3 Düzlemde Doğru Denklemleri
Önceki bölümde bir doğrunun eğimini, paralellik ve diklik koşullarını ve iki doğru arasındaki açıyı gördük (Bölme Oranı, Eğim ve Açı). Şimdi bir doğruyu tamamen belirleyen bilgileri, yani bir noktasını ve eğimini, iki noktasını ya da orijine uzaklığını, bir denkleme çevireceğiz. Bu denklemler elimizde olunca “şu nokta bu doğrunun üzerinde mi?”, “şu nokta doğruya ne kadar uzak?” gibi geometrik soruları birkaç satırlık hesapla yanıtlayabileceğiz.
3.1 Bir Noktası ve Eğimi Verilen Doğru
Bir doğru, üzerindeki tek bir nokta ve eğimiyle tamamen belirlenir: noktadan başlayıp eğimin gösterdiği yönde ilerlemek doğrunun bütün noktalarını verir. Doğru üzerindeki rastgele bir \(Q(x, y)\) noktasını \(P(x_0, y_0)\) ile birleştiren parçanın eğimi de \(m\) olmalıdır; yani \(x \neq x_0\) için \(\dfrac{y - y_0}{x - x_0} = m\) olur. Paydadan kurtulunca aşağıdaki tanıma ulaşırız.
Tanım 3.1 (Bir noktası ve eğimi verilen doğrunun denklemi) Düzlemde \(P(x_0, y_0)\) noktasından geçen ve eğimi \(m\) olan \(d\) doğrusunun denklemi
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
biçiminde tanımlanır.
Yani bir doğrunun denklemi, “bir \((x, y)\) noktası bu doğrunun üzerindedir” demenin cebirsel yoludur: \((x, y)\) denklemi sağlıyorsa noktası doğru üzerindedir, sağlamıyorsa değildir. \(x = x_0\) alındığında denklem \(y = y_0\) verir; demek ki \(P\) noktasının kendisi de denklemi sağlar.
Tanımdaki denklemin iki kullanışlı özel hâli ve eğimi olmayan doğruların denklemi aşağıdaki sonuçta toplanmıştır.
Sonuç 3.1 (Eğim-kesen biçimi, yatay ve düşey doğrular) a) \(Y\)-eksenini \((0, b)\) noktasında kesen ve eğimi \(m\) olan doğrunun denklemi \(y = mx + b\)’dir.
b) \(X\)-eksenine paralel bir doğrunun denklemi, bir \(b \in \mathbb{R}\) için \(y = b\)’dir.
c) \(Y\)-eksenine paralel bir doğrunun denklemi, bir \(a \in \mathbb{R}\) için \(x = a\)’dır.
İspat
a) Tanım 3.1 içinde \((x_0, y_0) = (0, b)\) yazılırsa \(y - b = m(x - 0)\), yani \(y = mx + b\) bulunur.
b) \(X\)-eksenine paralel bir doğrunun eğimi \(0\)’dır. Doğrunun \(Y\)-eksenini kestiği nokta \((0, b)\) ise (a) şıkkında \(m = 0\) alınarak \(y = b\) elde edilir.
c) \(Y\)-eksenine paralel bir doğrunun eğimi tanımsızdır; bu yüzden Tanım 3.1 kullanılamaz. Böyle bir doğru \(X\)-eksenini bir \((a, 0)\) noktasında keser ve \(Y\)-eksenine paralel olduğu için bütün noktalarının apsisi \(a\)’dır. Tersine, apsisi \(a\) olan her nokta bu doğrunun üzerindedir. Dolayısıyla doğrunun noktaları tam olarak \(x = a\) denklemini sağlayan noktalardır.
\(\blacksquare\)
Aşağıdaki şekilde her üç türden birer doğru görülüyor: eğimi \(\tfrac{1}{2}\) olup \(Y\)-eksenini \((0, 2)\)’de kesen \(y = \tfrac{1}{2}x + 2\) doğrusu, yatay \(y = -1\) doğrusu ve düşey \(x = 3\) doğrusu.
Örnek 3.1 (İki noktası verilen doğru) Dik koordinatları \(P_1(2, -1)\) ve \(P_2(-1, 3)\) olan noktalardan geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Eğim. \(P_1\)’den \(P_2\)’ye olan yönlü doğru parçasının eğimi
\[ m = \frac{3 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3} \]
olur. Yani \(x\) üç birim azalırken \(y\) dört birim artar; ya da aynı şey, \(x\) üç birim artarken \(y\) dört birim azalır.
Adım 2: \(P_1\) noktasıyla denklem. Tanım 3.1 içinde \((x_0, y_0) = (2, -1)\) alalım:
\[ y - (-1) = -\frac{4}{3}(x - 2). \]
Sağ taraf \(-\tfrac{4}{3}x + \tfrac{8}{3}\)’tür; her iki yandan \(1\) çıkarınca daha kısa olarak
\[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} \]
bulunur.
Adım 3: \(P_2\) noktasıyla aynı sonuç. Bu kez \((x_0, y_0) = (-1, 3)\) alalım:
\[ y - 3 = -\frac{4}{3}\big(x - (-1)\big). \]
Sağ taraf \(-\tfrac{4}{3}x - \tfrac{4}{3}\)’tür; her iki yana \(3 = \tfrac{9}{3}\) ekleyince yine
\[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} \]
elde edilir. Beklendiği gibi hangi noktanın kullanıldığı sonucu değiştirmez. Denklemde \(y = 0\) yazılırsa \(x = \tfrac{5}{4}\), \(x = 0\) yazılırsa \(y = \tfrac{5}{3}\) bulunur; doğru eksenleri \(\left(\tfrac{5}{4}, 0\right)\) ve \(\left(0, \tfrac{5}{3}\right)\) noktalarında keser.
\(\blacksquare\)
Bu örnekte izlediğimiz yol her iki nokta için işler: önce iki noktadan eğimi hesaplar, sonra noktalardan birini nokta-eğim denklemine koyarız. Bunu bir kez genel olarak yazalım.
Önerme 3.1 (İki noktası verilen doğrunun denklemi) \(P_1(x_1, y_1)\) ve \(P_2(x_2, y_2)\) farklı iki nokta olsun.
a) \(x_1 \neq x_2\) ise \(P_1\) ve \(P_2\)’den geçen doğrunun denklemi
\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\,(x - x_1) \]
olur.
b) \(x_1 = x_2\) ise bu doğrunun denklemi \(x = x_1\)’dir.
İspat
a) \(x_1 \neq x_2\) olduğundan doğrunun eğimi tanımlıdır ve \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)’dir (Bölme Oranı, Eğim ve Açı). Bu eğimi ve \(P_1\) noktasını Tanım 3.1 içine koymak istenen denklemi verir. \(P_2\) de bu denklemi sağlar, çünkü \(x = x_2\) yazınca sağ taraf \(y_2 - y_1\) olur.
b) İki noktanın apsisleri eşitse onları birleştiren doğru \(Y\)-eksenine paraleldir ve Sonuç 3.1 (c) şıkkına göre denklemi \(x = x_1\)’dir.
\(\blacksquare\)
Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar biliniyorsa denklem özellikle simetrik bir biçim alır.
Önerme 3.2 (Eksenleri kestiği noktalar verilen doğru) \(a \neq 0\) ve \(b \neq 0\) olmak üzere \(X\)-eksenini \((a, 0)\), \(Y\)-eksenini \((0, b)\) noktasında kesen doğrunun denklemi
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]
olur.
İspat
\(a \neq 0\) olduğundan iki noktanın apsisleri farklıdır ve Önerme 3.1 (a) şıkkı kullanılabilir. Eğim
\[ m = \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a} \]
olur. \((0, b)\) noktası \(Y\)-ekseni üzerinde olduğu için Sonuç 3.1 (a) şıkkından denklem \(y = -\dfrac{b}{a}x + b\) olarak yazılır. Her iki yanı \(b \neq 0\) ile bölersek
\[ \frac{y}{b} = -\frac{x}{a} + 1 \]
ve terimleri düzenleyince \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Yani paydalarda doğrudan eksen kesişimleri okunur: \(x/a + y/b = 1\) denkleminde \(y = 0\) yazınca \(x = a\), \(x = 0\) yazınca \(y = b\) çıkar. Doğru orijinden geçiyorsa (\(a = b = 0\)) ya da bir eksene paralelse bu biçim kullanılamaz.
Örnek 3.2 (Eksen kesişimlerinden denklem) \(X\)-eksenini \(A(4, 0)\), \(Y\)-eksenini \(B(0, -3)\) noktasında kesen doğrunun denklemini ve eğimini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Denklem. Önerme 3.2 içinde \(a = 4\) ve \(b = -3\) alınırsa
\[ \frac{x}{4} + \frac{y}{-3} = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x}{4} - \frac{y}{3} = 1 \]
olur. Paydaları yok etmek için her iki yanı \(12\) ile çarpalım: \(3x - 4y = 12\), yani
\[ 3x - 4y - 12 = 0. \]
Adım 2: Eğim. Denklemi \(y\)’ye göre çözersek \(4y = 3x - 12\), buradan \(y = \tfrac{3}{4}x - 3\) bulunur. Demek ki eğim \(m = \tfrac{3}{4}\)’tür. Aynı sonuç ispattaki \(m = -\tfrac{b}{a} = -\tfrac{-3}{4}\) formülünden de okunur.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.3 (Bir doğru parçasının orta dikmesi) \(P_1(7, 4)\) ve \(P_2(-1, -2)\) uç noktalarına sahip doğru parçasına, orta noktasında dik olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Orta nokta. \(P_1(x_1, y_1)\) ve \(P_2(x_2, y_2)\)’nin orta noktası \(P_0(x_0, y_0)\) olsun. Orta nokta koordinatları uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır (Bölme Oranı, Eğim ve Açı):
\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3, \qquad y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1. \]
Böylece \(P_0(3, 1)\) bulunur.
Adım 2: Parçanın eğimi. \(P_1P_2\) doğru parçasının eğimi \(m\) olmak üzere
\[ m = \frac{-2 - 4}{-1 - 7} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4} \]
olur.
Adım 3: Dik doğrunun eğimi. Aradığımız doğruya \(\bar{d}\), eğimine \(\bar{m}\) diyelim. İki doğrunun dik olması için eğimlerin çarpımı \(-1\) olmalıdır: \(m\bar{m} = -1\). Buradan
\[ \bar{m} = -\frac{1}{m} = -\frac{4}{3} \]
çıkar.
Adım 4: Denklem. \(\bar{d}\) doğrusu \(P_0(3, 1)\)’den geçer ve eğimi \(-\tfrac{4}{3}\)’tür. Tanım 3.1 ile
\[ y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 3) \]
yazılır. Sağ taraf \(-\tfrac{4}{3}x + 4\) olduğundan
\[ y = -\frac{4}{3}x + 5 \]
bulunur. Her iki yanı \(3\) ile çarpıp terimleri bir yana toplarsak aynı doğru \(4x + 3y - 15 = 0\) olarak da yazılır.
Sağlama: \(\bar{d}\) üzerindeki \((0, 5)\) noktasının \(P_1\)’e uzaklığının karesi \(7^2 + 1^2 = 50\), \(P_2\)’ye uzaklığının karesi \(1^2 + 7^2 = 50\)’dir. Orta dikmenin her noktası parçanın iki ucuna eşit uzaklıktadır; sonuç bununla uyumludur.
\(\blacksquare\)
3.2 Bir Doğrunun Genel Denklemi
Şimdiye kadar gördüğümüz bütün biçimler (\(y - y_0 = m(x - x_0)\), \(y = mx + b\), \(x = a\), \(x/a + y/b = 1\)) paydalar temizlenip terimler bir yana toplanınca aynı tipte bir denkleme dönüşür. Bu ortak biçime bir ad verelim.
Tanım 3.2 (Doğrunun genel denklemi) \(A, B, C \in \mathbb{R}\) ve \(A\) ile \(B\)’nin ikisi birden sıfır olmamak üzere
\[ d: Ax + By + C = 0 \]
biçimindeki denkleme, düzlemdeki \(d\) doğrusunun genel denklemi denir.
Yani genel denklem, doğruyu \(x\) ve \(y\)’ye göre birinci dereceden bir denklemle anlatır. \(A = B = 0\) olsaydı denklem \(C = 0\)’a inerdi: \(C \neq 0\) ise hiçbir nokta, \(C = 0\) ise düzlemin bütün noktaları bu denklemi sağlardı; iki durumda da ortada bir doğru olmazdı.
Aşağıdaki önerme, her doğrunun bir genel denklemi olduğunu, her genel denklemin de gerçekten bir doğru belirttiğini ve eğimin katsayılardan nasıl okunduğunu söyler.
Önerme 3.3 (Genel denklem ve eğim) a) Düzlemdeki her doğrunun bir genel denklemi vardır.
b) \(A\) ile \(B\)’nin ikisi birden sıfır olmamak üzere \(Ax + By + C = 0\) denklemini sağlayan noktalar bir doğru oluşturur. \(B \neq 0\) ise bu doğrunun eğimi
\[ m = -\frac{A}{B} \]
olur; \(B = 0\) ise doğru \(Y\)-eksenine paraleldir ve eğimi tanımsızdır.
İspat
a) Doğru \(Y\)-eksenine paralel değilse bir \(m\) eğimi ve üzerinde bir \((x_0, y_0)\) noktası vardır. Tanım 3.1 denklemindeki terimleri bir yana toplarsak
\[ mx - y + (y_0 - mx_0) = 0 \]
olur; bu, \(A = m\), \(B = -1\), \(C = y_0 - mx_0\) olan bir genel denklemdir. Doğru \(Y\)-eksenine paralelse Sonuç 3.1 (c) şıkkına göre denklemi \(x = a\), yani \(1 \cdot x + 0 \cdot y - a = 0\)’dır.
b) \(B \neq 0\) ise denklemi \(y\)’ye göre çözebiliriz:
\[ y = -\frac{A}{B}\,x - \frac{C}{B}. \]
Sonuç 3.1 (a) şıkkına göre bu, \(Y\)-eksenini \(\left(0, -\tfrac{C}{B}\right)\) noktasında kesen ve eğimi \(-\tfrac{A}{B}\) olan doğrunun denklemidir. \(B = 0\) ise \(A \neq 0\)’dır ve denklem \(x = -\tfrac{C}{A}\) olur; bu da \(Y\)-eksenine paralel bir doğrudur.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.4 (Genel denklemden eğim ve eksen kesişimleri) \(d: 3x - 4y + 8 = 0\) doğrusunun eğimini ve eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Eğim. \(A = 3\), \(B = -4\), \(C = 8\)’dir. \(B \neq 0\) olduğundan Önerme 3.3 ile
\[ m = -\frac{A}{B} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} \]
bulunur.
Adım 2: Eksen kesişimleri. \(y = 0\) yazılırsa \(3x + 8 = 0\), yani \(x = -\tfrac{8}{3}\) olur; doğru \(X\)-eksenini \(\left(-\tfrac{8}{3}, 0\right)\)’da keser. \(x = 0\) yazılırsa \(-4y + 8 = 0\), yani \(y = 2\) olur; doğru \(Y\)-eksenini \((0, 2)\)’de keser.
Sağlama olarak eğimi bu iki noktadan hesaplayalım: \(\dfrac{2 - 0}{0 - (-8/3)} = \dfrac{2}{8/3} = \dfrac{3}{4}\).
\(\blacksquare\)
Örnek 3.5 (Doğru üzerinde verilen uzaklıkta noktalar) \(P_0(3, 2)\) noktasından geçen \(d\) doğrusunun eğimi \(m = \tfrac{3}{4}\)’tür. Bu doğru üzerinde, \(P_0\)’a \(5\) birim uzaklıkta olan iki noktayı bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Doğrunun denklemi. \(P(x, y)\) doğru üzerinde, \(P_0\)’dan farklı bir nokta olsun. \(P_0P\) parçasının eğimi \(m\) olduğundan
\[ \frac{y - 2}{x - 3} = \frac{3}{4} \]
olur. İçler dışlar çarpımıyla \(4(y - 2) = 3(x - 3)\), yani \(4y - 8 = 3x - 9\) ve buradan
\[ 4y - 3x + 1 = 0 \]
genel denklemi elde edilir. Bu denklemi \(y\)’ye göre çözersek \(y = \dfrac{3x - 1}{4}\) bulunur; yani doğrunun her noktası \(P\left(x, \dfrac{3x - 1}{4}\right)\) biçimindedir.
Adım 2: Uzaklık koşulu. İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle (Dik Koordinatlar ve Uzaklık)
\[ |P_0P| = 5 \;\Longrightarrow\; \sqrt{(x - 3)^2 + \left(\frac{3x - 1}{4} - 2\right)^2} = 5 \]
yazılır. Parantez içini sadeleştirelim:
\[ \frac{3x - 1}{4} - 2 = \frac{3x - 1 - 8}{4} = \frac{3x - 9}{4} = \frac{3(x - 3)}{4}. \]
İki yanın karesini alırsak
\[ \begin{aligned} (x - 3)^2 + \frac{9}{16}(x - 3)^2 &= 25 \\[1mm] \frac{16}{16}(x - 3)^2 + \frac{9}{16}(x - 3)^2 &= 25 \\[1mm] 16(x - 3)^2 + 9(x - 3)^2 &= 25 \cdot 16 \\[1mm] 25\,(x - 3)^2 &= 25 \cdot 16 \\[1mm] (x - 3)^2 &= 16 \end{aligned} \]
bulunur.
Adım 3: Noktalar. \((x - 3)^2 = 16\) ise \(x - 3 = \pm 4\), yani \(x_1 = -1\) ve \(x_2 = 7\)’dir. Karşılık gelen ordinatlar \(y = \tfrac{3x - 1}{4}\)’ten
\[ y_1 = \frac{3(-1) - 1}{4} = -1, \qquad y_2 = \frac{3 \cdot 7 - 1}{4} = 5 \]
olur. Aranan noktalar \(P_1(-1, -1)\) ve \(P_2(7, 5)\)’tir.
Bu sonucu şöyle de görebiliriz: eğim \(\tfrac{3}{4}\) olduğu için doğru üzerinde \(x\) yönünde \(4\) birim ilerleyince \(y\) yönünde \(3\) birim ilerlenir ve bu adımın uzunluğu \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)’tir. \(P_0(3, 2)\)’den bir adım ileri \((7, 5)\)’e, bir adım geri \((-1, -1)\)’e götürür.
\(\blacksquare\)
3.3 Bir Doğrunun Normal Denklemi
Bir doğruyu belirlemenin başka bir yolu, orijinden doğruya bakmaktır. Orijinden doğruya bir dikme indirelim ve bu dikmeye \(\ell\) diyelim. Dikmenin uzunluğu, yani doğrunun orijine uzaklığı \(r\), ve \(\ell\) dikmesinin \(X\)-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı pozitif yönlü (saat yönünün tersine ölçülen) açı \(\omega\) biliniyorsa doğru tek türlü belirlenir: \(\ell\) üzerinde orijinden \(r\) birim yürüyüp o noktada \(\ell\)’ye dik olan doğruyu çizmek yeter. Bu iki sayıdan doğrunun denklemini çıkaralım.
Önerme 3.4 (Orijine uzaklığı ve dikme açısı verilen doğru) \(d\) doğrusunun orijine uzaklığı \(r \geq 0\) ve orijinden \(d\)’ye çizilen \(\ell\) dikmesinin \(X\)-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı \(\omega\) olsun. Bu durumda \(d\)’nin denklemi
\[ x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0 \]
olur.
İspat
Adım 1: Dikmenin ayağı. Dikmenin \(d\) üzerindeki ayağı \(P_0(x_0, y_0)\) olsun. \(P_0\), \(\ell\) ışını üzerinde orijinden \(r\) uzaklıktadır. Açısı \(\omega\) olan bir ışın üzerinde orijinden \(r\) uzaklıktaki noktanın koordinatları dik üçgenden okunur:
\[ x_0 = r\cos\omega, \qquad y_0 = r\sin\omega. \]
Adım 2: Genel durum. \(\omega\), \(\tfrac{\pi}{2}\)’nin bir katı olmasın; o zaman \(\sin\omega \neq 0\) ve \(\cos\omega \neq 0\)’dır. \(\ell\) doğrusunun eğim açısı \(\omega < \pi\) ise \(\omega\), \(\omega \geq \pi\) ise \(\omega - \pi\)’dir. \(\tan\) fonksiyonunun periyodu \(\pi\) olduğundan her iki durumda da \(\ell\)’nin eğimi \(m_\ell = \tan\omega\)’dır. \(d \perp \ell\) olduğundan eğimlerin çarpımı \(-1\) olmalıdır:
\[ m_d = -\frac{1}{m_\ell} = -\frac{\cos\omega}{\sin\omega} = -\cot\omega. \]
\(d\), \(P_0(r\cos\omega, r\sin\omega)\)’dan geçer ve eğimi \(-\cot\omega\)’dır. Tanım 3.1 ile
\[ y - r\sin\omega = -\cot\omega\,(x - r\cos\omega) \]
yazılır. Her iki yanı \(\sin\omega \neq 0\) ile çarpalım:
\[ y\sin\omega - r\sin^2\omega = -x\cos\omega + r\cos^2\omega. \]
Terimleri sol yana toplarsak
\[ x\cos\omega + y\sin\omega - r(\sin^2\omega + \cos^2\omega) = 0 \]
olur; \(\sin^2\omega + \cos^2\omega = 1\) olduğundan istenen \(x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0\) denklemi çıkar.
Adım 3: Özel durumlar. \(\cos\omega = 0\) ise \(\sin\omega = \pm 1\)’dir; \(\ell\) düşeydir, \(d\) ise yataydır ve \(P_0(0, \pm r)\)’den geçer. Denklemi \(y = \pm r\), yani \(y \sin\omega = r\)’dir ve bu da \(x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0\) ile aynıdır. \(\sin\omega = 0\) ise \(\cos\omega = \pm 1\)’dir; \(d\) düşeydir, \(P_0(\pm r, 0)\)’dan geçer, denklemi \(x = \pm r\), yani \(x\cos\omega = r\)’dir ve yine aynı biçime ulaşılır.
\(\blacksquare\)
Bu önerme bir doğrunun özel bir denklemini verdiği için ona bir ad veriyoruz.
Tanım 3.3 (Doğrunun normal denklemi) \(d\) doğrusunun orijine uzaklığı \(r \geq 0\) ve orijinden \(d\)’ye çizilen \(\ell\) dikmesinin \(X\)-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı \(\omega \in [0, 2\pi)\) olmak üzere
\[ x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0 \]
denklemine \(d\) doğrusunun normal denklemi denir.
Yani normal denklem, genel denklemin özel bir yazılışıdır: \(x\) ve \(y\)’nin katsayıları bir açının kosinüsü ve sinüsüdür (dolayısıyla kareleri toplamı \(1\)’dir) ve sabit terim, orijine uzaklığın eksi işaretlisidir. Katsayılara bakan biri doğrunun orijine ne kadar uzak olduğunu ve orijinden hangi yönde durduğunu hemen okur. Doğru orijinden geçiyorsa (\(r = 0\)) dikmenin yönü tek değildir, \(\omega\) ile \(\omega + \pi\) aynı doğruyu verir; bu durumda hangi açının seçileceği aşağıda Sonuç 3.2 ile belirlenecek.
Elimizde bir genel denklem varsa normal denklemi bulmak için iki denklemin katsayıları arasındaki ilişkiyi bilmemiz gerekir. Önce, aynı doğrunun iki genel denkleminin nasıl ilişkili olduğunu görelim.
Lemma 3.1 (Aynı doğrunun genel denklemleri orantılıdır) \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) ve \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\) iki genel denklem olsun. Bu iki denklem aynı doğruyu gösterir ancak ve ancak
\[ A_2 = kA_1, \qquad B_2 = kB_1, \qquad C_2 = kC_1 \]
olacak biçimde bir \(k \neq 0\) sayısı varsa.
İspat
Orantılıysa aynı doğru. \(k \neq 0\) olduğundan ikinci denklem, birincinin \(k\) ile çarpılmışıdır: \((x, y)\) birinciyi sağlıyorsa ikinciyi de sağlar; ikinciyi sağlıyorsa \(k\)’ya bölerek birinciyi de sağladığını görürüz.
Aynı doğruysa orantılı. İki denklem aynı \(d\) doğrusunu göstersin.
\(B_1 \neq 0\) olsun. O zaman her \(x\) için birinci denklemi sağlayan tam bir \(y\) vardır; yani \(d\) üzerinde apsisleri farklı noktalar bulunur. \(B_2 = 0\) olsaydı ikinci denklemi sağlayan bütün noktaların apsisi \(-C_2/A_2\) olurdu; bu imkânsız olduğundan \(B_2 \neq 0\)’dır. İki denklemi \(y\)’ye göre çözelim:
\[ y = -\frac{A_1}{B_1}x - \frac{C_1}{B_1}, \qquad y = -\frac{A_2}{B_2}x - \frac{C_2}{B_2}. \]
\(d\)’nin apsisi \(0\) olan noktası iki denklemi de sağladığından \(\dfrac{C_1}{B_1} = \dfrac{C_2}{B_2}\) olur. Apsisi \(1\) olan noktası da iki denklemi sağladığından ve sabit terimler eşit olduğundan \(\dfrac{A_1}{B_1} = \dfrac{A_2}{B_2}\) çıkar. Şimdi \(k = \dfrac{B_2}{B_1} \neq 0\) alırsak \(B_2 = kB_1\), \(A_2 = kA_1\) ve \(C_2 = kC_1\) olur.
\(B_1 = 0\) olsun. O zaman \(A_1 \neq 0\)’dır ve \(d\), \(x = -C_1/A_1\) düşey doğrusudur. Yukarıdaki gerekçenin tersine, \(B_2 \neq 0\) olsaydı \(d\) üzerinde apsisleri farklı noktalar olurdu; demek ki \(B_2 = 0\) ve \(A_2 \neq 0\)’dır. İkinci denklem de \(x = -C_2/A_2\) doğrusudur ve aynı doğru olduklarından \(\dfrac{C_1}{A_1} = \dfrac{C_2}{A_2}\) olur. \(k = \dfrac{A_2}{A_1} \neq 0\) alırsak \(A_2 = kA_1\), \(B_2 = 0 = kB_1\) ve \(C_2 = kC_1\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Bu lemmayı bir doğrunun genel denklemine ve normal denklemine uygulayınca normal denklemi genel denklemden hesaplamanın yolu çıkar.
Önerme 3.5 (Genel denklemden normal denkleme) \(Ax + By + C = 0\) ve \(x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0\) aynı doğrunun, sırasıyla, genel ve normal denklemleri olsun. O zaman bir \(k \neq 0\) için
\[ \cos\omega = kA, \qquad \sin\omega = kB, \qquad -r = kC \]
olur ve
\[ k = \pm\frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
dir. Buna göre doğrunun normal denklemi, genel denklemin \(k\) ile çarpılmasıyla elde edilir:
\[ \pm\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\,x \pm\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}\,y \pm\frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 0, \]
burada üç işaretin üçü de \(k\)’nın işaretidir.
İspat
Adım 1: Orantı. İki denklem aynı doğruyu gösterdiğinden Lemma 3.1 ile \(\cos\omega = kA\), \(\sin\omega = kB\) ve \(-r = kC\) olacak biçimde bir \(k \neq 0\) vardır. Başka bir deyişle genel ve normal denklemin katsayıları ya eşittir (\(k = 1\)) ya da orantılıdır.
Adım 2: \(k\)’nın büyüklüğü. Temel trigonometrik özdeşlikten
\[ \begin{aligned} 1 &= \cos^2\omega + \sin^2\omega \\[1mm] &= k^2A^2 + k^2B^2 = k^2\,(A^2 + B^2) \end{aligned} \]
bulunur. \(A^2 + B^2 > 0\) olduğundan \(k^2 = \dfrac{1}{A^2 + B^2}\), yani \(k = \pm\dfrac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)’dir.
Adım 3: Normal denklem. \(\cos\omega = kA\), \(\sin\omega = kB\), \(-r = kC\) eşitliklerini normal denklemde yerine yazınca \(kAx + kBy + kC = 0\) elde edilir; \(k\)’nın değeri konunca yukarıdaki denklem çıkar.
\(\blacksquare\)
Önermedeki \(\pm\) işaretinden hangisinin seçileceği keyfî değildir; normal denklemde \(r \geq 0\) olmak zorundadır.
Sonuç 3.2 (Çarpanın işareti) Önerme 3.5 içindeki \(k\) çarpanının işareti şöyle seçilir:
a) \(C \neq 0\) ise \(k\)’nın işareti \(C\)’nin işaretinin tersidir.
b) \(C = 0\) ise \(k\)’nın işareti \(B\)’nin işaretiyle aynı alınır; \(B = 0\) da ise \(A\)’nın işaretiyle aynı alınır.
İspat
a) \(C \neq 0\) ise \((0, 0)\) noktası \(Ax + By + C = 0\) denklemini sağlamaz; doğru orijinden geçmez ve \(r > 0\)’dır. \(r = -kC > 0\) olması için \(k\) ile \(C\)’nin işaretleri zıt olmalıdır.
b) \(C = 0\) ise \(r = -kC = 0\) olur ve doğru orijinden geçer. Bu durumda \(k\)’nın iki işareti de \(r = 0\) verir ve iki seçim birbirine \(\pi\) kadar farklı iki açıya karşılık gelir; biri seçilmelidir. \(k\)’yı \(B\) ile aynı işaretli seçmek \(\sin\omega = kB > 0\), yani \(\omega \in (0, \pi)\) demektir. \(B = 0\) ise \(\sin\omega = 0\)’dır; \(k\)’yı \(A\) ile aynı işaretli seçmek \(\cos\omega = kA > 0\), yani \(\omega = 0\) demektir. Böylece orijinden geçen her doğru için tek bir normal denklem sabitlenmiş olur.
\(\blacksquare\)
- Genel denklemden \(A\), \(B\), \(C\)’yi oku ve \(\sqrt{A^2 + B^2}\)’yi hesapla.
- \(k = \pm\dfrac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) çarpanının işaretini Sonuç 3.2 ile seç.
- Genel denklemi \(k\) ile çarp. Sonra \(r = -kC\), \(\cos\omega = kA\), \(\sin\omega = kB\)’den \(r\)’yi ve \(\omega\)’yı oku; \(\omega\)’nın bölgesini \(\cos\omega\) ile \(\sin\omega\)’nın işaretleri belirler.
Örnek 3.6 (Yatay bir doğrunun normal denklemi) \(4y - 7 = 0\) doğrusunun normal denklemini, \(r\) uzaklığını ve \(\omega\) açısını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Katsayılar. \(A = 0\), \(B = 4\), \(C = -7\)’dir ve \(\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{0 + 4^2} = 4\) olur.
Adım 2: İşaret. \(C < 0\) olduğundan \(k > 0\) olmalıdır:
\[ k = \frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{1}{4}. \]
Adım 3: Normal denklem. \(\cos\omega = kA = 0\), \(\sin\omega = kB = 1\) ve \(-r = kC = -\tfrac{7}{4}\) olduğundan normal denklem
\[ x \cdot 0 + y \cdot 1 - \frac{7}{4} = 0, \qquad\text{yani}\qquad y - \frac{7}{4} = 0 \]
olur.
Adım 4: \(r\) ve \(\omega\). \(r = -kC = -\tfrac{1}{4}(-7) = \tfrac{7}{4}\)’tür. Ayrıca
\[ \left. \begin{aligned} \cos\omega &= 0 \\ \sin\omega &= 1 \end{aligned} \right\} \;\Longrightarrow\; \omega = \frac{\pi}{2} \]
bulunur. Gerçekten \(y = \tfrac{7}{4}\) yatay doğrusuna orijinden inen dikme \(Y\)-ekseninin pozitif yarısı üzerindedir ve uzunluğu \(\tfrac{7}{4}\)’tür.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.7 (Dikmesi üçüncü bölgede olan doğru) \(3x + 4y + 10 = 0\) doğrusunun normal denklemini, \(r\) uzaklığını ve \(\omega\) açısını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Katsayılar. \(A = 3\), \(B = 4\), \(C = 10\)’dur ve \(\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\) olur.
Adım 2: İşaret. \(C > 0\) olduğundan \(k < 0\) olmalıdır: \(k = -\tfrac{1}{5}\).
Adım 3: Normal denklem. Genel denklemi \(-\tfrac{1}{5}\) ile çarparsak
\[ -\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y - 2 = 0 \]
bulunur.
Adım 4: \(r\) ve \(\omega\). \(r = -kC = \tfrac{1}{5} \cdot 10 = 2\)’dir. \(\cos\omega = -\tfrac{3}{5}\) ve \(\sin\omega = -\tfrac{4}{5}\) ikisi de negatif olduğundan \(\omega\) üçüncü bölgededir. \(\tan\omega = \tfrac{4}{3}\) olduğundan
\[ \omega = \pi + \arctan\frac{4}{3} \approx 233{,}13^\circ \]
olur. Dikmenin ayağı \(\big(r\cos\omega, r\sin\omega\big) = \left(-\tfrac{6}{5}, -\tfrac{8}{5}\right)\) noktasıdır; gerçekten
\[ 3\left(-\frac{6}{5}\right) + 4\left(-\frac{8}{5}\right) + 10 = -\frac{18}{5} - \frac{32}{5} + 10 = 0 \]
olduğundan bu nokta doğru üzerindedir.
\(\blacksquare\)
3.4 Bir Noktanın Doğruya Uzaklığı
Normal denklemin asıl gücü, bir noktanın doğruya uzaklığını tek bir formülle vermesidir. Önce ne ölçtüğümüzü açıkça söyleyelim.
Tanım 3.4 (Bir noktanın doğruya uzaklığı) \(P\) bir nokta, \(d\) bir doğru ve \(H\), \(P\)’den \(d\)’ye çizilen dikmenin ayağı olsun. \(|PH|\) uzunluğuna \(P\) noktasının \(d\) doğrusuna uzaklığı denir. \(P \in d\) ise \(H = P\) ve uzaklık \(0\)’dır.
Yani bir noktanın doğruya uzaklığı, noktayı doğruya bağlayan en kısa yolun uzunluğudur. Gerçekten \(Q\), \(d\) üzerinde \(H\)’den farklı bir nokta ise \(PHQ\) dik üçgeninde Pisagor teoremiyle \(|PQ|^2 = |PH|^2 + |HQ|^2 > |PH|^2\) olur.
İki paralel doğru arasındaki uzaklık da aynı biçimde, birinden ötekine çizilen dikmenin uzunluğudur; bu uzunluk dikmenin nereden çizildiğine bağlı değildir, çünkü iki dikme ile iki paralel doğru bir dikdörtgen oluşturur.
Teorem 3.1 (Bir noktanın doğruya uzaklığı) \(d: x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0\) bir doğrunun normal denklemi ve \(P(x_0, y_0)\) bir nokta olsun. \(P\)’nin \(d\) doğrusuna uzaklığı
\[ |x_0\cos\omega + y_0\sin\omega - r| \]
dir.
İspat
Adım 1: Dikme üzerinde bir ölçek. \(\ell\), orijinden \(d\)’ye çizilen dikmeyi taşıyan doğru olsun. Her \(u \in \mathbb{R}\) için \(Q_u = (u\cos\omega, u\sin\omega)\) noktası \(\ell\) üzerindedir: \(u \geq 0\) iken \(\omega\) yönündeki ışın üzerinde, \(u < 0\) iken ters ışın üzerinde, orijinden \(|u|\) uzaklıktadır. İki nokta arası uzaklık formülüyle
\[ \begin{aligned} |Q_uQ_v|^2 &= (u - v)^2\cos^2\omega + (u - v)^2\sin^2\omega \\[1mm] &= (u - v)^2 \end{aligned} \]
olur; yani \(|Q_uQ_v| = |u - v|\)’dir.
Adım 2: \(d\)’ye paralel doğruların denklemi. \(Q_u\) noktasından geçen ve \(\ell\)’ye dik olan doğrunun denklemi
\[ x\cos\omega + y\sin\omega - u = 0 \]
dir. Bunun gerekçesi Önerme 3.4 ispatının aynısıdır: orada \(r\) yerine \(u\) yazılınca \(r \geq 0\) varsayımı hiçbir adımda kullanılmaz. Özel olarak \(d\), \(\ell\)’yi \(Q_r\) noktasında keser.
Adım 3: \(P\)’den geçen paralel. \(P\)’den geçen ve \(d\)’ye paralel olan doğru \(\bar{d}\) olsun. \(\bar{d}\) de \(\ell\)’ye diktir; \(\ell\)’yi bir \(Q_u\) noktasında keser ve Adım 2’ye göre denklemi \(x\cos\omega + y\sin\omega - u = 0\)’dır. \(P \in \bar{d}\) bu denklemi sağladığından
\[ u = x_0\cos\omega + y_0\sin\omega \]
bulunur.
Adım 4: Uzaklık. \(P\)’den \(d\)’ye çizilen dikme \(\ell\)’ye paraleldir ve \(d\) ile \(\bar{d}\) arasında kalır. \(d \parallel \bar{d}\) olduğundan \(P\)’nin \(d\)’ye uzaklığı, \(d\) ile \(\bar{d}\) arasındaki uzaklığa eşittir; bu da ikisini dik kesen \(\ell\) üzerindeki \(Q_rQ_u\) parçasının uzunluğudur. Adım 1’den
\[ |Q_rQ_u| = |u - r| = |x_0\cos\omega + y_0\sin\omega - r| \]
elde edilir. \(P \in d\) ise \(u = r\) olur ve formül beklendiği gibi \(0\) verir.
Adım 5: İki tipik konum. Aşağıdaki iki konum, formülün geometrik anlamını gösterir.
Birinci konumda \(P\), doğrunun orijinle karşı tarafındadır. \(d\) ile \(\bar{d}\) arasındaki uzaklık \(s > 0\) olsun; bu, \(P\)’nin \(d\)’ye uzaklığıdır. \(\bar{d}\), \(\ell\)’yi \(d\)’nin ötesinde, \(Q_{r+s}\) noktasında keser ve normal denklemi \(x\cos\omega + y\sin\omega - (r + s) = 0\) biçimindedir. \(P\) bu denklemi sağladığından \(x_0\cos\omega + y_0\sin\omega - (r + s) = 0\) ve buradan
\[ s = x_0\cos\omega + y_0\sin\omega - r \]
bulunur. Bundan sonra da \(s\) harfini genel olarak bu ifade için kullanalım; birinci konumda \(s\) pozitiftir ve uzaklığın kendisidir.
İkinci konumda \(P\), orijinle aynı taraftadır ve orijinin de ötesindedir. \(d\)’nin orijine göre simetriği \(\bar{\bar{d}}\) ile gösterilsin; bu doğru \(\ell\)’yi \(Q_{-r}\) noktasında keser ve denklemi
\[ \bar{\bar{d}}: -x\cos\omega - y\sin\omega - r = 0 \]
olarak yazılabilir. \(\bar{d}\) ile \(\bar{\bar{d}}\) arasındaki uzaklık \(t\) olsun. \(\bar{d}\), \(\ell\)’yi \(Q_{-(r+t)}\) noktasında keser ve denklemi
\[ \bar{d}: -x\cos\omega - y\sin\omega - (r + t) = 0 \]
dir. \(P \in \bar{d}\) bu denklemi sağladığından \(-x_0\cos\omega - y_0\sin\omega - (r + t) = 0\), yani
\[ t = -x_0\cos\omega - y_0\sin\omega - r \]
bulunur. \(P\)’nin \(d\)’ye uzaklığı \(t + 2r\) olduğundan bu uzaklık
\[ t + 2r = -x_0\cos\omega - y_0\sin\omega + r = -s \]
olur. Bu konumda \(s < 0\)’dır ve uzaklık yine \(|s|\)’ye eşittir.
\(\blacksquare\)
İspattaki \(s = x_0\cos\omega + y_0\sin\omega - r\) sayısının mutlak değeri uzaklığı verir; işareti de noktanın doğrunun hangi tarafında olduğunu söyler. Dikmenin ayağı da bu sayıyla yazılır:
\[ H = \big(x_0 - s\cos\omega,\; y_0 - s\sin\omega\big). \]
Gerçekten \(P\)’den \(d\)’ye çizilen dikme \(\ell\)’ye paraleldir, yani \((\cos\omega, \sin\omega)\) doğrultusundadır; bu nokta da \(d\)’yi sağlar, çünkü \(x_0\cos\omega + y_0\sin\omega = s + r\) olduğundan
\[ \begin{aligned} &(x_0 - s\cos\omega)\cos\omega + (y_0 - s\sin\omega)\sin\omega - r \\[1mm] &\quad = (s + r) - s(\cos^2\omega + \sin^2\omega) - r = 0 \end{aligned} \]
olur.
Sonuç 3.3 (Uzaklığın işareti) \(d: x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0\) doğrusu orijinden geçmesin (\(r > 0\)) ve \(P(x_0, y_0)\) için \(s = x_0\cos\omega + y_0\sin\omega - r\) olsun.
a) \(s > 0\) ise \(P\) ile orijin \(d\)’nin farklı taraflarındadır.
b) \(s < 0\) ise \(P\) ile orijin \(d\)’nin aynı tarafındadır.
c) \(s = 0\) ise \(P\), \(d\) üzerindedir.
İspat
\(f(x, y) = x\cos\omega + y\sin\omega - r\) diyelim. \(OP\) parçasının noktaları \(\lambda \in [0, 1]\) için \((\lambda x_0, \lambda y_0)\)’dır ve bu noktalarda
\[ f(\lambda x_0, \lambda y_0) = \lambda\,(s + r) - r \]
olur. Bu ifade \(\lambda = 0\)’da \(-r < 0\), \(\lambda = 1\)’de \(s\) değerini alan birinci dereceden bir fonksiyondur. \(s > 0\) ise arada bir \(\lambda \in (0, 1)\) için sıfır olur; yani \(OP\) parçası \(d\)’yi keser ve \(P\) ile \(O\) farklı taraflardadır. \(s < 0\) ise ifade \([0, 1]\) boyunca negatif kalır; \(OP\) parçası \(d\)’yi kesmez ve \(P\) ile \(O\) aynı taraftadır. \(s = 0\) ise \(P\) denklemi sağlar, yani \(d\) üzerindedir.
\(\blacksquare\)
Formülü doğrudan genel denklemle de yazabiliriz; böylece normal denklemi açıkça yazmak gerekmez.
Sonuç 3.4 (Genel denklemle uzaklık formülü) \(P(x_0, y_0)\) noktasının \(d: Ax + By + C = 0\) doğrusuna uzaklığı
\[ \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
dir.
İspat
Önerme 3.5 ile \(d\)’nin normal denklemi \(kAx + kBy + kC = 0\)’dır; burada \(\cos\omega = kA\), \(\sin\omega = kB\), \(-r = kC\) ve \(|k| = \dfrac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)’dir. Teorem 3.1 ile uzaklık
\[ \begin{aligned} |x_0\cos\omega + y_0\sin\omega - r| &= |k|\,|Ax_0 + By_0 + C| \\[1mm] &= \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \end{aligned} \]
olur.
\(\blacksquare\)
Örnek 3.8 (Bir noktanın doğruya uzaklığını hesaplamak) \(P(-2, -3)\) noktasının \(8x + 15y - 24 = 0\) doğrusuna uzaklığını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Normal denklemin çarpanı. \(A = 8\), \(B = 15\), \(C = -24\)’tür. \(C < 0\) olduğundan \(k > 0\) olmalıdır:
\[ k = \frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{1}{\sqrt{8^2 + 15^2}} = \frac{1}{\sqrt{289}} = \frac{1}{17}. \]
Doğrunun normal denklemi \(\tfrac{8}{17}x + \tfrac{15}{17}y - \tfrac{24}{17} = 0\)’dır.
Adım 2: \(s\) değeri. \(x_0 = -2\) ve \(y_0 = -3\) olduğundan
\[ \begin{aligned} s &= \frac{8x_0 + 15y_0 - 24}{17} \\[1mm] &= \frac{8(-2) + 15(-3) - 24}{17} \\[1mm] &= \frac{-16 - 45 - 24}{17} = \frac{-85}{17} = -5 \end{aligned} \]
bulunur.
Adım 3: Yorum. \(s < 0\) olduğundan Sonuç 3.3 ile \((-2, -3)\) noktası ve orijin doğrunun aynı tarafındadır. İstenen uzaklık
\[ |s| = |-5| = 5 \]
olur. Dikmenin ayağı \(H = P - s(\cos\omega, \sin\omega)\) ile bulunur:
\[ \begin{aligned} H &= (-2, -3) - (-5)\left(\frac{8}{17}, \frac{15}{17}\right) \\[1mm] &= \left(\frac{6}{17}, \frac{24}{17}\right). \end{aligned} \]
Sağlama: \(8 \cdot \tfrac{6}{17} + 15 \cdot \tfrac{24}{17} = \tfrac{48 + 360}{17} = 24\) olduğundan \(H\) doğru üzerindedir ve
\[ |PH|^2 = \left(\frac{40}{17}\right)^2 + \left(\frac{75}{17}\right)^2 = \frac{7225}{289} = 25 \]
olur.
\(\blacksquare\)
3.5 Alıştırmalar
Aşağıdaki sorular bölümdeki bütün denklem biçimlerini ve uzaklık formülünü çalıştırır. Her sorunun çözümü kendi kutusunun içindedir.
Alıştırma 3.1 (Normal denklem: x + y + 8 = 0) \(x + y + 8 = 0\) doğrusunun normal denklemini, \(r\) uzaklığını ve \(\omega\) açısını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Katsayılar. \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = 8\)’dir ve \(\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{2}\) olur.
Adım 2: İşaret. \(C > 0\) olduğundan Sonuç 3.2 ile \(k < 0\)’dır:
\[ k = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Adım 3: Normal denklem. Genel denklemi \(k\) ile çarparsak \(kC = -\tfrac{8}{\sqrt{2}} = -4\sqrt{2}\) olduğundan
\[ -\frac{\sqrt{2}}{2}\,x - \frac{\sqrt{2}}{2}\,y - 4\sqrt{2} = 0 \]
bulunur.
Adım 4: \(r\) ve \(\omega\). \(r = -kC = 4\sqrt{2}\)’dir. \(\cos\omega = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) ve \(\sin\omega = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) ikisi de negatif olduğundan \(\omega\) üçüncü bölgededir ve
\[ \omega = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \]
olur. Dikmenin ayağı \(\big(r\cos\omega, r\sin\omega\big) = (-4, -4)\)’tür; gerçekten \(-4 - 4 + 8 = 0\)’dır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.2 (Normal denklem: x + 5 = 0) \(x + 5 = 0\) doğrusunun normal denklemini, \(r\) uzaklığını ve \(\omega\) açısını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Katsayılar. \(A = 1\), \(B = 0\), \(C = 5\)’tir ve \(\sqrt{A^2 + B^2} = 1\) olur.
Adım 2: İşaret. \(C > 0\) olduğundan \(k < 0\), yani \(k = -1\)’dir.
Adım 3: Normal denklem. Genel denklemi \(-1\) ile çarparsak
\[ -x - 5 = 0 \]
bulunur. Bu, \(x\cos\omega + y\sin\omega - r = 0\) biçimindedir: \(\cos\omega = -1\), \(\sin\omega = 0\), \(r = 5\).
Adım 4: \(r\) ve \(\omega\). \(r = -kC = 5\)’tir. \(\cos\omega = -1\) ve \(\sin\omega = 0\) olduğundan \(\omega = \pi\) olur. Gerçekten \(x = -5\) düşey doğrusuna orijinden inen dikme \(X\)-ekseninin negatif yarısı üzerindedir, ayağı \((-5, 0)\)’dır ve uzunluğu \(5\)’tir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.3 (Normal denklem: kök üç x + y − 9 = 0) \(\sqrt{3}\,x + y - 9 = 0\) doğrusunun normal denklemini, \(r\) uzaklığını ve \(\omega\) açısını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Katsayılar. \(A = \sqrt{3}\), \(B = 1\), \(C = -9\)’dur ve \(\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\) olur.
Adım 2: İşaret. \(C < 0\) olduğundan \(k > 0\), yani \(k = \tfrac{1}{2}\)’dir.
Adım 3: Normal denklem. Genel denklemi \(\tfrac{1}{2}\) ile çarparsak
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}\,x + \frac{1}{2}\,y - \frac{9}{2} = 0 \]
bulunur.
Adım 4: \(r\) ve \(\omega\). \(r = -kC = \tfrac{9}{2}\)’dir. \(\cos\omega = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) ve \(\sin\omega = \tfrac{1}{2}\) ikisi de pozitif olduğundan \(\omega\) birinci bölgededir ve
\[ \omega = \frac{\pi}{6} \]
olur. Dikmenin ayağı \(\left(\tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\right) = \left(\tfrac{9\sqrt{3}}{4}, \tfrac{9}{4}\right)\)’tür; gerçekten
\[ \sqrt{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9}{4} - 9 = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} - 9 = 0 \]
olduğundan bu nokta doğru üzerindedir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.4 (Orijinden geçen doğrunun normal denklemi) \(3x - 4y = 0\) doğrusunun normal denklemini, \(r\) uzaklığını ve \(\omega\) açısını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Katsayılar. \(A = 3\), \(B = -4\), \(C = 0\)’dır ve \(\sqrt{A^2 + B^2} = 5\) olur.
Adım 2: İşaret. \(C = 0\) olduğundan Sonuç 3.2 (b) şıkkına göre \(k\), \(B\) ile aynı işaretlidir. \(B < 0\) olduğundan \(k = -\tfrac{1}{5}\)’tir.
Adım 3: Normal denklem. Genel denklemi \(-\tfrac{1}{5}\) ile çarparsak
\[ -\frac{3}{5}\,x + \frac{4}{5}\,y = 0 \]
bulunur.
Adım 4: \(r\) ve \(\omega\). \(r = -kC = 0\)’dır; doğru orijinden geçer. \(\cos\omega = -\tfrac{3}{5} < 0\) ve \(\sin\omega = \tfrac{4}{5} > 0\) olduğundan \(\omega\) ikinci bölgededir. \(\tan\omega = -\tfrac{4}{3}\) olduğundan
\[ \omega = \pi - \arctan\frac{4}{3} \approx 126{,}87^\circ \]
olur. Burada \(\ell\), orijinden geçen ve doğruya dik olan doğrudur; seçilen işaret, \(\ell\)’nin üst yarı düzlemdeki ışınını almak demektir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.5 (Uzaklık: P(−1, 7) ve 6x − 8y + 5 = 0) \(P(-1, 7)\) noktasının \(6x - 8y + 5 = 0\) doğrusuna uzaklığını bulunuz. Nokta ile orijin doğrunun aynı tarafında mıdır?
Çözüm
Adım 1: Normal denklem. \(A = 6\), \(B = -8\), \(C = 5\)’tir ve \(\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\) olur. \(C > 0\) olduğundan \(k < 0\), yani \(k = -\tfrac{1}{10}\)’dur. Normal denklem
\[ -\frac{3}{5}\,x + \frac{4}{5}\,y - \frac{1}{2} = 0 \]
olur; burada \(\cos\omega = -\tfrac{3}{5}\), \(\sin\omega = \tfrac{4}{5}\), \(r = \tfrac{1}{2}\)’dir.
Adım 2: \(s\) değeri. \(x_0 = -1\), \(y_0 = 7\) için
\[ \begin{aligned} s &= -\frac{3}{5}(-1) + \frac{4}{5}\cdot 7 - \frac{1}{2} \\[1mm] &= \frac{3}{5} + \frac{28}{5} - \frac{1}{2} = \frac{31}{5} - \frac{1}{2} = \frac{57}{10} \end{aligned} \]
bulunur.
Adım 3: Yorum. Uzaklık \(|s| = \tfrac{57}{10} = 5{,}7\)’dir. \(s > 0\) olduğundan Sonuç 3.3 ile \(P\) ile orijin doğrunun farklı taraflarındadır.
Sağlama olarak Sonuç 3.4 formülünü kullanalım:
\[ \frac{|6(-1) - 8 \cdot 7 + 5|}{10} = \frac{|-57|}{10} = \frac{57}{10}. \]
Dikmenin ayağı \(H = P - s(\cos\omega, \sin\omega)\) ile bulunur:
\[ H = (-1, 7) - \frac{57}{10}\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = \left(\frac{121}{50}, \frac{61}{25}\right). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.6 (Verilen doğruya paralel doğru) \((2, -3)\) noktasından geçen ve \(3x - 2y + 5 = 0\) doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Eğim. Önerme 3.3 ile verilen doğrunun eğimi \(m = -\tfrac{3}{-2} = \tfrac{3}{2}\)’dir. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan aranan doğrunun eğimi de \(\tfrac{3}{2}\)’dir.
Adım 2: Denklem. Tanım 3.1 ile
\[ y - (-3) = \frac{3}{2}(x - 2) \]
yazılır. Her iki yanı \(2\) ile çarparsak \(2y + 6 = 3x - 6\), yani
\[ 3x - 2y - 12 = 0 \]
bulunur.
Aynı sonuca daha kısa yoldan da ulaşılır: \(3x - 2y + 5 = 0\)’a paralel her doğrunun genel denklemi, eğimi değiştirmeyen \(3x - 2y + C = 0\) biçimindedir. \((2, -3)\) bu denklemi sağlamalıdır: \(6 + 6 + C = 0\), yani \(C = -12\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.7 (Verilen doğruya dik doğru) \((-1, 4)\) noktasından geçen ve \(2x + 5y - 1 = 0\) doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Eğimler. Verilen doğrunun eğimi \(m = -\tfrac{2}{5}\)’tir. Dik doğruların eğimlerinin çarpımı \(-1\) olduğundan aranan doğrunun eğimi
\[ \bar{m} = -\frac{1}{m} = \frac{5}{2} \]
olur.
Adım 2: Denklem. Tanım 3.1 ile
\[ y - 4 = \frac{5}{2}\big(x - (-1)\big) \]
yazılır. Her iki yanı \(2\) ile çarparsak \(2y - 8 = 5x + 5\), yani
\[ 5x - 2y + 13 = 0 \]
bulunur. Sağlama: \(5(-1) - 2 \cdot 4 + 13 = 0\).
İki doğrunun kesiştiği nokta, \(2x + 5y = 1\) ve \(5x - 2y = -13\) denklemlerinin ortak çözümü olan \(K\left(-\tfrac{63}{29}, \tfrac{31}{29}\right)\)’dur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.8 (Eksenlerden eşit parçalar ayıran doğru) \((2, 3)\) noktasından geçen ve eksenlerin pozitif yarılarından eşit uzunlukta parçalar ayıran doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Biçim. Doğru eksenleri \((a, 0)\) ve \((0, a)\) noktalarında kessin; burada \(a > 0\)’dır. Önerme 3.2 ile denklem
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \]
olur.
Adım 2: Noktayı yerleştirmek. \((2, 3)\) bu denklemi sağlamalıdır:
\[ \frac{2}{a} + \frac{3}{a} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{5}{a} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 5. \]
Adım 3: Denklem. \(\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{5} = 1\), yani
\[ x + y - 5 = 0 \]
bulunur. Doğru eksenleri \((5, 0)\) ve \((0, 5)\)’te keser; ikisi de orijinden \(5\) birim uzaktadır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.9 (İki paralel doğru arasındaki uzaklık) \(3x - 4y + 2 = 0\) ve \(3x - 4y - 8 = 0\) doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Paralellik. İki doğrunun eğimi de \(\tfrac{3}{4}\)’tür ve sabit terimleri farklı olduğundan çakışmazlar; paraleldirler. Aralarındaki uzaklık, birinin herhangi bir noktasının ötekine uzaklığıdır.
Adım 2: Birinci doğrudan bir nokta. \(3x - 4y + 2 = 0\) denkleminde \(x = 0\) yazılırsa \(y = \tfrac{1}{2}\) çıkar; \(\left(0, \tfrac{1}{2}\right)\) birinci doğrunun noktasıdır.
Adım 3: Uzaklık. Sonuç 3.4 ile bu noktanın ikinci doğruya uzaklığı
\[ \frac{\left|3 \cdot 0 - 4 \cdot \tfrac{1}{2} - 8\right|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10|}{5} = 2 \]
bulunur.
Aynı sonucu normal denklemlerle de görebiliriz. Birinci doğruda \(C = 2 > 0\) olduğundan \(k = -\tfrac{1}{5}\) ve normal denklem \(-\tfrac{3}{5}x + \tfrac{4}{5}y - \tfrac{2}{5} = 0\)’dır; \(r_1 = \tfrac{2}{5}\). İkincide \(C = -8 < 0\) olduğundan \(k = \tfrac{1}{5}\) ve normal denklem \(\tfrac{3}{5}x - \tfrac{4}{5}y - \tfrac{8}{5} = 0\)’dır; \(r_2 = \tfrac{8}{5}\). İki dikmenin yönleri (\(\cos\omega\) ve \(\sin\omega\) değerleri) birbirinin tersidir; yani doğrular orijinin iki yanındadır ve aralarındaki uzaklık \(r_1 + r_2 = \tfrac{2}{5} + \tfrac{8}{5} = 2\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 3.10 (Üçgenin yüksekliği ve alanı) Köşeleri \(A(1, 1)\), \(B(5, 4)\), \(C(2, 6)\) olan üçgende \(C\) köşesinden \(AB\) kenarına inen yüksekliğin uzunluğunu ve üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(AB\) doğrusu. Eğim \(\dfrac{4 - 1}{5 - 1} = \dfrac{3}{4}\)’tür. Tanım 3.1 ile \(y - 1 = \tfrac{3}{4}(x - 1)\) yazılır; \(4\) ile çarpınca \(4y - 4 = 3x - 3\), yani
\[ AB: \; 3x - 4y + 1 = 0 \]
bulunur. Sağlama: \(3 \cdot 5 - 4 \cdot 4 + 1 = 0\).
Adım 2: Yükseklik. Yükseklik, \(C(2, 6)\) noktasının \(AB\) doğrusuna uzaklığıdır. Sonuç 3.4 ile
\[ h = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 6 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-17|}{5} = \frac{17}{5} \]
olur. \(AB\)’nin normal denklemi \(-\tfrac{3}{5}x + \tfrac{4}{5}y - \tfrac{1}{5} = 0\) olduğundan \(C\) için \(s = \tfrac{17}{5}\) ve \((\cos\omega, \sin\omega) = \left(-\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5}\right)\)’tir. Yüksekliğin ayağı
\[ D = (2, 6) - \frac{17}{5}\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = \left(\frac{101}{25}, \frac{82}{25}\right) \]
noktasıdır.
Adım 3: Taban ve alan. Taban uzunluğu
\[ |AB| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \]
olur. Alan
\[ \frac{1}{2}\,|AB|\,h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{17}{5} = \frac{17}{2} \]
bulunur.
Sağlama olarak tabanı \(AC\) alalım. \(AC\)’nin eğimi \(\dfrac{6 - 1}{2 - 1} = 5\)’tir; \(y - 1 = 5(x - 1)\), yani \(AC: 5x - y - 4 = 0\) olur. \(B(5, 4)\)’ün bu doğruya uzaklığı
\[ \frac{|5 \cdot 5 - 4 - 4|}{\sqrt{5^2 + 1^2}} = \frac{17}{\sqrt{26}} \]
ve \(|AC| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}\) olduğundan alan yine
\[ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{26} \cdot \frac{17}{\sqrt{26}} = \frac{17}{2} \]
çıkar.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde düzlemde bir doğruyu bir noktası ve eğimi, iki noktası, eksen kesişimleri, genel denklemi ve normal denklemiyle anlattık; normal denklemden de bir noktanın doğruya uzaklığını çıkardık. Sıradaki bölümde doğrudan sonra düzlemin en temel eğrisine, Çember’e geçiyoruz; orada da merkezden uzaklık fikri ve bu bölümdeki uzaklık formülü sık sık işimize yarayacak.