11 Uzayda İki Doğru
Uzayda Doğru Denklemleri bölümünde bir doğruyu bir noktası ve bir doğrultman vektörüyle yazmayı, iki doğrunun ne zaman paralel ya da dik olduğunu gördük. Bu bölümde iki doğruyu birlikte ele alıp daha ince soruları soracağız: iki doğru arasındaki açı nedir, bir nokta bir doğrudan ne kadar uzaktadır, iki doğru kesişir mi?
Düzlemde iki doğru ya kesişir ya da paraleldir. Uzayda ise üçüncü bir olasılık ortaya çıkar: iki doğru ne kesişir ne de paraleldir. Bir odada tavanın bir kenarı ile tabanın karşı duvardaki ona dik kenarı buna örnektir. Böyle aykırı doğrular arasında en kısa uzaklığı veren tek bir doğru parçası vardır. Bu parçayı ve uç noktalarını bulmak bölümün son ve en önemli konusudur. Bütün hesaplarda İç Çarpım ve Vektörel ve Karma Çarpım bölümlerinin araçlarını kullanacağız.
Bölüm boyunca \(d_1\) doğrusu \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) noktasından geçen ve doğrultman vektörü \(v_1\) olan doğruyu, \(d_2\) doğrusu da \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) noktasından geçen ve doğrultman vektörü \(v_2\) olan doğruyu gösterecek. Doğrultman vektörleri sıfırdan farklıdır.
11.1 İki doğru arasındaki açı
Kesişen iki doğru, kesişim noktalarında dört açı oluşturur. Uzayda ise doğrular kesişmeyebilir de. Bu yüzden açıyı doğruların kendileri yerine yönlerini veren vektörlerle tanımlarız.
Tanım 11.1 (İki doğru arasındaki açı) \(d_1\) ve \(d_2\) doğrularının doğrultman vektörleri sırasıyla \(v_1\) ve \(v_2\) olsun. \(v_1\) ile \(v_2\) vektörleri arasındaki \[ \theta = \measuredangle(v_1, v_2) \] açısına \(d_1\) ile \(d_2\) doğruları arasındaki açı denir. Doğrultman vektörleri değiştirilince bu açı \(\theta\) ya da \(\pi - \theta\) olur; iki doğru arasındaki açı bu bütünler çiftiyle belirlidir.
Yani iki doğru arasındaki açıyı ölçmek için doğrultman vektörlerini aynı noktadan çizip aralarındaki açıya bakarız. Doğrular kesişiyorsa bu, kesişim noktasında oluşan açılardan biridir. Kesişmiyorlarsa \(d_2\)’yi kendine paralel olarak kaydırıp \(d_1\)’i kesecek konuma getirdiğimizi düşünebiliriz: kaydırma doğrultman vektörünü değiştirmez, dolayısıyla açıyı da değiştirmez.
Teorem 11.1 (İki doğru arasındaki açının kosinüsü) \(d_1\) ile \(d_2\) arasındaki açı \(\theta\) ise \[ \cos\theta = \frac{\langle v_1, v_2\rangle}{\|v_1\|\,\|v_2\|} \] dir. Özellikle \(d_1\) ile \(d_2\)’nin dik olması için gerek ve yeter koşul \(\langle v_1, v_2\rangle = 0\) olmasıdır.
İspat
Tanım 11.1 gereği \(\theta = \measuredangle(v_1, v_2)\) dir. \(v_1\) ve \(v_2\) sıfırdan farklı olduğundan Teorem 8.2 bu iki vektör için uygulanabilir ve formülü verir. İki doğrunun dik olması, Uzayda Doğru Denklemleri bölümündeki tanım gereği doğrultman vektörlerinin dik olması demektir. \(\cos\theta = 0\) ancak \(\theta = \tfrac{\pi}{2}\) iken sağlandığından bu da \(\langle v_1, v_2\rangle = 0\) ile denktir.
\(\blacksquare\)
Bir doğrunun doğrultman vektörü tek değildir: \(v_1\) yerine \(-v_1\) de alınabilir. Bu değişiklik \(\langle v_1, v_2\rangle\)’nin işaretini değiştirir, bu yüzden \(\theta\) yerine \(\pi - \theta\) elde edilir. Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılar da zaten \(\theta\) ve \(\pi - \theta\) çiftleridir. Hesapta hangi doğrultman vektörleri kullanıldıysa açı onlara göre söylenir. Dar açı istenirse \[ \cos\theta = \frac{|\langle v_1, v_2\rangle|}{\|v_1\|\,\|v_2\|} \] alınır.
Örnek 11.1 (Dik kesişen iki doğru) \[ d_1 : \frac{x-2}{3} = y + 1 = \frac{z-3}{-3} \] ile \[ d_2 : \frac{x}{4} = \frac{y + \frac{80}{27}}{3} = \frac{z+2}{5} \] doğruları arasındaki açıyı bulalım.
Çözüm
Kartezyen denklemlerde paydalar doğrultman vektörünü verir. \(d_1\)’in ikinci oranında payda yazılmamıştır, yani paydası \(1\)’dir. Buna göre \[ v_1 = (3, 1, -3), \qquad v_2 = (4, 3, 5) \] dir. İç çarpım \[ \begin{aligned} \langle v_1, v_2\rangle &= 3\cdot 4 + 1\cdot 3 + (-3)\cdot 5 \\ &= 12 + 3 - 15 = 0 \end{aligned} \] olur. Teorem 11.1’ten \(\cos\theta = 0\), dolayısıyla \[ \theta = \frac{\pi}{2} \] bulunur. İki doğru birbirine diktir. Açıyı bulmak için doğruların üzerindeki noktalara hiç gerek olmadığına dikkat edin. Bu doğrular ayrıca \(\left(\tfrac{28}{9}, -\tfrac{17}{27}, \tfrac{17}{9}\right)\) noktasında kesişir; bunu bir sonraki kesimin yöntemiyle kolayca doğrulayabilirsiniz.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.2 (Açının doğrultman vektörüne bağlılığı) Parametrik denklemleri \[ d_1 : \; x = 1 + \lambda,\; y = 2,\; z = \lambda \] ve \[ d_2 : \; x = -\lambda,\; y = 1 + \lambda,\; z = 3 \] olan doğrular arasındaki açıyı bulalım ve dar açıyı belirleyelim.
Çözüm
Parametrenin katsayıları doğrultman vektörlerini verir: \[ v_1 = (1, 0, 1), \qquad v_2 = (-1, 1, 0). \] Gerekli büyüklükler \[ \begin{aligned} \langle v_1, v_2\rangle &= 1\cdot(-1) + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = -1, \\ \|v_1\| &= \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}, \\ \|v_2\| &= \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \end{aligned} \] dir. Teorem 11.1’ten \[ \cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}, \qquad \theta = \frac{2\pi}{3} \] bulunur. Bu açı geniştir. \(v_2\) yerine \(-v_2 = (1, -1, 0)\) alsaydık iç çarpım \(1\) olur ve \(\cos\theta = \tfrac{1}{2}\), yani \(\theta = \tfrac{\pi}{3}\) elde ederdik. İki doğru arasındaki dar açı \(\tfrac{\pi}{3}\)’tür; \(\tfrac{2\pi}{3}\) ise onun bütünleridir.
\(\blacksquare\)
11.2 Bir noktanın bir doğruya uzaklığı
Düzlemde bir noktanın bir doğruya uzaklığını Düzlemde Doğru Denklemleri bölümünde doğrunun normal denklemiyle bulmuştuk. Uzayda bir doğrunun tek bir normal doğrultusu yoktur. Bu yüzden aynı soruyu vektörel çarpımla çözeceğiz.
Tanım 11.2 (Bir noktanın bir doğruya uzaklığı) \(d\) bir doğru, \(Q\) bir nokta olsun. \(d\) üzerinde, \(\overrightarrow{HQ}\) vektörü \(d\)’nin doğrultman vektörüne dik olacak biçimde alınan \(H\) noktasına \(Q\)’dan \(d\)’ye inilen dikmenin ayağı denir. \(Q \in d\) ise \(H = Q\) alınır. \[ \ell = |QH| \] sayısına \(Q\) noktasının \(d\) doğrusuna uzaklığı denir.
Yani \(\ell\), \(Q\)’dan \(d\)’ye çizilebilecek en kısa doğru parçasının uzunluğudur. Gerçekten \(X\), \(d\) üzerinde \(H\)’den farklı bir nokta ise \(QHX\) üçgeni \(H\) köşesinde dik açılıdır ve Pisagor bağıntısından \[ |QX|^2 = |QH|^2 + |HX|^2 > |QH|^2 \] olur. Dikme ayağının var ve tek olduğunu aşağıdaki Önerme 11.1 gösterecek.
Teorem 11.2 (Noktanın doğruya uzaklığı formülü) \(d\) doğrusu \(P_0\) noktasından geçsin ve doğrultman vektörü \(v\) olsun. \(Q\) noktasının \(d\)’ye uzaklığı \[ \ell = \frac{\big\|v \times \overrightarrow{P_0Q}\big\|}{\|v\|} \] dir.
İspat
\(Q \in d\) ise \(\overrightarrow{P_0Q}\), \(v\) ile paraleldir. Önerme 9.3’den \(v \times \overrightarrow{P_0Q} = 0\) olur ve formül \(\ell = 0\) verir; bu doğrudur.
\(Q \notin d\) olsun ve \(\theta = \measuredangle\big(v, \overrightarrow{P_0Q}\big)\) diyelim. \(H = P_0\) ise \(\overrightarrow{P_0Q} \perp v\), yani \(\theta = \tfrac{\pi}{2}\) ve \(\ell = |P_0Q| = |P_0Q|\sin\theta\) dır. \(H \neq P_0\) ise \(P_0HQ\) üçgeni \(H\)’de dik açılıdır ve \(QH\) dik kenarı \(P_0\) köşesinin karşısındadır. \(P_0\)’daki iç açı \(\theta\) (ya da \(H\), \(P_0\)’ın \(v\)’nin tersi yönünde kalıyorsa \(\pi - \theta\)) olduğundan, \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\) eşitliğiyle her iki durumda \[ \ell = |P_0Q|\,\sin\theta \] bulunur. Öte yandan Sonuç 9.3’dan \[ \sin\theta = \frac{\big\|v \times \overrightarrow{P_0Q}\big\|}{\|v\|\,|P_0Q|} \] dir. Bunu yerine yazarsak \(|P_0Q|\) sadeleşir: \[ \ell = |P_0Q|\cdot\frac{\big\|v \times \overrightarrow{P_0Q}\big\|}{\|v\|\,|P_0Q|} = \frac{\big\|v \times \overrightarrow{P_0Q}\big\|}{\|v\|}. \]
Formülün bir de alan yorumu vardır. \(v\) ile \(\overrightarrow{P_0Q}\) vektörlerinin \(P_0\)’dan çizildiğinde oluşturduğu paralelkenarın alanı \(\big\|v \times \overrightarrow{P_0Q}\big\|\)’dir. Bu paralelkenarın \(v\) üzerindeki taban uzunluğu \(\|v\|\), bu tabana ait yüksekliği ise tam olarak \(\ell\)’dir. Alan = taban \(\times\) yükseklik olduğundan yükseklik, alanın tabana bölümüdür.
\(\blacksquare\)
Formülde \(P_0\) yerine \(d\)’nin başka bir noktası ya da \(v\) yerine onun sıfırdan farklı bir katı alınsa sonuç değişmez. Örneğin \(v\) yerine \(cv\) alınırsa pay da payda da \(|c|\) ile çarpılır. Bu serbestlik hesapları kolaylaştırmak için kullanılabilir.
Önerme 11.1 (Dikmenin ayağı) \(d\) doğrusu \(P_0\) noktasından geçsin ve doğrultman vektörü \(v\) olsun. \(Q\)’dan \(d\)’ye inilen dikmenin ayağı tektir ve \[ H = P_0 + \frac{\big\langle \overrightarrow{P_0Q}, v\big\rangle}{\|v\|^2}\, v \] noktasıdır. Yani \(\overrightarrow{P_0H}\), \(\overrightarrow{P_0Q}\)’nun \(v\) üzerine dik izdüşümüdür.
İspat
\(d\)’nin her noktası bir \(t \in \mathbb{R}\) için \(H = P_0 + t v\) biçimindedir. Bu nokta için \(\overrightarrow{HQ} = \overrightarrow{P_0Q} - t v\) olur. \(H\)’nin dikme ayağı olması için gerek ve yeter koşul \[ \big\langle \overrightarrow{P_0Q} - t v,\; v\big\rangle = 0, \quad\text{yani}\quad \big\langle \overrightarrow{P_0Q}, v\big\rangle - t\,\|v\|^2 = 0 \] olmasıdır. \(\|v\| \neq 0\) olduğundan bu denklemin tek çözümü \[ t = \frac{\big\langle \overrightarrow{P_0Q}, v\big\rangle}{\|v\|^2} \] dir. Dolayısıyla dikme ayağı vardır ve tektir. \(\overrightarrow{P_0H} = t v\) vektörü, Teorem 8.3’a göre \(\operatorname{izd}_v\big(\overrightarrow{P_0Q}\big)\) vektörünün ta kendisidir. \(Q \in d\) ise \(\overrightarrow{P_0Q} = sv\) biçimindedir, \(t = s\) bulunur ve \(H = Q\) olur; bu da tanımdaki anlaşmaya uyar.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.3 (Bir noktanın doğruya uzaklığı) \(Q(0, -1, -2)\) noktasının \[ d : 2x = y - 1 = 4z + 8 \] doğrusuna uzaklığını bulalım.
Çözüm
Önce \(d\)’yi kartezyen biçime getirelim. Her oranda değişkenin katsayısını \(1\) yapmak için \(2x = \dfrac{x}{1/2}\) ve \(4z + 8 = \dfrac{z + 2}{1/4}\) yazarız: \[ d : \frac{x}{\frac{1}{2}} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{\frac{1}{4}}. \] Buna göre \(d\), \(P_0(0, 1, -2)\) noktasından geçer ve doğrultman vektörü \[ v = \left(\tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{1}{4}\right) \] dir. Ayrıca \[ \overrightarrow{P_0Q} = (0 - 0,\; -1 - 1,\; -2 + 2) = (0, -2, 0) \] olur. Vektörel çarpımı determinantla hesaplayalım: \[ \begin{aligned} v \times \overrightarrow{P_0Q} &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & -2 & 0 \end{vmatrix} \\ &= \left(1\cdot 0 - \tfrac{1}{4}\cdot(-2)\right) e_1 - \left(\tfrac{1}{2}\cdot 0 - \tfrac{1}{4}\cdot 0\right) e_2 \\ &\quad + \left(\tfrac{1}{2}\cdot(-2) - 1\cdot 0\right) e_3 \\ &= \left(\tfrac{1}{2}, 0, -1\right). \end{aligned} \] Uzunluklar \[ \begin{aligned} \big\|v \times \overrightarrow{P_0Q}\big\| &= \sqrt{\tfrac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\tfrac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}, \\ \|v\| &= \sqrt{\tfrac{1}{4} + 1 + \tfrac{1}{16}} = \sqrt{\tfrac{4 + 16 + 1}{16}} = \frac{\sqrt{21}}{4} \end{aligned} \] dir. Teorem 11.2’dan \[ \ell = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{21}/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{105}}{21} \] bulunur.
Kesirlerden kaçınmak için \(v\) yerine \(4v = (2, 4, 1)\) de alınabilirdi. O zaman \((2, 4, 1) \times (0, -2, 0) = (2, 0, -4)\), bu vektörün uzunluğu \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) ve \(\|(2, 4, 1)\| = \sqrt{21}\) olur; oran yine \(\tfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{21}}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.4 (Dikme ayağını bulmak) Aynı \(Q(0, -1, -2)\) noktasından \(d : 2x = y - 1 = 4z + 8\) doğrusuna inilen dikmenin ayağı \(H\)’yi bulalım ve \(|QH|\)’nin önceki örnekteki uzaklığa eşit olduğunu doğrulayalım.
Çözüm
\(d\), \(P_0(0, 1, -2)\) noktasından geçer. Doğrultman vektörü olarak \(w = (2, 4, 1)\) alalım. \(\overrightarrow{P_0Q} = (0, -2, 0)\) olduğundan \[ \big\langle \overrightarrow{P_0Q}, w\big\rangle = 0\cdot 2 + (-2)\cdot 4 + 0\cdot 1 = -8, \qquad \|w\|^2 = 4 + 16 + 1 = 21 \] dir. Önerme 11.1’ndan \[ \begin{aligned} H &= (0, 1, -2) - \frac{8}{21}\,(2, 4, 1) \\ &= \left(-\tfrac{16}{21},\; 1 - \tfrac{32}{21},\; -2 - \tfrac{8}{21}\right) \\ &= \left(-\tfrac{16}{21},\; -\tfrac{11}{21},\; -\tfrac{50}{21}\right) \end{aligned} \] bulunur. \(H\)’nin gerçekten \(d\) üzerinde olduğunu denetleyelim: \(2x = -\tfrac{32}{21}\), \(y - 1 = -\tfrac{32}{21}\) ve \(4z + 8 = -\tfrac{200}{21} + \tfrac{168}{21} = -\tfrac{32}{21}\); üç ifade eşittir.
Şimdi \[ \overrightarrow{HQ} = \left(\tfrac{16}{21},\; -\tfrac{10}{21},\; \tfrac{8}{21}\right) \] dir. Bu vektör \(w\)’ye diktir: \(\tfrac{1}{21}(32 - 40 + 8) = 0\). Uzunluğu \[ |QH| = \frac{\sqrt{256 + 100 + 64}}{21} = \frac{\sqrt{420}}{21} = \frac{2\sqrt{105}}{21} \] olup Örnek 11.3’taki sonuçla aynıdır.
\(\blacksquare\)
11.3 İki doğrunun birbirine göre durumları
İki doğrunun birbirine göre durumunu anlamak için önce ortak noktalarının olup olmadığına bakarız. Ortak nokta, her iki doğrunun parametrik denklemlerini birden sağlayan noktadır. Bu yüzden iki doğrunun parametrik denklemlerini eşitlemek işin anahtarıdır.
\(v_1 = (a_1, b_1, c_1)\) ve \(v_2 = (a_2, b_2, c_2)\) olsun. \(\lambda_1\) ve \(\lambda_2\) parametreleriyle \[ d_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= x_1 + \lambda_1 a_1 \\ y &= y_1 + \lambda_1 b_1 \\ z &= z_1 + \lambda_1 c_1 \end{aligned} \right. \qquad d_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= x_2 + \lambda_2 a_2 \\ y &= y_2 + \lambda_2 b_2 \\ z &= z_2 + \lambda_2 c_2 \end{aligned} \right. \] yazalım. Bir nokta iki doğrunun da üzerindeyse koordinatları iki gösterimde de aynıdır. Bu yüzden ortak noktalar \[ \left\{ \begin{aligned} x_1 + \lambda_1 a_1 &= x_2 + \lambda_2 a_2 \\ y_1 + \lambda_1 b_1 &= y_2 + \lambda_2 b_2 \\ z_1 + \lambda_1 c_1 &= z_2 + \lambda_2 c_2 \end{aligned} \right. \tag{1} \] sisteminin \((\lambda_1, \lambda_2)\) çözümlerinden elde edilir. Bu, iki bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemdir; tek çözümü, sonsuz çözümü olabilir ya da hiç çözümü olmayabilir.
Paralel doğruları Uzayda Doğru Denklemleri bölümünde tanımlamıştık: \(d_1 \parallel d_2 \iff v_1 \parallel v_2\). Bu tanıma göre aynı doğru kendisine de paraleldir. Geri kalan durumları da adlandıralım.
Tanım 11.3 (Kesişen doğrular) Tam olarak bir ortak noktası olan iki doğruya kesişen doğrular, bu ortak noktaya da doğruların kesişim noktası denir.
Tanım 11.4 (Çakışık doğrular) Aynı nokta kümesini belirten, yani her noktası ortak olan iki doğruya çakışık doğrular denir.
Tanım 11.5 (Aykırı doğrular) Kesişmeyen ve paralel olmayan iki doğruya aykırı doğrular denir.
Yani uzayda iki doğru için dört durum vardır: kesişirler, paralel ve farklıdırlar, çakışıktırlar ya da aykırıdırlar. Aykırı doğrular sezgisel olarak ortak bir düzlem üzerinde bulunmayan doğrulardır; düzlemde aykırı doğru yoktur. Hangi durumun geçerli olduğunu (1) sisteminin çözümleri söyler.
Teorem 11.3 (Ortak nokta sistemi ve doğruların durumu) \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları ile (1) sistemi için şunlar geçerlidir.
i) (1)’in tek çözümü varsa \(d_1\) ile \(d_2\) kesişir.
ii) (1)’in sonsuz çözümü varsa \(d_1\) ile \(d_2\) çakışıktır.
iii) (1)’in çözümü yoksa ve \(v_1 \parallel v_2\) ise \(d_1\) ile \(d_2\) paralel ve farklıdır.
iv) (1)’in çözümü yoksa ve \(v_1 \nparallel v_2\) ise \(d_1\) ile \(d_2\) aykırıdır.
Bu dört durum birbirini dışlar ve her iki doğru bunlardan tam birine uyar.
İspat
(1)’in her \((\lambda_1, \lambda_2)\) çözümü bir ortak nokta verir. Tersine her ortak nokta tek bir çözümden gelir: \(v_1 \neq 0\) olduğundan farklı \(\lambda_1\) değerleri \(d_1\)’in farklı noktalarını verir, aynısı \(d_2\) için de doğrudur. Demek ki (1)’in çözümleri ile ortak noktalar birebir eşlenir.
Farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. Gerçekten \(d_1\) ile \(d_2\)’nin \(A \neq B\) gibi iki ortak noktası olsun. \(\overrightarrow{AB}\) vektörü hem \(d_1\) hem \(d_2\) üzerinde yattığından \(v_1\)’e de \(v_2\)’ye de paraleldir. O hâlde iki doğru da \(A\)’dan geçen ve doğrultmanı \(\overrightarrow{AB}\) olan doğrudur; yani çakışıktır.
Buna göre ortak noktaların sayısı \(0\), \(1\) ya da sonsuzdur ve sonsuz olması çakışıklık demektir. i) ve ii) buradan çıkar. Ortak nokta yoksa doğrular ne kesişen ne de çakışıktır. \(v_1 \parallel v_2\) ise tanım gereği paraleldirler ve çakışık olmadıklarından farklıdırlar: iii). \(v_1 \nparallel v_2\) ise hem kesişmezler hem paralel değildirler, yani Tanım 11.5 gereği aykırıdırlar: iv).
Durumların birbirini dışladığı, çözüm sayısının (\(1\), sonsuz, \(0\)) ve \(v_1, v_2\)’nin paralelliğinin aynı anda tek bir biçimde belirlenmesinden gelir.
\(\blacksquare\)
Bu teoremden iki pratik sonuç çıkar. Birincisi, \(v_1 \nparallel v_2\) ise doğrular ya kesişir ya da aykırıdır; çakışık ya da paralel olamazlar. İkincisi, \(v_1 \parallel v_2\) ise doğrular ya çakışıktır ya da paralel ve farklıdır; bunu anlamak için \(P_2\)’nin \(d_1\) üzerinde olup olmadığına bakmak yeter.
- Doğrultman vektörlerini okuyun ve \(v_1 \parallel v_2\) olup olmadığına bakın.
- İki doğruyu farklı parametrelerle (\(\lambda_1\), \(\lambda_2\)) parametrik biçimde yazıp (1) sistemini kurun. İki denklemden \(\lambda_1\) ile \(\lambda_2\)’yi bulun ve üçüncü denklemde deneyin.
- Tek çözüm varsa kesişim noktasını parametreleri yerine yazarak bulun. Çözüm yoksa 1. adımın sonucuna göre “paralel” ya da “aykırı” deyin.
Örnek 11.5 (Kesişen iki doğru) \[ d_1 : \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z}{4} \] ve \[ d_2 : \frac{x-1}{6} = \frac{y}{7} = \frac{z+5}{9} \] doğrularının birbirine göre durumunu belirleyelim; varsa ortak noktalarını bulalım.
Çözüm
\(v_1 = (2, 3, 4)\) ve \(v_2 = (6, 7, 9)\) paralel değildir, çünkü \(\tfrac{6}{2} = 3\) iken \(\tfrac{7}{3} \neq 3\) tür. Doğrular ya kesişir ya da aykırıdır. Parametrik denklemler \[ d_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= -1 + 2\lambda_1 \\ y &= 3 + 3\lambda_1 \\ z &= 4\lambda_1 \end{aligned} \right. \qquad d_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + 6\lambda_2 \\ y &= 7\lambda_2 \\ z &= -5 + 9\lambda_2 \end{aligned} \right. \] dir. (1) sistemi \[ \begin{aligned} -1 + 2\lambda_1 &= 1 + 6\lambda_2, & \text{(i)} \\ 3 + 3\lambda_1 &= 7\lambda_2, & \text{(ii)} \\ 4\lambda_1 &= -5 + 9\lambda_2 & \text{(iii)} \end{aligned} \] olur. (i)’den \(2\lambda_1 = 2 + 6\lambda_2\), yani \(\lambda_1 = 1 + 3\lambda_2\) dir. Bunu (ii)’de yerine yazarsak \[ 3 + 3 + 9\lambda_2 = 7\lambda_2 \implies 2\lambda_2 = -6 \implies \lambda_2 = -3 \] ve \(\lambda_1 = 1 + 3\cdot(-3) = -8\) bulunur. (iii)’de deneyelim: sol taraf \(4\cdot(-8) = -32\), sağ taraf \(-5 + 9\cdot(-3) = -32\). Üçüncü denklem de sağlanır, dolayısıyla \((\lambda_1, \lambda_2) = (-8, -3)\) sistemin tek çözümüdür ve Teorem 11.3 i)’den doğrular kesişir.
Kesişim noktası için \(\lambda_1 = -8\)’i \(d_1\)’in denklemlerine yazalım: \[ x = -1 - 16 = -17, \quad y = 3 - 24 = -21, \quad z = -32. \] Denetim için \(\lambda_2 = -3\)’ü \(d_2\)’ye yazarsak \(x = 1 - 18 = -17\), \(y = -21\), \(z = -5 - 27 = -32\) çıkar. Kesişim noktası \[ K(-17, -21, -32) \] dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.6 (Kesişme için parametre seçimi) \[ d_1 : \frac{x}{2} = \frac{y - 2m}{1} = \frac{z - 1}{1} \] ve \[ d_2 : \frac{x - m}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} \] doğrularının kesişmesi için \(m\) ne olmalıdır?
Çözüm
Kartezyen denklemlerden \(d_1\) için \(P_1(0, 2m, 1)\) ve \(v_1 = (2, 1, 1)\), \(d_2\) için \(P_2(m, 0, 1)\) ve \(v_2 = (1, 2, 1)\) okunur. \(v_1 \nparallel v_2\) olduğundan doğrular her \(m\) için ya kesişir ya da aykırıdır. Parametrik denklemler \[ d_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 2\lambda_1 \\ y &= 2m + \lambda_1 \\ z &= 1 + \lambda_1 \end{aligned} \right. \qquad d_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= m + \lambda_2 \\ y &= 2\lambda_2 \\ z &= 1 + \lambda_2 \end{aligned} \right. \] dir. Bir kesişim noktası için (1) sistemi \[ \begin{aligned} 2\lambda_1 &= m + \lambda_2, & \text{(i)} \\ 2m + \lambda_1 &= 2\lambda_2, & \text{(ii)} \\ 1 + \lambda_1 &= 1 + \lambda_2 & \text{(iii)} \end{aligned} \] olur. (iii)’den \(\lambda_1 = \lambda_2\) dir. Bunu (i)’de kullanırsak \(2\lambda_1 = m + \lambda_1\), yani \(\lambda_1 = \lambda_2 = m\) bulunur. (ii)’de kullanırsak \(2m + \lambda_1 = 2\lambda_1\), yani \(\lambda_1 = \lambda_2 = 2m\) bulunur. İki sonucun birlikte sağlanması için \(m = 2m\), yani \[ m = 0 \] olmalıdır. Bu durumda \(\lambda_1 = \lambda_2 = 0\) dır ve kesişim noktası \(P_1 = P_2 = (0, 0, 1)\)’dir. \(m \neq 0\) için sistemin çözümü yoktur ve doğrular aykırıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.7 (Paralel ve farklı iki doğru) \[ d_1 : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2} \] ve \[ d_2 : \frac{x - 4}{-2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 2}{-4} \] doğrularının birbirine göre durumunu belirleyelim.
Çözüm
\(v_1 = (1, 2, 2)\) ve \(v_2 = (-2, -4, -4) = -2\,v_1\) olduğundan \(v_1 \parallel v_2\) dir. Doğrular ya çakışıktır ya da paralel ve farklıdır. (1) sistemi \[ \begin{aligned} 1 + \lambda_1 &= 4 - 2\lambda_2, & \text{(i)} \\ 2\lambda_1 &= -4\lambda_2, & \text{(ii)} \\ -1 + 2\lambda_1 &= 2 - 4\lambda_2 & \text{(iii)} \end{aligned} \] dir. (ii)’den \(\lambda_1 = -2\lambda_2\) bulunur. Bunu (i)’de yerine yazarsak \[ 1 - 2\lambda_2 = 4 - 2\lambda_2 \implies 1 = 4 \] çelişkisi çıkar. Sistemin çözümü yoktur. Teorem 11.3 iii)’den \(d_1\) ile \(d_2\) paralel ve farklıdır. Aynı sonuca daha kısa yoldan da varılır: \(P_2(4, 0, 2)\) noktası \(d_1\)’in denklemini sağlamaz, çünkü \(\tfrac{4 - 1}{1} = 3\) iken \(\tfrac{0}{2} = 0\) dır.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.8 (Çakışık iki doğru) \[ d_1 : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{3} \] ve \[ d_2 : \frac{x - 5}{-4} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 8}{-6} \] doğrularının birbirine göre durumunu belirleyelim.
Çözüm
\(v_1 = (2, -1, 3)\) ve \(v_2 = (-4, 2, -6) = -2\,v_1\) olduğundan \(v_1 \parallel v_2\) dir. (1) sistemi \[ \begin{aligned} 1 + 2\lambda_1 &= 5 - 4\lambda_2, & \text{(i)} \\ -1 - \lambda_1 &= -3 + 2\lambda_2, & \text{(ii)} \\ 2 + 3\lambda_1 &= 8 - 6\lambda_2 & \text{(iii)} \end{aligned} \] dir. Her denklemi \(\lambda_1\) için çözelim: (i)’den \(2\lambda_1 = 4 - 4\lambda_2\), (ii)’den \(-\lambda_1 = -2 + 2\lambda_2\), (iii)’ten \(3\lambda_1 = 6 - 6\lambda_2\). Üçü de aynı \[ \lambda_1 = 2 - 2\lambda_2 \] denklemine indirgenir. Her \(\lambda_2\) için \(\lambda_1 = 2 - 2\lambda_2\) alınınca sistem sağlanır; sistemin sonsuz çözümü vardır. Teorem 11.3 ii)’den doğrular çakışıktır. Gerçekten \(\lambda_1 = 2\) için \(d_1\)’in noktası \((5, -3, 8) = P_2\) dir; yani \(d_2\), \(d_1\)’in bir noktasından \(d_1\)’e paralel olarak geçen doğrudur.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.9 (Aykırı iki doğru) \[ d_1 : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{2} \] ve \[ d_2 : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{-1} \] doğrularının birbirine göre durumunu belirleyelim.
Çözüm
\(v_1 = (1, -1, 2)\) ve \(v_2 = (2, 1, -1)\) paralel değildir, çünkü \(\tfrac{2}{1} = 2\) iken \(\tfrac{1}{-1} = -1\) dir. Doğrular ya kesişir ya da aykırıdır. (1) sistemi \[ \begin{aligned} 1 + \lambda_1 &= 2\lambda_2, & \text{(i)} \\ 2 - \lambda_1 &= -1 + \lambda_2, & \text{(ii)} \\ 2\lambda_1 &= 3 - \lambda_2 & \text{(iii)} \end{aligned} \] dir. (i) ile (ii)’yi taraf tarafa toplarsak \(\lambda_1\) yok olur: \[ 3 = -1 + 3\lambda_2 \implies \lambda_2 = \tfrac{4}{3}. \] (i)’den \(\lambda_1 = 2\cdot\tfrac{4}{3} - 1 = \tfrac{5}{3}\) bulunur. (iii)’te deneyelim: sol taraf \(2\cdot\tfrac{5}{3} = \tfrac{10}{3}\), sağ taraf \(3 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{5}{3}\). Eşit değildir. İlk iki denklemin tek ortak çözümü üçüncüyü sağlamadığından sistemin çözümü yoktur. Teorem 11.3 iv)’ten \(d_1\) ile \(d_2\) aykırıdır.
\(\blacksquare\)
11.4 İki doğru arasındaki en kısa uzaklık
İki doğru kesişiyorsa aralarındaki uzaklık \(0\)’dır. Paralel doğrular arasındaki uzaklık, birinin herhangi bir noktasının ötekine uzaklığıdır. Aykırı doğrularda ise durum daha ilginçtir: doğruların birbirine en çok yaklaştığı iki nokta vardır ve bu noktaları birleştiren parça iki doğruya birden diktir.
Tanım 11.6 (İki doğru arasındaki en kısa uzaklık) \(X \in d_1\) ve \(Y \in d_2\) olmak üzere \(|XY|\) uzaklıklarının en küçüğüne \(d_1\) ile \(d_2\) doğruları arasındaki en kısa uzaklık denir.
Tanım 11.7 (Ortak dikme) \(N_1 \in d_1\) ve \(N_2 \in d_2\) noktaları için \(\overrightarrow{N_1N_2}\) vektörü hem \(v_1\)’e hem de \(v_2\)’ye dik olsun. \(N_1\) ile \(N_2\)’ye \(d_1\) ile \(d_2\)’nin ortak dikmesinin ayakları denir. \(N_1 \neq N_2\) ise \(N_1\) ile \(N_2\)’den geçen doğruya \(d_1\) ile \(d_2\)’nin ortak dikmesi denir.
Yani ortak dikme, iki doğruyu da dik açıyla kesen doğrudur. Doğrular kesişiyorsa kesişim noktası \(K\) için \(N_1 = N_2 = K\) alınabilir; bu durumda ortak dikme parçası tek bir noktaya iner. Aşağıdaki teorem, doğrultmanları paralel olmayan iki doğru için ortak dikmenin ayaklarının var ve tek olduğunu, en kısa uzaklığın da tam olarak \(|N_1N_2|\) olduğunu gösterir.
Teorem 11.4 (Ortak dikmenin ayakları ve en kısa uzaklık) \(v_1 \nparallel v_2\) olsun. \(u_1\) ve \(u_2\) sırasıyla \(P_1\) ile \(P_2\)’nin konum vektörleri olmak üzere, \(d_1\) ile \(d_2\)’nin ortak dikmesinin ayaklarının konum vektörleri \[ n_1 = u_1 + \lambda_1 v_1, \qquad n_2 = u_2 + \lambda_2 v_2 \tag{2} \] biçimindedir; burada \(\lambda_1\) ile \(\lambda_2\) \[ \left\{ \begin{aligned} \big\langle \overrightarrow{P_1P_2} + \lambda_2 v_2 - \lambda_1 v_1,\; v_1\big\rangle &= 0 \\ \big\langle \overrightarrow{P_1P_2} + \lambda_2 v_2 - \lambda_1 v_1,\; v_2\big\rangle &= 0 \end{aligned} \right. \tag{3} \] sisteminin tek çözümüdür. Dolayısıyla ortak dikmenin ayakları \(N_1\) ve \(N_2\) vardır ve tektir. Ayrıca \(X \in d_1\) ve \(Y \in d_2\) için \[ |XY| \geq |N_1N_2| \] olur ve eşitlik yalnız \(X = N_1\), \(Y = N_2\) iken sağlanır. Yani en kısa uzaklık \(|N_1N_2|\)’dir.
İspat
\(d_1\)’in her noktasının konum vektörü bir \(\lambda_1\) için \(u_1 + \lambda_1 v_1\), \(d_2\)’ninkiler de bir \(\lambda_2\) için \(u_2 + \lambda_2 v_2\) biçimindedir. Bu biçimdeki \(N_1\) ve \(N_2\) noktaları için \[ \overrightarrow{N_1N_2} = n_2 - n_1 = (u_2 - u_1) + \lambda_2 v_2 - \lambda_1 v_1 \] ve \(u_2 - u_1 = \overrightarrow{P_1P_2}\) olduğundan \[ \overrightarrow{N_1N_2} = \overrightarrow{P_1P_2} + \lambda_2 v_2 - \lambda_1 v_1 \tag{4} \] dir. \(\overrightarrow{N_1N_2} \perp v_1\) ve \(\overrightarrow{N_1N_2} \perp v_2\) koşulları iç çarpımla tam olarak (3) sistemidir.
Tek çözüm. (3)’ü iç çarpımın doğrusallığıyla açıp \(\lambda_1\), \(\lambda_2\)’ye göre düzenleyelim: \[ \left\{ \begin{aligned} \|v_1\|^2\,\lambda_1 - \langle v_1, v_2\rangle\,\lambda_2 &= \big\langle \overrightarrow{P_1P_2}, v_1\big\rangle \\ \langle v_1, v_2\rangle\,\lambda_1 - \|v_2\|^2\,\lambda_2 &= \big\langle \overrightarrow{P_1P_2}, v_2\big\rangle \end{aligned} \right. \] Bu doğrusal sistemin katsayılar determinantı \[ \begin{vmatrix} \|v_1\|^2 & -\langle v_1, v_2\rangle \\ \langle v_1, v_2\rangle & -\|v_2\|^2 \end{vmatrix} = -\Big(\|v_1\|^2\|v_2\|^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2\Big) \] dir. Sonuç 9.2 i)’den parantezin içi \(\|v_1 \times v_2\|^2\)’ye eşittir. \(v_1 \nparallel v_2\) olduğundan Önerme 9.3’den \(v_1 \times v_2 \neq 0\) dır, yani determinant sıfırdan farklıdır.
Bu da sistemin tek çözümü olduğunu gösterir. Gerçekten sistemi kısaca \(\alpha\lambda_1 + \beta\lambda_2 = p\), \(\gamma\lambda_1 + \delta\lambda_2 = q\) diye yazalım; determinant \(D = \alpha\delta - \beta\gamma\) olur. Birinci denklemi \(\delta\) ile, ikinciyi \(\beta\) ile çarpıp çıkarırsak \(\lambda_2\) yok olur ve \(D\,\lambda_1 = p\delta - q\beta\) kalır. Birinciyi \(\gamma\) ile, ikinciyi \(\alpha\) ile çarpıp ikincisinden birincisini çıkarırsak \(\lambda_1\) yok olur ve \(D\,\lambda_2 = q\alpha - p\gamma\) kalır. \(D \neq 0\) olduğundan her bilinmeyen tek biçimde bulunur; bulunan değerlerin iki denklemi de sağladığı yerine yazarak görülür. Bu, \(N_1\) ile \(N_2\)’nin var ve tek olduğunu gösterir.
En küçüklük. \(X \in d_1\) ve \(Y \in d_2\) olsun. \(N_1 \in d_1\) ve \(N_2 \in d_2\) olduğundan bazı \(s, t \in \mathbb{R}\) için \(\overrightarrow{N_1X} = s v_1\) ve \(\overrightarrow{N_2Y} = t v_2\) dir. O hâlde \[ \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XN_1} + \overrightarrow{N_1N_2} + \overrightarrow{N_2Y} = \overrightarrow{N_1N_2} + w, \qquad w = t v_2 - s v_1 \] olur. \(\overrightarrow{N_1N_2}\) hem \(v_1\)’e hem \(v_2\)’ye dik olduğundan \(w\)’ye de diktir: \(\big\langle \overrightarrow{N_1N_2}, w\big\rangle = t\cdot 0 - s\cdot 0 = 0\). Buna göre \[ \begin{aligned} |XY|^2 &= \big\langle \overrightarrow{N_1N_2} + w,\; \overrightarrow{N_1N_2} + w\big\rangle \\ &= |N_1N_2|^2 + 2\big\langle \overrightarrow{N_1N_2}, w\big\rangle + \|w\|^2 \\ &= |N_1N_2|^2 + \|w\|^2 \;\geq\; |N_1N_2|^2 \end{aligned} \] dir. Eşitlik ancak \(w = 0\) iken, yani \(t v_2 = s v_1\) iken olur. \(v_1\) ile \(v_2\) lineer bağımsız olduğundan bu, \(s = t = 0\), yani \(X = N_1\) ve \(Y = N_2\) demektir.
\(\blacksquare\)
Ortak dikmenin doğrultusu da bellidir. Uzayda Doğru Denklemleri bölümünde, paralel olmayan \(v_1\) ile \(v_2\)’nin ikisine de dik olan sıfırdan farklı her vektörün \(v_1 \times v_2\)’ye paralel olduğunu gördük. Buna göre \(N_1 \neq N_2\) ise ortak dikmenin doğrultman vektörü olarak \(v_1 \times v_2\) alınabilir. Bu gözlem en kısa uzaklığı ayakları bulmadan hesaplamamızı sağlar.
Teorem 11.5 (En kısa uzaklık formülü) \(v_1 \nparallel v_2\) ise \(d_1\) ile \(d_2\) arasındaki en kısa uzaklık \[ |N_1N_2| = \frac{\big|\big\langle \overrightarrow{P_1P_2},\, v_1 \times v_2\big\rangle\big|}{\|v_1 \times v_2\|} = \frac{\big|\big[v_1, v_2, \overrightarrow{P_1P_2}\big]\big|}{\|v_1 \times v_2\|} \] dir.
İspat
- eşitliğinin iki yanının \(v_1 \times v_2\) ile iç çarpımını alalım. \(v_1 \times v_2\) hem \(v_1\)’e hem \(v_2\)’ye dik olduğundan \(\langle v_1, v_1 \times v_2\rangle = \langle v_2, v_1 \times v_2\rangle = 0\) dır. Bu yüzden \[ \big\langle \overrightarrow{N_1N_2},\, v_1 \times v_2\big\rangle = \big\langle \overrightarrow{P_1P_2},\, v_1 \times v_2\big\rangle \] olur. Öte yandan \(\overrightarrow{N_1N_2}\) hem \(v_1\)’e hem \(v_2\)’ye diktir. \(N_1 = N_2\) değilse, yukarıda andığımız gözlemden \(v_1 \times v_2\)’ye paraleldir. İki paralel vektör arasındaki açı \(0\) ya da \(\pi\) olduğundan kosinüsünün mutlak değeri \(1\)’dir, dolayısıyla \[ \big|\big\langle \overrightarrow{N_1N_2},\, v_1 \times v_2\big\rangle\big| = |N_1N_2|\,\|v_1 \times v_2\| \] dir. \(N_1 = N_2\) ise iki yan da \(0\)’dır ve eşitlik yine doğrudur. İki eşitliği birleştirip \(\|v_1 \times v_2\| \neq 0\) sayısına bölersek birinci formül çıkar. İkinci formül Önerme 9.1’deki \(\big[v_1, v_2, \overrightarrow{P_1P_2}\big] = \big\langle v_1 \times v_2,\, \overrightarrow{P_1P_2}\big\rangle\) eşitliğinden gelir. Son olarak Teorem 11.4’ye göre \(|N_1N_2|\) en kısa uzaklıktır.
\(\blacksquare\)
Yani en kısa uzaklığı bulmak için ayakları hesaplamaya gerek yoktur: iki doğrudan birer nokta alıp birleştiren \(\overrightarrow{P_1P_2}\) vektörünü, ortak dikme doğrultusundaki \(\dfrac{v_1 \times v_2}{\|v_1 \times v_2\|}\) birim vektörü üzerine izdüşürmek yeter. Bu izdüşümün uzunluğu, \(P_1\) ve \(P_2\) doğrular üzerinde nasıl seçilirse seçilsin aynıdır. Formülün payı karma çarpım olduğundan uzaklığın bir hacim yorumu da vardır: \(v_1\), \(v_2\) ve \(\overrightarrow{P_1P_2}\) üzerine kurulan paralelyüzün hacmi, taban alanı \(\|v_1 \times v_2\|\) ile yüksekliğin çarpımıdır ve bu yükseklik tam olarak en kısa uzaklıktır.
Formül bize aykırılık için tek bir sayıya bakan bir ölçüt de verir.
Sonuç 11.1 (Aykırılık ölçütü) \(d_1\) ile \(d_2\) doğrularının aykırı olması için gerek ve yeter koşul \[ \big[v_1, v_2, \overrightarrow{P_1P_2}\big] \neq 0 \] olmasıdır. Buna denk olarak, \(\big[v_1, v_2, \overrightarrow{P_1P_2}\big] = 0\) ise doğrular kesişir ya da paraleldir.
İspat
\(v_1 \parallel v_2\) ise Önerme 9.3’den \(v_1 \times v_2 = 0\) ve karma çarpım \(\big\langle v_1 \times v_2, \overrightarrow{P_1P_2}\big\rangle = 0\) dır. Bu durumda doğrular paraleldir, aykırı değildir; ölçüt doğrudur.
\(v_1 \nparallel v_2\) olsun. Teorem 11.3’dan doğrular ya kesişir ya da aykırıdır. Kesişiyorlarsa \(X = Y = K\) seçimi \(|XY| = 0\) verir, en kısa uzaklık \(0\)’dır. Tersine en kısa uzaklık \(0\) ise Teorem 11.4’den \(N_1 = N_2\) olur ve bu nokta ortaktır. Demek ki doğruların kesişmesi en kısa uzaklığın \(0\) olmasıyla, Teorem 11.5’ten de karma çarpımın \(0\) olmasıyla denktir. Aykırılık bunun değili olduğundan karma çarpımın sıfırdan farklı olmasıyla denktir.
\(\blacksquare\)
- Doğrulardan \(P_1\), \(v_1\), \(P_2\), \(v_2\)’yi okuyun ve \(\overrightarrow{P_1P_2}\)’yi hesaplayın.
- \(\overrightarrow{N_1N_2} = \overrightarrow{P_1P_2} + \lambda_2 v_2 - \lambda_1 v_1\) vektörünü bileşenleriyle yazın.
- Bu vektörün \(v_1\) ve \(v_2\) ile iç çarpımlarını sıfıra eşitleyip (3) sistemini çözün.
- \(\lambda_1\)’i \(d_1\)’e, \(\lambda_2\)’yi \(d_2\)’ye yazarak \(N_1\) ile \(N_2\)’yi bulun. Denetim: \(\overrightarrow{N_1N_2}\), \(v_1 \times v_2\)’ye paralel olmalı ve uzunluğu formüldeki sayıya eşit çıkmalıdır.
Örnek 11.10 (Aykırı iki doğru arasındaki en kısa uzaklık) \[ d_1 : \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 5}{-2} \] ile \[ d_2 : \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z}{-5} \] doğruları arasındaki en kısa uzaklığı bulalım.
Çözüm
Kartezyen denklemlerden \[ P_1(0, 2, -5),\; v_1 = (2, -1, -2), \qquad P_2(-1, 2, 0),\; v_2 = (4, -3, -5) \] okunur. Parametrik denklemler \[ d_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 2\lambda_1 \\ y &= 2 - \lambda_1 \\ z &= -5 - 2\lambda_1 \end{aligned} \right. \qquad d_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= -1 + 4\lambda_2 \\ y &= 2 - 3\lambda_2 \\ z &= -5\lambda_2 \end{aligned} \right. \] dir. Teorem 11.5’i kullanacağız. Önce vektörel çarpım: \[ \begin{aligned} v_1 \times v_2 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 2 & -1 & -2 \\ 4 & -3 & -5 \end{vmatrix} \\ &= \big((-1)(-5) - (-2)(-3)\big) e_1 - \big(2\cdot(-5) - (-2)\cdot 4\big) e_2 \\ &\quad + \big(2\cdot(-3) - (-1)\cdot 4\big) e_3 \\ &= (5 - 6)\,e_1 - (-10 + 8)\,e_2 + (-6 + 4)\,e_3 \\ &= (-1, 2, -2). \end{aligned} \] Sıfırdan farklı olduğundan \(v_1 \nparallel v_2\) dir. Uzunluğu \[ \|v_1 \times v_2\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 \] tür. Ayrıca \[ \overrightarrow{P_1P_2} = (-1 - 0,\; 2 - 2,\; 0 + 5) = (-1, 0, 5) \] ve \[ \begin{aligned} \big\langle v_1 \times v_2,\, \overrightarrow{P_1P_2}\big\rangle &= (-1)(-1) + 2\cdot 0 + (-2)\cdot 5 \\ &= 1 + 0 - 10 = -9 \end{aligned} \] dur. Karma çarpım sıfırdan farklı olduğundan Sonuç 11.1 gereği doğrular aykırıdır. En kısa uzaklık \[ |N_1N_2| = \frac{|-9|}{3} = 3 \] tür.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.11 (Ortak dikmenin ayakları) \[ d_1 : \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 5}{-2} \] ile \[ d_2 : \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z}{-5} \] doğruları arasındaki en kısa uzaklığı veren dikmenin ayaklarını bulalım.
Çözüm
Bir önceki örnekteki gibi \(P_1(0, 2, -5)\), \(v_1 = (2, -1, -2)\), \(P_2(-1, 2, 0)\), \(v_2 = (4, -3, -5)\) ve \(\overrightarrow{P_1P_2} = (-1, 0, 5)\) tir. (4)’ten \[ \begin{aligned} \overrightarrow{N_1N_2} &= (-1, 0, 5) + \lambda_2 (4, -3, -5) - \lambda_1 (2, -1, -2) \\ &= (-1 + 4\lambda_2 - 2\lambda_1,\; -3\lambda_2 + \lambda_1,\; 5 - 5\lambda_2 + 2\lambda_1) \end{aligned} \] dir. Bu vektörün \(v_1\) ile iç çarpımı sıfır olmalıdır: \[ \begin{aligned} &2(-1 + 4\lambda_2 - 2\lambda_1) - (-3\lambda_2 + \lambda_1) \\ &\quad - 2(5 - 5\lambda_2 + 2\lambda_1) = 0. \end{aligned} \] Açarsak \[ -2 + 8\lambda_2 - 4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_1 - 10 + 10\lambda_2 - 4\lambda_1 = 0, \] yani \[ 21\lambda_2 - 9\lambda_1 = 12 \implies 7\lambda_2 - 3\lambda_1 = 4 \qquad (*) \] bulunur. \(v_2\) ile iç çarpımı da sıfır olmalıdır: \[ \begin{aligned} &4(-1 + 4\lambda_2 - 2\lambda_1) - 3(-3\lambda_2 + \lambda_1) \\ &\quad - 5(5 - 5\lambda_2 + 2\lambda_1) = 0. \end{aligned} \] Açarsak \[ -4 + 16\lambda_2 - 8\lambda_1 + 9\lambda_2 - 3\lambda_1 - 25 + 25\lambda_2 - 10\lambda_1 = 0, \] yani \[ 50\lambda_2 - 21\lambda_1 = 29 \qquad (**) \] bulunur. \((*)\)’ı \(7\) ile çarparsak \(49\lambda_2 - 21\lambda_1 = 28\) olur. Bunu \((**)\)’dan çıkarırsak \(\lambda_2 = 1\), sonra \((*)\)’dan \(3\lambda_1 = 7 - 4 = 3\), yani \(\lambda_1 = 1\) bulunur.
Parametreleri (2)’de yerine yazalım: \[ \begin{aligned} n_1 &= (0, 2, -5) + 1\cdot(2, -1, -2) = (2, 1, -7), \\ n_2 &= (-1, 2, 0) + 1\cdot(4, -3, -5) = (3, -1, -5). \end{aligned} \] Ortak dikmenin ayakları \[ N_1(2, 1, -7), \qquad N_2(3, -1, -5) \] tir. Denetim: \(\overrightarrow{N_1N_2} = (1, -2, 2) = -(v_1 \times v_2)\) olup ortak dikme doğrultusundadır ve \(|N_1N_2| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\), Örnek 11.10’taki sonuçla aynıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 11.12 (Karma çarpımla kesişme koşulu) Örnek 11.6’ndeki \[ d_1 : \frac{x}{2} = \frac{y - 2m}{1} = \frac{z - 1}{1}, \qquad d_2 : \frac{x - m}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} \] doğruları için aynı soruyu Sonuç 11.1 ile yanıtlayalım.
Çözüm
\(P_1(0, 2m, 1)\), \(v_1 = (2, 1, 1)\), \(P_2(m, 0, 1)\), \(v_2 = (1, 2, 1)\) dir. \(v_1 \nparallel v_2\) olduğundan doğrular paralel olamaz; Sonuç 11.1’e göre kesişmeleri için gerek ve yeter koşul karma çarpımın sıfır olmasıdır. \[ \overrightarrow{P_1P_2} = (m, -2m, 0) \] ve \[ \begin{aligned} \big[v_1, v_2, \overrightarrow{P_1P_2}\big] &= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ m & -2m & 0 \end{vmatrix} \\ &= m\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - (-2m)\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \\ &= m\,(1 - 2) + 2m\,(2 - 1) = m \end{aligned} \] dir (determinantı üçüncü satıra göre açtık). Karma çarpım ancak \(m = 0\) için sıfırdır. Sonuç Örnek 11.6 ile aynıdır: \(m = 0\) için doğrular kesişir, \(m \neq 0\) için aykırıdır.
\(\blacksquare\)
Doğrultmanları paralel olan doğrularda \(v_1 \times v_2 = 0\) olduğundan en kısa uzaklık formülü kullanılamaz. Bu durumda en kısa uzaklık, bir doğrunun herhangi bir noktasının öbür doğruya uzaklığıdır. Gerçekten bir doğruyu kendine paralel kaydırmak ötekine olan uzaklığı değiştirmez: \(d_1 \parallel d_2\) ise \(d_2\)’nin her noktası \(d_1\)’e aynı uzaklıktadır, çünkü Teorem 11.2’daki \(\big\|v_1 \times \overrightarrow{P_1Y}\big\|\) ifadesi \(Y\), \(d_2\) üzerinde \(v_1\) doğrultusunda kaydıkça değişmez.
Örnek 11.13 (Paralel iki doğru arasındaki uzaklık) Örnek 11.7’deki \[ d_1 : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2}, \qquad d_2 : \frac{x - 4}{-2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 2}{-4} \] paralel doğruları arasındaki en kısa uzaklığı bulalım.
Çözüm
\(d_2\)’nin \(P_2(4, 0, 2)\) noktasının \(d_1\)’e uzaklığını Teorem 11.2 ile hesaplayalım. \(d_1\), \(P_1(1, 0, -1)\) noktasından geçer ve \(v_1 = (1, 2, 2)\) dir. \[ \overrightarrow{P_1P_2} = (3, 0, 3) \] olduğundan \[ \begin{aligned} v_1 \times \overrightarrow{P_1P_2} &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 3 \end{vmatrix} \\ &= (2\cdot 3 - 2\cdot 0)\,e_1 - (1\cdot 3 - 2\cdot 3)\,e_2 + (1\cdot 0 - 2\cdot 3)\,e_3 \\ &= (6, 3, -6) \end{aligned} \] dır. Uzunluklar \[ \big\|v_1 \times \overrightarrow{P_1P_2}\big\| = \sqrt{36 + 9 + 36} = 9, \qquad \|v_1\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \] olduğundan \[ \ell = \frac{9}{3} = 3 \] bulunur. İki doğru arasındaki en kısa uzaklık \(3\)’tür. Önerme 11.1 ile \(P_2\)’den \(d_1\)’e inilen dikmenin ayağı da bulunabilir: \(\big\langle \overrightarrow{P_1P_2}, v_1\big\rangle = 3 + 0 + 6 = 9\), \(\|v_1\|^2 = 9\) olduğundan \(H = P_1 + v_1 = (2, 2, 1)\) ve \(\overrightarrow{HP_2} = (2, -2, 1)\), uzunluğu \(3\)’tür. Paralel doğrularda ortak dikme tek değildir: \(d_1\)’in her noktasından \(d_2\)’ye inilen dikme bir ortak dikmedir.
\(\blacksquare\)
11.5 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalarda bu bölümün bütün araçlarını kullanacağız: açı formülü, ortak nokta sistemi ve en kısa uzaklık ile ortak dikme.
Alıştırma 11.1 (Paralellik için iki parametre) \[ d_1 : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{m} = \frac{z - 3}{4} \] ve \[ d_2 : \frac{x - 2}{6} = \frac{y - 3}{8} = \frac{z + 1}{n} \] doğrularının paralel olması için \(m\) ve \(n\) ne olmalıdır?
Çözüm
Doğrultman vektörleri \(v_1 = (3, m, 4)\) ve \(v_2 = (6, 8, n)\) dir. Tanım gereği \[ d_1 \parallel d_2 \iff v_1 \parallel v_2 \] dir. İki vektörün paralel olması, karşılıklı bileşenlerinin orantılı olması demektir: \[ \frac{3}{6} = \frac{m}{8} = \frac{4}{n}. \] İlk oran \(\tfrac{1}{2}\)’dir. \(\tfrac{m}{8} = \tfrac{1}{2}\)’den \(m = 4\), \(\tfrac{4}{n} = \tfrac{1}{2}\)’den \(n = 8\) bulunur. Bu değerlerle \(v_2 = (6, 8, 8) = 2\,(3, 4, 4) = 2\,v_1\) olur.
Doğrular çakışık da değildir: \(P_1(1, -2, 3)\) ve \(P_2(2, 3, -1)\) için \(\overrightarrow{P_1P_2} = (1, 5, -4)\) vektörü \(v_1 = (3, 4, 4)\)’e paralel değildir (ilk bileşenlerin oranı \(\tfrac{1}{3}\), ikincilerin oranı \(\tfrac{5}{4}\)). Demek ki \(P_2 \notin d_1\) dir ve \(m = 4\), \(n = 8\) için doğrular paralel ve farklıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.2 (Dik iki doğru) \[ d_1 : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 4}{3} \] ile \[ d_2 : \frac{x + 2}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z - 11}{-4} \] doğruları arasındaki açıyı bulunuz.
Çözüm
Doğrultman vektörleri \(v_1 = (1, 4, 3)\) ve \(v_2 = (4, 2, -4)\) tür. İç çarpımları \[ \langle v_1, v_2\rangle = 1\cdot 4 + 4\cdot 2 + 3\cdot(-4) = 4 + 8 - 12 = 0 \] dır. Teorem 11.1’ten \[ \cos\theta = \frac{\langle v_1, v_2\rangle}{\|v_1\|\,\|v_2\|} = 0 \] ve dolayısıyla \[ \theta = \frac{\pi}{2} \] bulunur. \(d_1\) ile \(d_2\) birbirine diktir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.3 (Köklü doğrultman vektörleriyle açı) \[ d_1 : \frac{x - 5}{-\frac{1}{2}} = \frac{y - 3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{z}{\frac{1}{2}} \] ile \[ d_2 : \frac{x + 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z - \frac{20 + 7\sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}}}{-1} \] doğruları arasındaki açıyı bulunuz.
Çözüm
Açı yalnız doğrultman vektörlerine bağlıdır; \(d_2\)’nin karmaşık görünen sabit terimi hesaba girmez. Doğrultman vektörleri \[ v_1 = \left(-\tfrac{1}{2},\; \tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\; \tfrac{1}{2}\right), \qquad v_2 = (-1, 2, -1) \] dir. İç çarpım \[ \begin{aligned} \langle v_1, v_2\rangle &= \left(-\tfrac{1}{2}\right)(-1) + \tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot 2 + \tfrac{1}{2}\cdot(-1) \\ &= \tfrac{1}{2} + \tfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \tfrac{1}{2} = \sqrt{2}\,\sqrt{3} = \sqrt{6} \end{aligned} \] dır (\(\tfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) olduğundan). Uzunluklar \[ \begin{aligned} \|v_1\| &= \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{2}, \\ \|v_2\| &= \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \end{aligned} \] dır. Teorem 11.1’ten \[ \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}\,\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] ve dolayısıyla \[ \theta = \frac{\pi}{4} \] bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.4 (Kesişip kesişmediklerini araştırmak) \[ d_1 : \frac{x - 3}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{4} \] ile \[ d_2 : \frac{x - 1}{5} = \frac{y}{-3} = \frac{z + 4}{-12} \] doğrularının kesişip kesişmediklerini araştırınız.
Çözüm
\(v_1 = (-2, 1, 4)\) ve \(v_2 = (5, -3, -12)\) paralel değildir (\(\tfrac{5}{-2} \neq \tfrac{-3}{1}\)). Doğrular ya kesişir ya da aykırıdır. Parametrik denklemler \[ d_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 2\lambda_1 \\ y &= 1 + \lambda_1 \\ z &= 4\lambda_1 \end{aligned} \right. \qquad d_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + 5\lambda_2 \\ y &= -3\lambda_2 \\ z &= -4 - 12\lambda_2 \end{aligned} \right. \] dir. (1) sistemi \[ \begin{aligned} 3 - 2\lambda_1 &= 1 + 5\lambda_2, & \text{(i)} \\ 1 + \lambda_1 &= -3\lambda_2, & \text{(ii)} \\ 4\lambda_1 &= -4 - 12\lambda_2 & \text{(iii)} \end{aligned} \] olur. (ii)’yi \(2\) ile çarpıp (i)’ye eklersek \(\lambda_1\) yok olur: \[ 3 + 2 = 1 + 5\lambda_2 - 6\lambda_2 \implies 5 = 1 - \lambda_2 \implies \lambda_2 = -4. \] (ii)’den \(1 + \lambda_1 = 12\), yani \(\lambda_1 = 11\) bulunur. (iii)’te deneyelim: sol taraf \(4\cdot 11 = 44\), sağ taraf \(-4 - 12\cdot(-4) = 44\). Üç denklem de sağlanır; \((\lambda_1, \lambda_2) = (11, -4)\) tek çözümdür ve doğrular bir noktada kesişir.
Kesişim noktası için \(\lambda_1 = 11\)’i \(d_1\)’e yazalım: \(x = 3 - 22 = -19\), \(y = 1 + 11 = 12\), \(z = 44\). Denetim olarak \(\lambda_2 = -4\) ile \(d_2\)’den \(x = 1 - 20 = -19\), \(y = 12\), \(z = -4 + 48 = 44\) çıkar. Kesişim noktası \[ K(-19, 12, 44) \] tür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.5 (En kısa uzaklık) \[ d_1 : \frac{x}{2} = \frac{y}{4},\; z = 1 \] ile \[ d_2 : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 5}{4} \] doğruları arasındaki en kısa uzaklığı bulunuz.
Çözüm
\(d_1\)’de \(z\) sabit olduğundan doğrultman vektörünün üçüncü bileşeni \(0\)’dır. Buna göre \[ P_1(0, 0, 1),\; v_1 = (2, 4, 0), \qquad P_2(3, 2, 5),\; v_2 = (2, 2, 4) \] ve parametrik denklemler \[ d_1 : \left\{ \begin{aligned} x &= 2\lambda_1 \\ y &= 4\lambda_1 \\ z &= 1 \end{aligned} \right. \qquad d_2 : \left\{ \begin{aligned} x &= 3 + 2\lambda_2 \\ y &= 2 + 2\lambda_2 \\ z &= 5 + 4\lambda_2 \end{aligned} \right. \] dir. Vektörel çarpım \[ \begin{aligned} v_1 \times v_2 &= \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix} \\ &= (4\cdot 4 - 0\cdot 2)\,e_1 - (2\cdot 4 - 0\cdot 2)\,e_2 + (2\cdot 2 - 4\cdot 2)\,e_3 \\ &= (16, -8, -4) \end{aligned} \] ve uzunluğu \[ \|v_1 \times v_2\| = \sqrt{256 + 64 + 16} = \sqrt{336} = 4\sqrt{21} \] dir. \(\overrightarrow{P_1P_2} = (3, 2, 4)\) olduğundan \[ \begin{aligned} \big\langle v_1 \times v_2,\, \overrightarrow{P_1P_2}\big\rangle &= 16\cdot 3 + (-8)\cdot 2 + (-4)\cdot 4 \\ &= 48 - 16 - 16 = 16 \end{aligned} \] bulunur. Karma çarpım sıfırdan farklı olduğundan doğrular aykırıdır (Sonuç 11.1). Teorem 11.5’ten \[ |N_1N_2| = \frac{16}{4\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}} = \frac{4\sqrt{21}}{21} \] tir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.6 (En kısa uzaklığı veren dikmenin ayakları) \[ d_1 : \frac{x}{2} = \frac{y}{4},\; z = 1 \] ile \[ d_2 : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 5}{4} \] doğruları arasındaki en kısa uzaklığı veren dikmenin ayaklarını bulunuz.
Çözüm
Önceki alıştırmadaki gibi \(P_1(0, 0, 1)\), \(v_1 = (2, 4, 0)\), \(P_2(3, 2, 5)\), \(v_2 = (2, 2, 4)\) ve \(\overrightarrow{P_1P_2} = (3, 2, 4)\) tür. (4)’ten \[ \begin{aligned} \overrightarrow{N_1N_2} &= (3, 2, 4) + \lambda_2 (2, 2, 4) - \lambda_1 (2, 4, 0) \\ &= (3 + 2\lambda_2 - 2\lambda_1,\; 2 + 2\lambda_2 - 4\lambda_1,\; 4 + 4\lambda_2) \end{aligned} \] dir. \(v_1\) ile iç çarpımı sıfır olmalıdır: \[ \begin{aligned} &2(3 + 2\lambda_2 - 2\lambda_1) + 4(2 + 2\lambda_2 - 4\lambda_1) + 0 = 0 \\ &\implies 6 + 4\lambda_2 - 4\lambda_1 + 8 + 8\lambda_2 - 16\lambda_1 = 0 \\ &\implies -20\lambda_1 + 12\lambda_2 = -14 \end{aligned} \] yani \[ 10\lambda_1 - 6\lambda_2 = 7. \qquad (*) \] \(v_2\) ile iç çarpımı da sıfır olmalıdır: \[ \begin{aligned} &2(3 + 2\lambda_2 - 2\lambda_1) + 2(2 + 2\lambda_2 - 4\lambda_1) \\ &\quad + 4(4 + 4\lambda_2) = 0 \\ &\implies 6 + 4\lambda_2 - 4\lambda_1 + 4 + 4\lambda_2 - 8\lambda_1 + 16 + 16\lambda_2 = 0 \\ &\implies -12\lambda_1 + 24\lambda_2 = -26 \end{aligned} \] yani \[ -6\lambda_1 + 12\lambda_2 = -13. \qquad (**) \] \((*)\)’ı \(2\) ile çarpıp \((**)\)’a eklersek \(\lambda_2\) yok olur: \(20\lambda_1 - 6\lambda_1 = 14 - 13\), yani \(14\lambda_1 = 1\) ve \[ \lambda_1 = \frac{1}{14} \] bulunur. \((*)\)’dan \[ 6\lambda_2 = 10\cdot\tfrac{1}{14} - 7 = \tfrac{5}{7} - \tfrac{49}{7} = -\tfrac{44}{7}, \] yani \[ \lambda_2 = -\frac{22}{21} \] dir. Parametreleri (2)’de yerine yazalım: \[ \begin{aligned} n_1 &= (0, 0, 1) + \tfrac{1}{14}(2, 4, 0) = \left(\tfrac{1}{7}, \tfrac{2}{7}, 1\right), \\ n_2 &= (3, 2, 5) - \tfrac{22}{21}(2, 2, 4) \\ &= \left(3 - \tfrac{44}{21},\; 2 - \tfrac{44}{21},\; 5 - \tfrac{88}{21}\right) \\ &= \left(\tfrac{19}{21},\; -\tfrac{2}{21},\; \tfrac{17}{21}\right). \end{aligned} \] Ortak dikmenin ayakları \[ N_1\left(\tfrac{1}{7}, \tfrac{2}{7}, 1\right), \qquad N_2\left(\tfrac{19}{21}, -\tfrac{2}{21}, \tfrac{17}{21}\right) \] dir. Denetim: \[ \overrightarrow{N_1N_2} = \left(\tfrac{16}{21}, -\tfrac{8}{21}, -\tfrac{4}{21}\right) = \tfrac{1}{21}\,(v_1 \times v_2) \] olup ortak dikme doğrultusundadır. Uzunluğu \(\tfrac{1}{21}\cdot 4\sqrt{21} = \tfrac{4\sqrt{21}}{21}\)’dir; önceki alıştırmanın sonucuyla aynıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 11.7 (Ortak dikmenin denklemi) \[ d_1 : \frac{x}{2} = \frac{y}{4},\; z = 1 \] ile \[ d_2 : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 5}{4} \] doğruları arasındaki en kısa uzaklığı veren dikmenin ayaklarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm
Önceki alıştırmada ortak dikmenin ayaklarını \[ N_1\left(\tfrac{1}{7}, \tfrac{2}{7}, 1\right), \qquad N_2\left(\tfrac{19}{21}, -\tfrac{2}{21}, \tfrac{17}{21}\right) \] bulduk. Aranan doğru, bu iki noktadan geçen doğrudur, yani \(d_1\) ile \(d_2\)’nin ortak dikmesidir. Doğrultman vektörü olarak \[ \overrightarrow{N_1N_2} = \left(\tfrac{16}{21}, -\tfrac{8}{21}, -\tfrac{4}{21}\right) = \tfrac{4}{21}\,(4, -2, -1) \] vektörünün sıfırdan farklı bir katı olan \(v = (4, -2, -1)\)’i alabiliriz. Bu seçim, iki doğruya birden dik doğrultmanın \(v_1 \times v_2\)’ye paralel olmasıyla da uyumludur: \[ v_1 \times v_2 = (16, -8, -4) = 4\,(4, -2, -1). \] \(N_1\) noktasından geçen ve doğrultmanı \(v\) olan doğrunun parametrik denklemleri \[ x = \tfrac{1}{7} + 4\lambda, \qquad y = \tfrac{2}{7} - 2\lambda, \qquad z = 1 - \lambda \] ve kartezyen denklemleri \[ \frac{x - \frac{1}{7}}{4} = \frac{y - \frac{2}{7}}{-2} = \frac{z - 1}{-1} \] dir.
Denetleyelim. \(\lambda = \tfrac{4}{21}\) için \(x = \tfrac{3}{21} + \tfrac{16}{21} = \tfrac{19}{21}\), \(y = \tfrac{6}{21} - \tfrac{8}{21} = -\tfrac{2}{21}\), \(z = 1 - \tfrac{4}{21} = \tfrac{17}{21}\) bulunur; doğru \(N_2\)’den de geçer. Ayrıca doğru iki doğruya da diktir: \[ \langle v, v_1\rangle = 4\cdot 2 + (-2)\cdot 4 + (-1)\cdot 0 = 0, \] \[ \langle v, v_2\rangle = 4\cdot 2 + (-2)\cdot 2 + (-1)\cdot 4 = 0. \]
\(\blacksquare\)
Uzayda iki doğrunun birbirine göre bütün durumlarını ve aralarındaki uzaklığı artık hesaplayabiliyoruz. Aykırı doğrular konusunda sezgisel olarak kullandığımız “ortak bir düzlem üzerinde bulunmama” fikri, düzlemin denklemini yazdığımızda kesin bir anlam kazanacak. Bunu bir sonraki bölüm olan Uzayda Düzlem Denklemleri yapacak.