; \(M\)’nin koordinatlarına \(\mu n = (-2, -2, -2)\) eklenince \((1, -2, -2)\) bulunur. Beklendiği gibi merkez merkeze gider ve yarıçap değişmez.
\(\blacksquare\)
15.3 Bir Doğrunun Bir Düzleme Göre Simetriği
Bir doğrunun düzleme göre simetriği, doğrunun bütün noktalarının simetriklerinden oluşan kümedir. Bu kümenin yine bir doğru olduğunu ve iki noktasıyla belirlendiğini gösterelim.
Önerme 15.3 (Bir doğrunun düzleme göre simetriği bir doğrudur) \(d\) doğrusu \(P_0\) noktasından geçsin ve doğrultman vektörü \(v \neq 0\) olsun. \(\mathfrak{D}\) düzleminin normal vektörü \(n\) ve \(P_0\)’ın \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriği \(P_0'\) olsun. \(d\)’nin \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriği, \(P_0'\)’dan geçen ve doğrultman vektörü \[ w = v - \frac{2\langle v, n\rangle}{\langle n, n\rangle}\,n \] olan \(d'\) doğrusudur. Özel olarak, \(d\) üzerindeki iki farklı noktanın simetrikleri de farklıdır ve \(d'\) bu iki simetrik noktadan geçen doğrudur.
İspat
\(\mathfrak{D}: Ax + By + Cz + D = 0\), \(n = (A, B, C)\) ve \(N = \langle n, n\rangle\) olsun. Bir \(Q(x, y, z)\) noktası için \(\delta(Q) = Ax + By + Cz + D\) yazalım. Teorem 15.2 gereğince \(Q\)’nun simetriği, \(Q\)’nun koordinatlarına \(-\dfrac{2\delta(Q)}{N}\,n\) vektörünün koordinatları eklenerek bulunur.
\(d\)’nin noktaları, \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) ve \(v = (a, b, c)\) olmak üzere, \(Q_\lambda(x_0 + \lambda a,\ y_0 + \lambda b,\ z_0 + \lambda c)\) noktalarıdır. Bu nokta için \[ \delta(Q_\lambda) = (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) + \lambda(Aa + Bb + Cc) = \delta(P_0) + \lambda\,\langle v, n\rangle \] olur. Buna göre \(Q_\lambda\)’nın simetriğinin koordinatları, \(P_0\)’ın koordinatlarına \[ \lambda v - \frac{2\delta(P_0)}{N}\,n - \lambda\,\frac{2\langle v, n\rangle}{N}\,n \] vektörünün koordinatları eklenerek bulunur. Terimleri yeniden gruplarsak: \(P_0\)’a \(-\frac{2\delta(P_0)}{N}\,n\) eklemek \(P_0'\)’ı verir; geriye kalan \(\lambda\left(v - \frac{2\langle v, n\rangle}{N}\,n\right) = \lambda w\)’dur. Yani \(Q_\lambda\)’nın simetriği, \(P_0'\)’dan \(\lambda w\) kadar ilerleyerek varılan noktadır.
\(w \neq 0\) olduğunu gösterelim. \(w = 0\) olsaydı \(v = \frac{2\langle v, n\rangle}{N}\,n\) olurdu. Bu eşitliğin iki yanının \(n\) ile iç çarpımını alırsak \[ \langle v, n\rangle = \frac{2\langle v, n\rangle}{N}\,\langle n, n\rangle = 2\langle v, n\rangle \] bulunur; buradan \(\langle v, n\rangle = 0\) ve dolayısıyla \(v = 0\) çıkar. Bu, \(v \neq 0\) olmasıyla çelişir.
\(\lambda\) bütün reel sayıları dolaşırken \(P_0'\)’dan \(\lambda w\) kadar ilerleyerek varılan noktalar, \(P_0'\)’dan geçen ve doğrultman vektörü \(w\) olan \(d'\) doğrusunun tam olarak bütün noktalarıdır. Böylece \(d\)’nin simetriği \(d'\)’dür. Farklı \(\lambda\) değerleri, \(w \neq 0\) olduğundan, \(d'\) üzerinde farklı noktalar verir; bu yüzden \(d\)’nin iki farklı noktasının simetrikleri farklıdır ve \(d'\), bu iki noktadan geçen tek doğrudur.
\(\blacksquare\)
Önermeden iki kullanışlı sonuç okunur. \(d\) düzleme paralelse \(\langle v, n\rangle = 0\)’dır; o zaman \(w = v\) olur ve \(d'\) de \(d\)’ye paraleldir. \(d\) düzlemi bir \(S\) noktasında kesiyorsa \(S \in \mathfrak{D}\) olduğundan \(S\)’nin simetriği kendisidir; demek ki \(S\) hem \(d\)’nin hem \(d'\)’nün üzerindedir. Bu ikinci gözlem, hesabın sağlamasını yapmak için çok elverişlidir.
- Doğrunun parametrik denklemlerinde iki farklı \(\lambda\) değeri seçerek (örneğin \(\lambda = 0\) ve \(\lambda = 1\)) iki nokta, \(P_0\) ile \(P_1\)’i bul.
- Teorem 15.2 ile bu iki noktanın simetrikleri \(P_0'\) ve \(P_1'\)’i hesapla.
- \(P_0'\) ve \(P_1'\)’den geçen doğrunun denklemini yaz. İstersen doğrunun düzlemle kesişim noktasının \(d'\) üzerinde olduğunu sınayarak sonucu denetle.
Örnek 15.5 (Bir doğrunun bir düzleme göre simetriği) \[ d:\ \frac{x - 1}{2} = y = \frac{z}{3} \] doğrusunun \(\mathfrak{D}: 2x - 3y + 4z + 4 = 0\) düzlemine göre simetriğini bulunuz.
Çözüm
İki nokta seçme. \(d\)’nin parametrik denklemleri \[ x = 1 + 2\lambda,\qquad y = \lambda,\qquad z = 3\lambda \] biçimindedir. \(\lambda = 0\) için \(x_0 = 1\), \(y_0 = 0\), \(z_0 = 0\), yani \(P_0(1, 0, 0)\); \(\lambda = 1\) için \(x_1 = 3\), \(y_1 = 1\), \(z_1 = 3\), yani \(P_1(3, 1, 3)\) bulunur. Bu iki noktanın \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetrikleri \(P_0'(x_0', y_0', z_0')\) ve \(P_1'(x_1', y_1', z_1')\) olsun. Düzlem için \(A = 2\), \(B = -3\), \(C = 4\), \(D = 4\) ve \[ A^2 + B^2 + C^2 = 4 + 9 + 16 = 29 \] dur.
\(P_0\)’ın simetriği. Teorem 15.2 gereğince \(x_0' = x_0 + \mu_0 A\), \(y_0' = y_0 + \mu_0 B\), \(z_0' = z_0 + \mu_0 C\) ve \[ \mu_0 = \frac{-2\big(2 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 4\big)}{29} = -\frac{12}{29} \] olur. Buna göre \[ \begin{aligned} x_0' &= 1 + \left(-\tfrac{12}{29}\right) \cdot 2 = \tfrac{29 - 24}{29} = \tfrac{5}{29},\\ y_0' &= 0 + \left(-\tfrac{12}{29}\right) \cdot (-3) = \tfrac{36}{29},\\ z_0' &= 0 + \left(-\tfrac{12}{29}\right) \cdot 4 = -\tfrac{48}{29} \end{aligned} \] bulunur; yani \(P_0'\left(\tfrac{5}{29}, \tfrac{36}{29}, -\tfrac{48}{29}\right)\)’dır.
\(P_1\)’in simetriği. Aynı biçimde \[ \mu_1 = \frac{-2\big(2 \cdot 3 + (-3) \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 4\big)}{29} = \frac{-2 \cdot 19}{29} = -\frac{38}{29} \] olur ve \[ \begin{aligned} x_1' &= 3 + \left(-\tfrac{38}{29}\right) \cdot 2 = \tfrac{87 - 76}{29} = \tfrac{11}{29},\\ y_1' &= 1 + \left(-\tfrac{38}{29}\right) \cdot (-3) = \tfrac{29 + 114}{29} = \tfrac{143}{29},\\ z_1' &= 3 + \left(-\tfrac{38}{29}\right) \cdot 4 = \tfrac{87 - 152}{29} = -\tfrac{65}{29} \end{aligned} \] bulunur; yani \(P_1'\left(\tfrac{11}{29}, \tfrac{143}{29}, -\tfrac{65}{29}\right)\)’dir.
Simetrik doğru. Önerme 15.3 gereğince \(d\)’nin simetriği, \(P_0'\) ve \(P_1'\)’den geçen \(d'\) doğrusudur. Doğrultman vektörü olarak \[ \overrightarrow{P_0'P_1'} = \left(\tfrac{11 - 5}{29},\ \tfrac{143 - 36}{29},\ \tfrac{-65 + 48}{29}\right) = \left(\tfrac{6}{29},\ \tfrac{107}{29},\ -\tfrac{17}{29}\right) \] alınabilir. \(P_0'\)’dan geçen ve bu doğrultudaki doğrunun kartezyen denklemi \[ d':\ \frac{x - \frac{5}{29}}{\frac{6}{29}} = \frac{y - \frac{36}{29}}{\frac{107}{29}} = \frac{z + \frac{48}{29}}{-\frac{17}{29}} \] olur. Her kesrin payını ve paydasını \(29\) ile çarparsak \[ d':\ \frac{29x - 5}{6} = \frac{29y - 36}{107} = \frac{29z + 48}{-17} \] elde edilir. Böylece \(d\) doğrusunun \(\mathfrak{D}\) düzlemine göre simetriği \(d'\) doğrusudur.
Sağlama. Doğrultmanı önermedeki formülle de bulalım. \(v = (2, 1, 3)\), \(n = (2, -3, 4)\) için \(\langle v, n\rangle = 4 - 3 + 12 = 13\) ve \[ w = (2, 1, 3) - \frac{26}{29}(2, -3, 4) = \left(\tfrac{58 - 52}{29},\ \tfrac{29 + 78}{29},\ \tfrac{87 - 104}{29}\right) = \left(\tfrac{6}{29},\ \tfrac{107}{29},\ -\tfrac{17}{29}\right) \] çıkar; bulduğumuz doğrultmanla aynıdır. Ayrıca \(d\) düzlemi, parametrik denklemleri düzlem denkleminde yerine yazınca \[ 2(1 + 2\lambda) - 3\lambda + 4 \cdot 3\lambda + 4 = 6 + 13\lambda = 0 \] denkleminden bulunan \(\lambda = -\tfrac{6}{13}\) değerinde, yani \(S\left(\tfrac{1}{13}, -\tfrac{6}{13}, -\tfrac{18}{13}\right)\) noktasında keser. \(S\)’nin koordinatlarını \(d'\)’nün denkleminde yerine yazarsak \[ \frac{\frac{29}{13} - 5}{6} = \frac{-\frac{174}{13} - 36}{107} = \frac{-\frac{522}{13} + 48}{-17} = -\frac{6}{13} \] bulunur: üç oran da eşittir, yani \(S \in d'\)’dür. Kesişim noktası, beklendiği gibi, yerinden kıpırdamamıştır.
\(\blacksquare\)
15.4 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar doğruya ve düzleme göre simetri formüllerini, simetriğin simetriği gözlemini ve bir geometrik yerin simetriğini birlikte kullanır.
Alıştırma 15.1 (Bir noktanın bir doğruya göre simetriği ve dikmenin boyu) \(P(1, 8, 2)\) noktasının \[ d:\ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{-2} \] doğrusuna göre simetriğini ve \(P\)’nin \(d\)’ye uzaklığını bulunuz.
Çözüm
Doğrudan okunanlar. \(P_0(1, -1, 2) \in d\) ve \(v = (2, 1, -2)\)’dir; \(a^2 + b^2 + c^2 = 4 + 1 + 4 = 9\)’dur.
\(\lambda\) sayısı ve dikmenin ayağı. Koordinat farkları \(\overrightarrow{P_0P} = (0, 9, 0)\) olduğundan \[ \lambda = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 9 + (-2) \cdot 0}{9} = 1 \] olur. Dikmenin ayağı \[ K(1 + 1 \cdot 2,\ -1 + 1 \cdot 1,\ 2 + 1 \cdot (-2)) = K(3, 0, 0) \] noktasıdır.
Simetrik nokta. Teorem 15.1 gereğince her koordinat, \(K\)’nın koordinatının iki katı eksi \(P\)’ninkidir: \[ x_1' = 2 \cdot 3 - 1 = 5,\qquad y_1' = 2 \cdot 0 - 8 = -8,\qquad z_1' = 2 \cdot 0 - 2 = -2. \] Demek ki \(P'(5, -8, -2)\)’dir.
Uzaklık. \(P\)’nin \(d\)’ye uzaklığı dikmenin boyudur: \[ |PK| = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - 8)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \]
Sağlama. \(\overrightarrow{PP'} = (4, -16, -4)\) ve \(\langle \overrightarrow{PP'}, v\rangle = 8 - 16 + 8 = 0\)’dır. Ayrıca \[ |PP'| = \sqrt{16 + 256 + 16} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} = 2\,|PK| \] olur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 15.2 (Simetriği bilinen noktayı bulmak) Bir \(P\) noktasının \(\mathfrak{D}: 2x - y + 2z + 3 = 0\) düzlemine göre simetriği \(Q(0, 4, -4)\) noktasıdır. \(P\)’yi bulunuz.
Çözüm
Fikir. Önerme 15.1 gereğince \(Q\), \(P\)’nin simetriği ise \(P\) de \(Q\)’nun simetriğidir. Öyleyse \(Q\)’nun \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriğini bulmamız yeter.
Hesap. \(n = (2, -1, 2)\) ve \(A^2 + B^2 + C^2 = 4 + 1 + 4 = 9\)’dur. \(Q\)’nun koordinatlarını denklemin sol yanında yerine yazarsak \[ \delta = 2 \cdot 0 - 4 + 2 \cdot (-4) + 3 = -9 \] bulunur. Teorem 15.2 gereğince \(\mu = \dfrac{-2 \cdot (-9)}{9} = 2\) olur ve \[ x = 0 + 2 \cdot 2 = 4,\qquad y = 4 + 2 \cdot (-1) = 2,\qquad z = -4 + 2 \cdot 2 = 0 \] çıkar. Demek ki \(P(4, 2, 0)\)’dır.
Sağlama. \(P\)’nin simetriğini doğrudan hesaplayalım: \(\delta = 2 \cdot 4 - 2 + 2 \cdot 0 + 3 = 9\), \(\mu = \dfrac{-18}{9} = -2\) ve \[ (4 - 4,\ 2 + 2,\ 0 - 4) = (0, 4, -4) = Q \] bulunur. Ortak dikme ayağı \(K(2, 3, -2)\)’dir ve \(2 \cdot 2 - 3 + 2 \cdot (-2) + 3 = 0\) olduğundan gerçekten düzlemin üzerindedir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 15.3 (Simetrik iki noktadan aynayı bulmak) \(A(1, 2, 3)\) noktasının bir \(\mathfrak{D}\) düzlemine göre simetriği \(B(3, -2, 7)\) noktasıdır. \(\mathfrak{D}\)’nin denklemini bulunuz.
Çözüm
Düzlemin normali. \(B\), \(A\)’dan \(\mathfrak{D}\)’ye inilen dikme üzerindedir. Bu dikme \(\mathfrak{D}\)’ye dik olduğundan \(\overrightarrow{AB}\) vektörü düzlemin bir normal vektörüdür: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1,\ -2 - 2,\ 7 - 3) = (2, -4, 4) = 2(1, -2, 2). \] Sıfırdan farklı bir katı da normal olduğundan \(n = (1, -2, 2)\) alabiliriz.
Düzlemin bir noktası. Dikmenin ayağı \(K\), \(AB\)’nin orta noktasıdır ve düzlemin üzerindedir. Lemma 15.1 ile \[ K\left(\frac{1 + 3}{2},\ \frac{2 - 2}{2},\ \frac{3 + 7}{2}\right) = K(2, 0, 5) \] bulunur.
Düzlemin denklemi. \(K(2, 0, 5)\) noktasından geçen ve normali \(n = (1, -2, 2)\) olan düzlem \[ 1 \cdot (x - 2) - 2(y - 0) + 2(z - 5) = 0,\qquad\text{yani}\qquad \mathfrak{D}: x - 2y + 2z - 12 = 0 \] düzlemidir.
Sağlama. \(A\)’nın bu düzleme göre simetriğini Teorem 15.2 ile hesaplayalım: \(\delta = 1 - 4 + 6 - 12 = -9\), \(A^2 + B^2 + C^2 = 9\), \(\mu = \dfrac{-2 \cdot (-9)}{9} = 2\) ve \[ (1 + 2 \cdot 1,\ 2 + 2 \cdot (-2),\ 3 + 2 \cdot 2) = (3, -2, 7) = B \] bulunur. Geometrik olarak \(\mathfrak{D}\), \(AB\) doğru parçasının orta noktasından geçen ve ona dik olan düzlemdir; bu düzlemin her noktası \(A\) ile \(B\)’ye eşit uzaklıktadır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 15.4 (Düzleme paralel bir doğrunun simetriği) \[ d:\quad x = 1 + \lambda,\qquad y = 2 + \lambda,\qquad z = 7 \] doğrusunun \(\mathfrak{D}: x - y + z - 3 = 0\) düzlemine göre simetriğini bulunuz.
Çözüm
Doğru ile düzlemin durumu. \(d\)’nin doğrultman vektörü \(v = (1, 1, 0)\), düzlemin normal vektörü \(n = (1, -1, 1)\)’dir ve \[ \langle v, n\rangle = 1 - 1 + 0 = 0 \] olur. Yani \(v \perp n\)’dir ve \(d\) düzleme paraleldir. \(d\)’nin \(P_0(1, 2, 7)\) noktası için \(1 - 2 + 7 - 3 = 3 \neq 0\) olduğundan \(d\) düzlemin içinde de değildir.
Bir noktanın simetriği. \(A^2 + B^2 + C^2 = 3\) ve \(\delta(P_0) = 3\) olduğundan \(\mu = \dfrac{-2 \cdot 3}{3} = -2\) olur. Buna göre \[ P_0' = (1 - 2 \cdot 1,\ 2 - 2 \cdot (-1),\ 7 - 2 \cdot 1) = (-1, 4, 5) \] bulunur.
Simetrik doğru. \(\langle v, n\rangle = 0\) olduğundan Önerme 15.3 içindeki doğrultman vektörü \(w = v - 0 \cdot n = v\)’dir. \(d'\), \(P_0'(-1, 4, 5)\)’ten geçen ve doğrultusu \(v = (1, 1, 0)\) olan doğrudur: \[ d':\quad x = -1 + \lambda,\qquad y = 4 + \lambda,\qquad z = 5. \] \(d'\), \(d\)’ye paraleldir.
Sağlama. \(d\)’nin ikinci bir noktasını, \(\lambda = 1\) için \(P_1(2, 3, 7)\)’yi alalım. \(\delta(P_1) = 2 - 3 + 7 - 3 = 3\) ve \(\mu = -2\) olduğundan \[ P_1' = (2 - 2,\ 3 + 2,\ 7 - 2) = (0, 5, 5) \] bulunur. Bu nokta \(d'\)’nün \(\lambda = 1\) değerindeki noktasıdır. Ayrıca \(d\) ile \(d'\) düzlemin iki yanında, düzleme aynı \(\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) uzaklığındadır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 15.5 (Bir düzlemin bir düzleme göre simetriği) \(\mathfrak{D}_1: x + 2y + 3z - 6 = 0\) düzleminin \(\mathfrak{D}: x - y = 0\) düzlemine göre simetriğini bulunuz.
Çözüm
Görüntünün koordinatları. \(\mathfrak{D}\) için \(A = 1\), \(B = -1\), \(C = 0\), \(D = 0\) olduğundan \(\delta = x - y\) ve \(N = 2\)’dir. \((x, y, z)\) noktasının \(\mathfrak{D}\)’ye göre simetriğinin koordinatları \[ \begin{aligned} x - \frac{2 \cdot 1 \cdot (x - y)}{2} &= x - (x - y) = y,\\ y - \frac{2 \cdot (-1) \cdot (x - y)}{2} &= y + (x - y) = x,\\ z - \frac{2 \cdot 0 \cdot (x - y)}{2} &= z \end{aligned} \] olur. Yani bu aynaya göre simetri, \(x\) ile \(y\)’nin yerini değiştirir: \((x, y, z) \mapsto (y, x, z)\).
Yerine koyma. \(f(x, y, z) = x + 2y + 3z - 6\) olduğundan Önerme 15.2 gereğince simetriğin denklemi \[ f(y, x, z) = y + 2x + 3z - 6 = 0,\qquad\text{yani}\qquad \mathfrak{D}_1': 2x + y + 3z - 6 = 0 \] bulunur.
Sağlama. \(\mathfrak{D}_1\)’in \((6, 0, 0)\) noktasının simetriği \((0, 6, 0)\)’dır ve \(2 \cdot 0 + 6 + 0 - 6 = 0\) olduğundan \(\mathfrak{D}_1'\) üzerindedir. Ayrıca \(\mathfrak{D}_1\) ile \(\mathfrak{D}\)’nin ortak noktaları \(x = y\) ve \(3x + 3z = 6\) koşullarıyla verilir; bu noktalar \(\mathfrak{D}_1'\)’in denklemini de sağlar, çünkü \(x = y\) iken \(2x + y + 3z - 6\) ifadesi \(3x + 3z - 6 = 0\)’a eşittir. Aynadaki noktalar yerinden kıpırdamadığı için beklenen de budur: üç düzlem aynı doğru boyunca kesişir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 15.6 (İki koordinat düzlemine göre art arda simetri) Bir \(P(x_1, y_1, z_1)\) noktasının \(XY\)-düzlemine göre simetriği \(P_1\), \(P_1\)’in de \(XZ\)-düzlemine göre simetriği \(P_2\) olsun. \(P_2\)’nin, \(P\)’nin \(X\)-eksenine göre simetriği olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Birinci simetri. Sonuç 15.2 gereğince \(XY\)-düzlemine göre simetri yalnız üçüncü koordinatın işaretini değiştirir: \(P_1(x_1, y_1, -z_1)\).
İkinci simetri. Aynı sonuca göre \(XZ\)-düzlemine göre simetri yalnız ikinci koordinatın işaretini değiştirir: \(P_2(x_1, -y_1, -z_1)\).
Karşılaştırma. Sonuç 15.1 gereğince \(P\)’nin \(X\)-eksenine göre simetriği de \((x_1, -y_1, -z_1)\) noktasıdır. İki nokta aynı olduğundan iddia doğrudur.
Geometrik olarak \(X\)-ekseni, \(XY\)- ve \(XZ\)-düzlemlerinin kesişim doğrusudur. Birbirine dik iki düzleme göre art arda simetri almak, bu iki düzlemin kesişim doğrusuna göre simetri almakla aynı sonucu verir. Örneğin \(P(2, 3, 2)\) için \(P_1(2, 3, -2)\) ve \(P_2(2, -3, -2)\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde uzayda bir noktayı, bir doğruyu ve bir geometrik yeri bir doğruya ya da bir düzleme göre yansıttık. Her hesabın temelinde aynı iki koşul vardı: dikmenin ayağı aynanın üzerindedir ve nokta ile görüntüsünün orta noktasıdır. Sonraki bölümde, Öteleme bölümünde, düzleme dönüp noktaları değil koordinat sistemini hareket ettireceğiz ve bir noktanın eski ve yeni koordinatları arasındaki bağıntıları kuracağız.