8 İç Çarpım
Vektörleri toplamayı, bir sayıyla çarpmayı ve lineer bağımsızlığı Vektörler bölümünde gördük. Ama bu işlemlerin hiçbiri bize bir vektörün ne kadar uzun olduğunu ya da iki vektörün birbiriyle hangi açıyı yaptığını doğrudan söylemez. Bu bölümde iki vektörden tek bir sayı üreten yeni bir işlem tanımlayacağız: iç çarpım. Bu tek sayı; uzunluğu, açıyı, dikliği ve bir vektörün başka bir vektör üzerindeki gölgesini, yani dik izdüşümünü hesaplamamızı sağlayacak.
Bölüm boyunca \(u = (u_1, u_2, u_3)\) vektörünün uzunluğunu (normunu) \[ \|u\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \] ile gösteriyoruz. Mutlak değer çizgilerini \(|\langle u, v\rangle|\) gibi sayılara ayırarak iki gösterimin karışmasını önlüyoruz.
8.1 İç çarpımın tanımı
İç çarpımın tanımı çok basittir: iki vektörün aynı sıradaki bileşenleri çarpılır ve bu çarpımlar toplanır.
Tanım 8.1 (İç çarpım) \(u = (u_1, u_2, u_3)\) ve \(v = (v_1, v_2, v_3)\), \(\mathbb{R}^3\)’te iki vektör olsun. \[ \begin{aligned} \langle\ ,\ \rangle : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (u, v) &\longmapsto \langle u, v\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \end{aligned} \] biçiminde tanımlanan fonksiyona \(\mathbb{R}^3\) üzerinde iç çarpım fonksiyonu, \(\langle u, v\rangle\) sayısına da \(u\) ile \(v\) vektörlerinin iç çarpımı denir.
Yani iç çarpım iki vektör alır ve bir sayı verir; sonuç bir vektör değildir. Örneğin \(\langle (1, 2, 3), (4, 5, 6)\rangle = 4 + 10 + 18 = 32\) olur.
İlk örneklerimizde aynı dört vektörü kullanacağız.
Örnek 8.1 (Sıfır vektörüyle iç çarpım) \(u = (0, 0, 0)\) ve \(v = (1, 0, 0)\) olsun. \(\langle u, v\rangle\) iç çarpımını hesaplayınız.
Çözüm
Bileşenleri sırayla çarpıp topluyoruz: \[ \langle u, v\rangle = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0. \] Bütün bileşenleri sıfır olduğu için sıfır vektörünün her vektörle iç çarpımı \(0\)’dır.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.2 (Negatif çıkan iç çarpım) \(v = (1, 0, 0)\) ve \(w = \left(-1, 0, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) olsun. \(\langle v, w\rangle\) iç çarpımını hesaplayınız.
Çözüm
\[ \langle v, w\rangle = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -1. \] Görüldüğü gibi iç çarpım negatif de olabilir; bu işaretin geometrik anlamını birazdan göreceğiz.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.3 (Köklü bileşenlerle iç çarpım) \(v = (1, 0, 0)\) ve \(x = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, 1\right)\) olsun. \(\langle v, x\rangle\) iç çarpımını hesaplayınız.
Çözüm
\[ \langle v, x\rangle = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
\(\blacksquare\)
Örnek 8.4 (Sıfır çıkan iç çarpım) \(w = \left(-1, 0, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) ve \(x = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, 1\right)\) olsun. \(\langle w, x\rangle\) iç çarpımını hesaplayınız.
Çözüm
\[ \langle w, x\rangle = (-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0. \] İki vektör de sıfırdan farklı olduğu hâlde iç çarpımları \(0\) çıktı. Bunun “iki vektör birbirine diktir” demek olduğunu açı konusunda göreceğiz.
\(\blacksquare\)
Standart baz vektörlerinin birbiriyle iç çarpımları, bölümün sonunda doğrultman kosinüslerini hesaplarken işimize yarayacak.
Örnek 8.5 (Standart baz vektörlerinin iç çarpımları) \(e_1 = (1, 0, 0)\), \(e_2 = (0, 1, 0)\) ve \(e_3 = (0, 0, 1)\) olsun. \(i, j \in \{1, 2, 3\}\) için \(\langle e_i, e_j\rangle\) değerlerini bulunuz.
Çözüm
Önce bir vektörün kendisiyle iç çarpımına bakalım: \[ \langle e_1, e_1\rangle = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1, \] ve aynı biçimde \(\langle e_2, e_2\rangle = \langle e_3, e_3\rangle = 1\) bulunur.
Farklı iki baz vektöründe ise \(1\)’lerin yeri çakışmaz; her terimde çarpanlardan biri \(0\)’dır: \[ \langle e_1, e_2\rangle = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0, \] ve aynı biçimde \(\langle e_1, e_3\rangle = \langle e_2, e_3\rangle = 0\) olur. İç çarpım simetrik olduğundan (birazdan göreceğiz) sıra değişince sonuç değişmez. Özetle \[ \langle e_i, e_j\rangle = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases} \] Bu, Vektörler bölümünde söylenen “\(\{e_1, e_2, e_3\}\) ortonormal bir bazdır” ifadesinin iç çarpım diliyle yazılışıdır: her baz vektörünün uzunluğu \(1\)’dir ve farklı ikisinin iç çarpımı \(0\)’dır; bunun diklik demek olduğunu birazdan göreceğiz.
\(\blacksquare\)
8.2 İç çarpımın özellikleri
İç çarpımla hesap yaparken sürekli bileşenlere inmek zorunda kalmamak için birkaç temel kurala ihtiyacımız var. Bu kurallar, sıradan sayılarla çarpma yaparken kullandığımız değişme ve dağılma özelliklerine çok benzer.
Önerme 8.1 (İç çarpımın özellikleri) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) ve \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\) olsun. İç çarpım fonksiyonu şu özelliklere sahiptir:
i) Simetri: \(\langle u, v\rangle = \langle v, u\rangle\).
ii) Bilineerlik: \[ \begin{aligned} \langle \lambda_1 u + \lambda_2 v, w\rangle &= \lambda_1 \langle u, w\rangle + \lambda_2 \langle v, w\rangle, \\ \langle u, \lambda_1 v + \lambda_2 w\rangle &= \lambda_1 \langle u, v\rangle + \lambda_2 \langle u, w\rangle. \end{aligned} \]
iii) Pozitif tanımlılık: \(\langle u, u\rangle = \|u\|^2 \geq 0\) ve \(\langle u, u\rangle = 0 \iff u = 0\).
İspat
\(u = (u_1, u_2, u_3)\), \(v = (v_1, v_2, v_3)\), \(w = (w_1, w_2, w_3)\) yazalım.
i) Reel sayılarda çarpma değişmeli olduğundan \[ \langle u, v\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = v_1 u_1 + v_2 u_2 + v_3 u_3 = \langle v, u\rangle. \]
ii) \(\lambda_1 u + \lambda_2 v\) vektörünün \(k\)’inci bileşeni \(\lambda_1 u_k + \lambda_2 v_k\) olduğundan \[ \begin{aligned} \langle \lambda_1 u + \lambda_2 v, w\rangle &= \sum_{k=1}^{3} (\lambda_1 u_k + \lambda_2 v_k)\, w_k \\ &= \lambda_1 \sum_{k=1}^{3} u_k w_k + \lambda_2 \sum_{k=1}^{3} v_k w_k \\ &= \lambda_1 \langle u, w\rangle + \lambda_2 \langle v, w\rangle \end{aligned} \] bulunur; ikinci satırda reel sayılarda dağılma özelliğini kullandık. İkinci eşitlik, birincinin ve simetrinin sonucudur: \[ \begin{aligned} \langle u, \lambda_1 v + \lambda_2 w\rangle &= \langle \lambda_1 v + \lambda_2 w, u\rangle \\ &= \lambda_1 \langle v, u\rangle + \lambda_2 \langle w, u\rangle \\ &= \lambda_1 \langle u, v\rangle + \lambda_2 \langle u, w\rangle. \end{aligned} \]
iii) Tanımdan \[ \langle u, u\rangle = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = \|u\|^2 \] olur. Kareler negatif olmadığından bu toplam \(0\)’dan küçük olamaz. Negatif olmayan üç sayının toplamı ancak üçü birden \(0\) ise \(0\)’dır; yani \(\langle u, u\rangle = 0\) olması \(u_1 = u_2 = u_3 = 0\), başka bir deyişle \(u = 0\) olması demektir. Tersine \(u = 0\) ise \(\langle u, u\rangle = 0\) olduğu açıktır.
\(\blacksquare\)
Yani iç çarpımı sıradan bir çarpma gibi açabiliriz: parantezler dağıtılır, sayılar dışarı alınır, sıra önemsizdir. Örneğin \[ \begin{aligned} \langle u + v, u + v\rangle &= \langle u, u\rangle + \langle u, v\rangle + \langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle \\ &= \|u\|^2 + 2\langle u, v\rangle + \|v\|^2 \end{aligned} \] olur; bu açılımı bölüm boyunca defalarca kullanacağız. Ayrıca iii) özelliğinden her \(\lambda \in \mathbb{R}\) için \[ \|\lambda u\|^2 = \langle \lambda u, \lambda u\rangle = \lambda^2 \langle u, u\rangle, \qquad\text{yani}\qquad \|\lambda u\| = |\lambda|\, \|u\| \] elde ederiz.
8.3 Cauchy–Schwarz ve üçgen eşitsizlikleri
İki vektörün iç çarpımı ne kadar büyük olabilir? Aşağıdaki eşitsizlik, iç çarpımın mutlak değerinin uzunlukların çarpımını hiçbir zaman aşamayacağını söyler. Açıyı tanımlamamızı mümkün kılan da bu eşitsizlik olacak.
Teorem 8.1 (Cauchy–Schwarz eşitsizliği) \(u, v \in \mathbb{R}^3\) olsun. O zaman \[ |\langle u, v\rangle| \leq \|u\|\, \|v\| \] eşitsizliği geçerlidir. Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter koşul, \(u\) ile \(v\) vektörlerinin lineer bağımlı olmasıdır.
İspat
\(u = 0\) durumu. Bu durumda iki taraf da \(0\)’dır ve eşitlik sağlanır. Öte yandan \(1 \cdot u + 0 \cdot v = 0\) sıfırdan farklı katsayılı bir lineer bağıntı olduğundan \(u\) ile \(v\) lineer bağımlıdır. Yani teorem bu durumda doğrudur.
\(u \neq 0\) durumu. Rastgele bir \(\lambda \in \mathbb{R}\) alalım. Pozitif tanımlılıktan ve bilineerlikten \[ \begin{aligned} 0 \leq \|\lambda u + v\|^2 &= \langle \lambda u + v, \lambda u + v\rangle \\ &= \langle \lambda u, \lambda u\rangle + \langle \lambda u, v\rangle + \langle v, \lambda u\rangle + \langle v, v\rangle \\ &= \lambda^2 \langle u, u\rangle + 2\lambda \langle u, v\rangle + \langle v, v\rangle \\ &= \|u\|^2 \lambda^2 + 2\langle u, v\rangle \lambda + \|v\|^2 \end{aligned} \tag{1} \] yazılabilir. Sağ taraf \(\lambda\)’ya göre ikinci dereceden bir polinomdur ve baş katsayısı \(\|u\|^2 > 0\)’dır. Bu polinomun farklı iki reel kökü olsaydı, kökler arasında negatif değer alırdı; oysa (1)’e göre hiçbir \(\lambda\) için negatif değildir. O hâlde diskriminantı pozitif olamaz: \[ \begin{aligned} \Delta = 4\langle u, v\rangle^2 - 4\|u\|^2 \|v\|^2 \leq 0 &\;\Longrightarrow\; \langle u, v\rangle^2 \leq \|u\|^2 \|v\|^2 \\ &\;\Longrightarrow\; |\langle u, v\rangle| \leq \|u\|\, \|v\|. \end{aligned} \] Son adımda iki tarafın da negatif olmayan sayıların karesi olduğunu kullanarak karekök aldık.
Şimdi eşitlik durumunu inceleyelim (\(u \neq 0\) olmaya devam ediyor).
(\(\Longrightarrow\)) \(|\langle u, v\rangle| = \|u\|\,\|v\|\) olsun. O zaman \(\Delta = 0\) olur ve (1)’deki polinomun \[ \lambda_0 = -\frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|^2} \] çift katlı kökü vardır. \(\lambda = \lambda_0\) için (1)’den \(\|\lambda_0 u + v\|^2 = 0\) çıkar; pozitif tanımlılıktan \(\lambda_0 u + v = 0\), yani \(v = -\lambda_0 u\) bulunur. Bu, \(\lambda_0 u + 1 \cdot v = 0\) lineer bağıntısıdır; \(v\)’nin katsayısı \(1 \neq 0\) olduğundan \(u\) ile \(v\) lineer bağımlıdır.
(\(\Longleftarrow\)) \(u\) ile \(v\) lineer bağımlı olsun: hepsi sıfır olmayan \(\alpha, \beta\) için \(\alpha u + \beta v = 0\). Burada \(\beta = 0\) olsaydı \(\alpha \neq 0\) ve \(\alpha u = 0\) olur, bu da \(u = 0\) demek olurdu; o hâlde \(\beta \neq 0\)’dır ve \(\lambda = -\alpha / \beta\) ile \(v = \lambda u\) yazılabilir. Bu durumda \[ \begin{aligned} |\langle u, v\rangle| = |\langle u, \lambda u\rangle| &= |\lambda|\, \|u\|^2 \\ &= \|u\| \cdot \big(|\lambda|\, \|u\|\big) = \|u\|\, \|\lambda u\| = \|u\|\, \|v\| \end{aligned} \] elde edilir.
\(\blacksquare\)
Cauchy–Schwarz eşitsizliğinden, uzunluklar için iki kullanışlı eşitsizlik çıkar. Birincisi, geometrideki “üçgenin bir kenarı diğer iki kenarın toplamından uzun olamaz” kuralının vektör biçimidir.
Sonuç 8.1 (Üçgen eşitsizlikleri) \(u, v \in \mathbb{R}^3\) olsun. O zaman
i) \(\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|\),
ii) \(\big|\, \|u\| - \|v\| \,\big| \leq \|u - v\|\)
eşitsizlikleri geçerlidir.
Birinci eşitsizlikte \(u\), \(v\) ve \(u + v\) bir üçgenin kenarlarıdır: \(u + v\) kenarının uzunluğu, öteki iki kenarın uzunlukları toplamını aşamaz.
İspat
i) İç çarpımın özelliklerinden \[ \begin{aligned} \|u + v\|^2 &= \langle u + v, u + v\rangle \\ &= \langle u, u\rangle + \langle u, v\rangle + \langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle \\ &= \|u\|^2 + 2\langle u, v\rangle + \|v\|^2 \\ &\leq \|u\|^2 + 2|\langle u, v\rangle| + \|v\|^2 \\ &\leq \|u\|^2 + 2\|u\|\,\|v\| + \|v\|^2 \\ &= \big(\|u\| + \|v\|\big)^2 \end{aligned} \] yazılabilir. Dördüncü satırda her sayının mutlak değerinden büyük olamayacağını (\(\langle u, v\rangle \leq |\langle u, v\rangle|\)), beşinci satırda Cauchy–Schwarz eşitsizliğini (Teorem 8.1) kullandık. \(\|u + v\|\) ve \(\|u\| + \|v\|\) negatif olmayan sayılar olduğundan karekök alarak \[ \|u + v\| \leq \|u\| + \|v\| \] elde edilir.
ii) Bu kez \(-\langle u, v\rangle \geq -|\langle u, v\rangle|\) ve (yine Cauchy–Schwarz eşitsizliğinden) \(-|\langle u, v\rangle| \geq -\|u\|\,\|v\|\) olduğunu kullanıyoruz: \[ \begin{aligned} \|u - v\|^2 &= \langle u - v, u - v\rangle \\ &= \langle u, u\rangle - \langle u, v\rangle - \langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle \\ &= \|u\|^2 - 2\langle u, v\rangle + \|v\|^2 \\ &\geq \|u\|^2 - 2|\langle u, v\rangle| + \|v\|^2 \\ &\geq \|u\|^2 - 2\|u\|\,\|v\| + \|v\|^2 \\ &= \big(\|u\| - \|v\|\big)^2. \end{aligned} \] Sağdaki sayı \(\big|\,\|u\| - \|v\|\,\big|^2\)’ye eşittir. \(\|u - v\|\) ve \(\big|\,\|u\| - \|v\|\,\big|\) negatif olmadığından karekök alarak \[ \big|\, \|u\| - \|v\| \,\big| \leq \|u - v\| \] elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.6 (Eşitsizlikleri sayılarla sınamak) \(u = (1, 2, 2)\) ve \(v = (3, 0, 4)\) vektörleri için Cauchy–Schwarz eşitsizliğini ve iki üçgen eşitsizliğini sayılarla doğrulayınız.
Çözüm
Önce gerekli sayıları hesaplayalım: \[ \langle u, v\rangle = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 11, \] \[ \|u\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad \|v\| = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5. \]
Cauchy–Schwarz: \(|\langle u, v\rangle| = 11 \leq 15 = \|u\|\,\|v\|\). Eşitlik yoktur; gerçekten de \(u\) ile \(v\) birbirinin katı değildir (\(v\)’nin ikinci bileşeni \(0\) iken \(u\)’nunki \(2\)’dir).
Üçgen eşitsizliği: \(u + v = (4, 2, 6)\) olduğundan \[ \|u + v\| = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \approx 7{,}48 \] ve bu sayı \(\|u\| + \|v\| = 8\)’den küçüktür.
İkinci eşitsizlik: \(u - v = (-2, 2, -2)\) olduğundan \[ \|u - v\| = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \] ve bu sayı \(\big|\,\|u\| - \|v\|\,\big| = |3 - 5| = 2\)’den büyüktür.
\(\blacksquare\)
8.4 İki vektör arasındaki açı
Düzlem geometrisinden bir üçgenin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki bağı biliyoruz: Kosinüs Teoremi. Şimdi bu teoremi vektörlere uygulayarak açıyı iç çarpımla ifade edeceğiz.
Tanım 8.2 (İki vektör arasındaki açı) \(u, v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) olsun. Bu iki vektörü aynı \(O\) başlangıç noktasından çizelim: \(u = \overrightarrow{OA}\) ve \(v = \overrightarrow{OB}\). \(\widehat{AOB}\) açısının ölçüsüne \(u\) ile \(v\) arasındaki açı denir ve \(\measuredangle(u, v)\) ile gösterilir. Bu açı her zaman \[ 0 \leq \measuredangle(u, v) \leq \pi \] aralığındadır.
Yani iki vektörü “kuyruk kuyruğa” koyup aralarında kalan küçük açıyı ölçüyoruz. Aynı yönlü iki vektör arasındaki açı \(0\), zıt yönlü iki vektör arasındaki açı \(\pi\)’dir. Açının tanımında \(u\) ile \(v\)’nin rolleri simetrik olduğundan \(\measuredangle(u, v) = \measuredangle(v, u)\) olur.
Teorem 8.2 (Açının kosinüsü) \(u, v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ve \(\theta = \measuredangle(u, v)\) olsun. O zaman \[ \cos\theta = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|} \qquad\text{ve dolayısıyla}\qquad \theta = \arccos\left(\frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}\right) \] olur.
İspat
\(u = \overrightarrow{OA}\) ve \(v = \overrightarrow{OB}\) olacak biçimde vektörleri \(O\)’dan çizelim ve \(w = \overrightarrow{AB}\) diyelim. \(O\)’dan \(A\)’ya, oradan da \(B\)’ye gitmek, doğrudan \(O\)’dan \(B\)’ye gitmekle aynıdır: \[ u + w = v, \qquad\text{dolayısıyla}\qquad w = v - u. \]
\(u\) ile \(v\) lineer bağımsız ise \(O\), \(A\), \(B\) bir doğru üzerinde değildir ve \(OAB\) bir üçgendir; bu üçgenin \(O\) köşesindeki açısı \(\theta\)’dır. Kosinüs Teoremi, \(OAB\) üçgeninde \[ |AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2\,|OA|\,|OB| \cos\widehat{AOB} \] olduğunu söyler. Burada \(|OA| = \|u\|\), \(|OB| = \|v\|\), \(|AB| = \|w\|\) ve \(\widehat{AOB} = \theta\) olduğundan \[ \|w\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 - 2\|u\|\,\|v\| \cos\theta \] olur. Öte yandan \(w = v - u\) olduğundan iç çarpımın özellikleriyle \[ \|w\|^2 = \langle v - u, v - u\rangle = \|v\|^2 - 2\langle u, v\rangle + \|u\|^2 \] bulunur. İki ifadeyi eşitlersek \[ \|v\|^2 - 2\langle u, v\rangle + \|u\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 - 2\|u\|\,\|v\| \cos\theta \] elde ederiz. Her iki taraftan \(\|u\|^2 + \|v\|^2\) çıkarılıp \(-2\|u\|\,\|v\| \neq 0\) sayısına bölünürse \[ \cos\theta = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|} \] bulunur.
\(u\) ile \(v\) lineer bağımlı ise üçgen oluşmaz, ama formülü doğrudan sınayabiliriz. İki vektör de sıfırdan farklı olduğundan bir \(\lambda \neq 0\) için \(v = \lambda u\) olur ve \[ \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{\lambda \|u\|^2}{\|u\| \cdot |\lambda|\,\|u\|} = \frac{\lambda}{|\lambda|} \] çıkar. \(\lambda > 0\) ise \(v\), \(u\) ile aynı yönlüdür, \(\theta = 0\) ve oran \(1 = \cos 0\)’dır. \(\lambda < 0\) ise \(v\), \(u\) ile zıt yönlüdür, \(\theta = \pi\) ve oran \(-1 = \cos\pi\)’dir. Formül bu durumda da doğrudur.
Son olarak \(\theta \in [0, \pi]\) ve kosinüs fonksiyonu bu aralıkta birebir olduğundan \(\theta = \arccos\left(\dfrac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}\right)\) yazılabilir.
\(\blacksquare\)
Formülü \(\langle u, v\rangle = \|u\|\,\|v\| \cos\theta\) biçiminde de yazabiliriz. Bu yazılış, Cauchy–Schwarz eşitsizliğine geometrik bir açıklama getirir: \(|\cos\theta| \leq 1\) olduğundan \[ |\langle u, v\rangle| = \|u\|\,\|v\|\,|\cos\theta| \leq \|u\|\,\|v\| \] olur. Tersinden bakarsak Cauchy–Schwarz eşitsizliği, \(\dfrac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}\) oranının her zaman \([-1, 1]\) aralığında kaldığını, yani \(\arccos\)’un her zaman tanımlı olduğunu garanti eder.
Örnek 8.7 (İç çarpımı sıfır olan iki vektörün açısı) \(w = \left(-1, 0, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) ve \(x = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, 1\right)\) vektörleri arasındaki \(\measuredangle(w, x)\) açısını bulunuz.
Çözüm
\(\langle w, x\rangle = 0\) olduğunu daha önce bulmuştuk (bkz. Örnek 8.4). İki vektör de sıfırdan farklı olduğundan (ikisinin de uzunluğu \(\sqrt{1 + \tfrac{1}{2}} = \tfrac{\sqrt{6}}{2}\)’dir) açı formülü \[ \cos\measuredangle(w, x) = \frac{0}{\|w\|\,\|x\|} = 0 \] verir. \([0, \pi]\) aralığında kosinüsü \(0\) olan tek açı \(\tfrac{\pi}{2}\)’dir; dolayısıyla \[ \measuredangle(w, x) = \frac{\pi}{2}. \] İki vektörün de ikinci bileşeni \(0\) olduğundan ikisi de \(XZ\)-düzleminde yatar; bu düzlemde çizildiklerinde dik oldukları açıkça görülür.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.8 (Dar açı yapan iki vektör) \(u = (1, 1, 0)\) ve \(v = (1, 0, 1)\) vektörleri arasındaki açıyı bulunuz.
Çözüm
İç çarpım ve uzunluklar: \[ \langle u, v\rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1, \qquad \|u\| = \|v\| = \sqrt{2}. \] Açı formülünden \[ \cos\measuredangle(u, v) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \measuredangle(u, v) = \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}. \] Bu sonucun geometrik bir anlamı da var: \(u\), \(v\) ve \(v - u = (0, -1, 1)\) vektörlerinin üçünün de uzunluğu \(\sqrt{2}\)’dir. Yani \(u\) ile \(v\)’nin uçları ve başlangıç noktası bir eşkenar üçgenin köşeleridir ve eşkenar üçgenin her açısı \(\tfrac{\pi}{3}\)’tür.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.9 (Geniş açı yapan iki vektör) \(u = (1, 0, 0)\) ve \(v = (-1, 1, 0)\) vektörleri arasındaki açıyı bulunuz.
Çözüm
\[ \langle u, v\rangle = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -1, \qquad \|u\| = 1, \qquad \|v\| = \sqrt{2}. \] Buradan \[ \cos\measuredangle(u, v) = \frac{-1}{1 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \measuredangle(u, v) = \frac{3\pi}{4} \] bulunur. İç çarpım negatif çıktığında açının geniş olduğuna dikkat edin; bu gözlemi bir sonraki kısımda genel olarak kanıtlayacağız.
\(\blacksquare\)
8.5 Diklik ve iç çarpımın işareti
Açı formülünde paydadaki \(\|u\|\,\|v\|\) her zaman pozitiftir; bu yüzden \(\cos\theta\)’nın işaretini tek başına iç çarpım belirler. Böylece iki vektörün dik mi, dar açılı mı, geniş açılı mı olduğunu açıyı hesaplamadan, yalnız iç çarpımın işaretine bakarak söyleyebiliriz.
Tanım 8.3 (Dik vektörler) Sıfırdan farklı \(u, v \in \mathbb{R}^3\) vektörleri için \(\measuredangle(u, v) = \tfrac{\pi}{2}\) ise \(u\) ile \(v\)’ye dik vektörler denir ve \(u \perp v\) yazılır. Ayrıca sıfır vektörünü her vektöre dik kabul ederiz.
Yani iki vektör, aynı noktadan çizildiklerinde aralarında dik açı oluşuyorsa diktir. Sıfır vektörü için yaptığımız anlaşma, aşağıdaki “\(\langle u, v\rangle = 0 \iff u \perp v\)” kuralının istisnasız her vektör için geçerli olmasını sağlar.
Önerme 8.2 (İç çarpımın işareti ve açı) \(u, v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ve \(\theta = \measuredangle(u, v)\) olsun.
i) \(\langle u, v\rangle > 0 \iff \theta \in \left[0, \tfrac{\pi}{2}\right)\), yani açı dardır (ya da \(0\)’dır).
ii) \(\langle u, v\rangle < 0 \iff \theta \in \left(\tfrac{\pi}{2}, \pi\right]\), yani açı geniştir (ya da \(\pi\)’dir).
iii) \(\langle u, v\rangle = 0 \iff \theta = \tfrac{\pi}{2} \iff u \perp v\).
iv) \(|\cos\theta| = 1 \iff \theta \in \{0, \pi\} \iff u\) ile \(v\) lineer bağımlıdır.
Ayrıca sıfır vektörünün her vektörle iç çarpımı \(0\) olduğundan, iii) şıkkı her \(u, v \in \mathbb{R}^3\) için şu biçimde geçerlidir: \[ \langle u, v\rangle = 0 \iff u \perp v. \]
İspat
Açının kosinüsü teoremine (Teorem 8.2) göre \(\langle u, v\rangle = \|u\|\,\|v\| \cos\theta\) ve \(\|u\|\,\|v\| > 0\) olduğundan \(\langle u, v\rangle\) ile \(\cos\theta\) aynı işaretlidir. Kosinüs fonksiyonu \([0, \pi]\) aralığında \(\left[0, \tfrac{\pi}{2}\right)\) üzerinde pozitif, \(\tfrac{\pi}{2}\)’de sıfır, \(\left(\tfrac{\pi}{2}, \pi\right]\) üzerinde negatiftir. Bu üç durum birbirini dışladığı ve \([0, \pi]\)’yi tamamen örttüğü için i), ii) ve iii)’teki denklikler çıkar; iii)’teki son denklik diklik tanımıdır.
- \([0, \pi]\) aralığında \(\cos\theta = 1\) yalnız \(\theta = 0\)’da, \(\cos\theta = -1\) yalnız \(\theta = \pi\)’de olur; bu ilk denkliği verir. Öte yandan \[ |\cos\theta| = 1 \iff |\langle u, v\rangle| = \|u\|\,\|v\| \] olur ve Cauchy–Schwarz eşitsizliğindeki eşitlik durumu (Teorem 8.1) bunun \(u\) ile \(v\)’nin lineer bağımlı olmasına denk olduğunu söyler.
Son olarak \(u = 0\) ya da \(v = 0\) ise hem \(\langle u, v\rangle = 0\) hem de (anlaşmamız gereği) \(u \perp v\) doğrudur; iki vektör de sıfırdan farklıysa denklik iii)’ün kendisidir.
\(\blacksquare\)
Yani iv) şıkkı şunu söyler: sıfırdan farklı iki vektör ancak ve ancak aynı ya da zıt yönlü, yani birbirine paralel olduklarında lineer bağımlıdır ve bu durumda Cauchy–Schwarz eşitsizliği eşitliğe dönüşür.
8.6 Dik izdüşüm
Bir vektörün başka bir vektör doğrultusunda “ne kadar” ilerlediğini ölçmek, fizikte (bir kuvvetin yol boyunca yaptığı iş) ve geometride (bir noktanın doğruya uzaklığı) sık karşımıza çıkar. Bunun aracı dik izdüşümdür: \(v\) vektörünün ucundan \(u\) doğrultusuna bir dikme indirir, dikmenin ayağına kadar olan parçayı alırız.
Tanım 8.4 (Dik izdüşüm) \(u \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ve \(v \in \mathbb{R}^3\) olsun. \(v = \overrightarrow{PQ}\) olacak biçimde vektörü bir \(P\) noktasından çizelim ve \(Q\)’dan, \(P\)’den geçen ve \(u\)’ya paralel olan doğruya dikme indirelim; dikmenin ayağı \(R\) olsun. \(Q\) bu doğrunun üzerindeyse \(R = Q\) alınır. \(\overrightarrow{PR}\) vektörüne \(v\)’nin \(u\) üzerine dik izdüşümü denir ve \(\operatorname{izd}_u(v)\) ile gösterilir.
Yani \(\operatorname{izd}_u(v)\), \(v\)’nin \(u\) doğrultusundaki gölgesidir: \(u\)’ya paraleldir ve \(v\)’den geriye kalan \(\overrightarrow{QR} = \operatorname{izd}_u(v) - v\) parçası \(u\)’ya diktir. Bu iki koşul izdüşümü tamamen belirler.
Teorem 8.3 (Dik izdüşüm formülü) \(u \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ve \(v \in \mathbb{R}^3\) olsun. O zaman \[ \operatorname{izd}_u(v) = \frac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle}\, u \] olur.
İspat
\(\operatorname{izd}_u(v)\) vektörü \(u\) doğrultusundaki doğru üzerinde yattığından bir \(\lambda \in \mathbb{R}\) için \[ \operatorname{izd}_u(v) = \lambda u \] yazılabilir. Şekilde \(P\)’den \(Q\)’ya, oradan \(R\)’ye gitmek \(P\)’den \(R\)’ye gitmekle aynıdır: \[ v + \overrightarrow{QR} = \operatorname{izd}_u(v), \qquad\text{yani}\qquad \overrightarrow{QR} = \operatorname{izd}_u(v) - v. \] \(\overrightarrow{QR}\) dikme olduğundan \(u\)’ya diktir; iç çarpımın işaretine ilişkin önermeye (Önerme 8.2) göre \(\langle \overrightarrow{QR}, u\rangle = 0\) olur. Bilineerliği kullanarak \[ \begin{aligned} \langle \operatorname{izd}_u(v) - v, u\rangle = 0 &\iff \langle \lambda u, u\rangle - \langle v, u\rangle = 0 \\ &\iff \lambda \langle u, u\rangle = \langle u, v\rangle \\ &\iff \lambda = \frac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle} \end{aligned} \] bulunur. Son adımda \(u \neq 0\) olduğundan \(\langle u, u\rangle > 0\) sayısına bölebildik. Bu \(\lambda\) değeri yerine yazılınca formül elde edilir. Denklikler iki yönlü olduğu için \(u\)’ya paralel olup farkı \(u\)’ya dik kılan vektör yalnız budur.
\(\blacksquare\)
Formüldeki katsayıya ayrı bir ad veriyoruz.
Tanım 8.5 (Bir yöndeki bileşen) \(u \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ve \(v \in \mathbb{R}^3\) olsun. \[ \operatorname{bil}_u(v) = \frac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle} = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|^2} \] sayısına \(v\) vektörünün \(u\) yönündeki bileşeni denir.
Yani bileşen, izdüşümün \(u\)’nun kaç katı olduğunu söyleyen sayıdır: \[ \operatorname{izd}_u(v) = \operatorname{bil}_u(v) \cdot u. \] \(v \neq 0\) ve \(\theta = \measuredangle(u, v)\) ise izdüşümün uzunluğu da \[ \|\operatorname{izd}_u(v)\| = \frac{|\langle u, v\rangle|}{\|u\|^2}\, \|u\| = \frac{|\langle u, v\rangle|}{\|u\|} = \|v\|\, |\cos\theta| \] olur. Bu, şekildeki \(PRQ\) dik üçgeninde “komşu dik kenar \(=\) hipotenüs \(\times\) kosinüs” kuralıdır.
Önerme 8.3 (İzdüşümün yönü) \(u \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) ve \(v \in \mathbb{R}^3\) olsun.
i) \(\langle u, v\rangle > 0\) ise \(\operatorname{izd}_u(v)\) ile \(u\) aynı yönlüdür.
ii) \(\langle u, v\rangle < 0\) ise \(\operatorname{izd}_u(v)\) ile \(u\) zıt yönlüdür.
iii) \(\langle u, v\rangle = 0\) ise \(\operatorname{izd}_u(v) = 0\)’dır.
İspat
\(\operatorname{izd}_u(v) = \operatorname{bil}_u(v) \cdot u\) ve \(\operatorname{bil}_u(v) = \dfrac{\langle u, v\rangle}{\|u\|^2}\)’dir. Payda pozitif olduğundan \(\operatorname{bil}_u(v)\) sayısı \(\langle u, v\rangle\) ile aynı işaretlidir. Bir vektörü pozitif bir sayıyla çarpmak yönünü korur, negatif bir sayıyla çarpmak yönünü tersine çevirir, \(0\) ile çarpmak sıfır vektörünü verir. Üç şık buradan çıkar.
\(\blacksquare\)
İzdüşüm hesabı her seferinde aynı üç adımdan oluşur.
- \(\langle u, v\rangle\) iç çarpımını hesapla. Sonuç \(0\) ise izdüşüm sıfır vektörüdür; dur.
- \(\langle u, u\rangle = \|u\|^2\) sayısını hesapla ve \(\operatorname{bil}_u(v) = \dfrac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle}\) oranını sadeleştir.
- \(\operatorname{izd}_u(v) = \operatorname{bil}_u(v) \cdot u\) vektörünü bileşen bileşen yaz. İstersen \(v - \operatorname{izd}_u(v)\) farkının \(u\) ile iç çarpımının \(0\) çıktığını sınayarak sonucu denetle.
Örnek 8.10 (Dik iki vektörde izdüşüm) \(v = (1, 3, 1)\) vektörünün \(u = (-1, 1, -2)\) vektörü üzerine dik izdüşümünü bulunuz.
Çözüm
İlk adımda iç çarpımı hesaplıyoruz: \[ \langle u, v\rangle = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = -1 + 3 - 2 = 0. \] Buradan \(\operatorname{bil}_u(v) = 0\) ve dolayısıyla \[ \operatorname{izd}_u(v) = 0 \cdot u = (0, 0, 0) \] bulunur. \(\langle u, v\rangle = 0\) olduğu için \(v\), \(u\)’ya diktir; ucundan \(u\) doğrultusuna indirilen dikmenin ayağı başlangıç noktasının kendisidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.11 (Zıt yönlü izdüşüm) \(v = (-4, 1, 2)\) vektörünün \(u = (2, -1, 3)\) vektörü üzerine dik izdüşümünü bulunuz.
Çözüm
İç çarpım: \[ \langle u, v\rangle = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = -8 - 1 + 6 = -3 < 0. \] \(u\)’nun uzunluğunun karesi: \[ \|u\|^2 = \langle u, u\rangle = 4 + 1 + 9 = 14. \] Buradan \[ \operatorname{bil}_u(v) = -\frac{3}{14} \] ve \[ \operatorname{izd}_u(v) = -\frac{3}{14}\,(2, -1, 3) = \left(-\frac{3}{7}, \frac{3}{14}, -\frac{9}{14}\right) \] elde edilir. \(\langle u, v\rangle < 0\) olduğundan izdüşüm \(u\) ile zıt yönlüdür (Önerme 8.3). Sağlama: \(v - \operatorname{izd}_u(v) = \left(-\tfrac{25}{7}, \tfrac{11}{14}, \tfrac{37}{14}\right)\) ve \[ \left\langle \left(-\tfrac{25}{7}, \tfrac{11}{14}, \tfrac{37}{14}\right), (2, -1, 3)\right\rangle = \frac{-100 - 11 + 111}{14} = 0. \]
\(\blacksquare\)
Örnek 8.12 (Aynı yönlü izdüşüm) \(v = (1, -2, 1)\) vektörünün \(u = (2, -1, 3)\) vektörü üzerine dik izdüşümünü bulunuz.
Çözüm
İç çarpım: \[ \langle u, v\rangle = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 2 + 2 + 3 = 7 > 0. \] \(u\)’nun uzunluğunun karesi yine \[ \|u\|^2 = \langle u, u\rangle = 4 + 1 + 9 = 14 \] olduğundan \[ \operatorname{bil}_u(v) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] ve \[ \operatorname{izd}_u(v) = \frac{1}{2}\,(2, -1, 3) = \left(1, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) \] elde edilir. İç çarpım pozitif olduğundan izdüşüm \(u\) ile aynı yönlüdür; hatta tam olarak \(u\)’nun yarısıdır. Sağlama: \(v - \operatorname{izd}_u(v) = \left(0, -\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}\right)\) ve bunun \(u\) ile iç çarpımı \(0 + \tfrac{3}{2} - \tfrac{3}{2} = 0\)’dır.
\(\blacksquare\)
8.7 Doğrultu açıları ve doğrultman kosinüsleri
Bir vektörün uzaydaki doğrultusunu anlatmanın doğal bir yolu, onun üç koordinat ekseniyle yaptığı açıları vermektir. İç çarpım bu açıların kosinüslerini hiç zahmetsiz hesaplatır.
Tanım 8.6 (Doğrultu açıları ve doğrultman kosinüsleri) \(u \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) vektörünün \(X\)-, \(Y\)- ve \(Z\)-eksenlerinin pozitif yönleriyle, yani \(e_1\), \(e_2\) ve \(e_3\) ile yaptığı açılar sırasıyla \[ \theta_1 = \measuredangle(u, e_1), \qquad \theta_2 = \measuredangle(u, e_2), \qquad \theta_3 = \measuredangle(u, e_3) \] olsun. Bu açılara \(u\) vektörünün doğrultu açıları, bu açıların kosinüsleri olan \(\cos\theta_1\), \(\cos\theta_2\), \(\cos\theta_3\) sayılarına da \(u\)’nun doğrultman kosinüsleri denir.
Yani doğrultu açıları, vektörün her bir koordinat ekseninin pozitif ucuna ne kadar “eğik” durduğunu ölçer. Tanımdaki üç açı bağımsız değildir; aşağıdaki teorem aralarında her zaman sağlanan bir bağıntı verir.
Teorem 8.4 (Doğrultman kosinüslerinin formülü) \(u = (u_1, u_2, u_3) \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) vektörünün doğrultu açıları \(\theta_1\), \(\theta_2\), \(\theta_3\) ise \[ \cos\theta_i = \frac{u_i}{\|u\|} \quad (i = 1, 2, 3) \qquad\text{ve}\qquad \cos^2\theta_1 + \cos^2\theta_2 + \cos^2\theta_3 = 1 \] olur.
İspat
\(u = u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3\) yazıp bilineerliği ve standart baz vektörlerinin iç çarpımlarını (Örnek 8.5) kullanalım: \[ \begin{aligned} \langle u, e_1\rangle &= \langle u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3, e_1\rangle \\ &= u_1 \underbrace{\langle e_1, e_1\rangle}_{=1} + u_2 \underbrace{\langle e_2, e_1\rangle}_{=0} + u_3 \underbrace{\langle e_3, e_1\rangle}_{=0} \\ &= u_1. \end{aligned} \] Aynı hesap \(e_2\) için \(\langle u, e_2\rangle = u_2\), \(e_3\) için \(\langle u, e_3\rangle = u_3\) verir: \(e_i\) ile iç çarpım, \(u\)’nun \(i\)’nci bileşenini “seçer”. \(\|e_i\| = 1\) olduğundan açı formülü (Teorem 8.2) \[ \cos\theta_i = \frac{\langle u, e_i\rangle}{\|u\|\,\|e_i\|} = \frac{u_i}{\|u\|} \qquad (i = 1, 2, 3) \] verir. Kareleri toplarsak \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{3} \cos^2\theta_i &= \frac{u_1^2}{\|u\|^2} + \frac{u_2^2}{\|u\|^2} + \frac{u_3^2}{\|u\|^2} \\ &= \frac{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}{\|u\|^2} = \frac{\|u\|^2}{\|u\|^2} = 1 \end{aligned} \] bulunur.
\(\blacksquare\)
Teoremin ilk kısmı, bir vektörü kendi uzunluğuna böldüğümüzde ortaya çıkan vektörün bileşenlerinin tam olarak doğrultman kosinüsleri olduğunu söyler.
Sonuç 8.2 (Birim vektör ve doğrultman kosinüsleri) \(u \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}\) vektörünün doğrultu açıları \(\theta_1\), \(\theta_2\), \(\theta_3\) olsun. \(u\) yönündeki birim vektör \[ u_0 = \frac{u}{\|u\|} = (\cos\theta_1, \cos\theta_2, \cos\theta_3) \] dır. Yani \(u\) yönündeki birim vektörün koordinatları, \(u\)’nun doğrultman kosinüsleridir.
İspat
Doğrultman kosinüslerinin formülünden (Teorem 8.4) \[ u_0 = \frac{u}{\|u\|} = \left(\frac{u_1}{\|u\|}, \frac{u_2}{\|u\|}, \frac{u_3}{\|u\|}\right) = (\cos\theta_1, \cos\theta_2, \cos\theta_3) \] olur. Bu vektör \(u\)’nun pozitif bir katı olduğundan \(u\) ile aynı yönlüdür ve aynı teoremdeki kareler toplamı bağıntısından \[ \|u_0\|^2 = \cos^2\theta_1 + \cos^2\theta_2 + \cos^2\theta_3 = 1 \] bulunur; yani \(u_0\) gerçekten birim vektördür.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.13 (Doğrultman kosinüslerinin hesabı) \(u = (2, -1, 2)\) vektörünün doğrultman kosinüslerini ve doğrultu açılarını bulunuz; \(u\) yönündeki birim vektörü yazınız.
Çözüm
Önce uzunluk: \[ \|u\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3. \] Doğrultman kosinüslerinin formülünden (Teorem 8.4) \[ \cos\theta_1 = \frac{2}{3}, \qquad \cos\theta_2 = -\frac{1}{3}, \qquad \cos\theta_3 = \frac{2}{3} \] bulunur. Sağlama: \(\tfrac{4}{9} + \tfrac{1}{9} + \tfrac{4}{9} = 1\). Doğrultu açıları \[ \theta_1 = \theta_3 = \arccos\frac{2}{3} \approx 48{,}19^\circ, \qquad \theta_2 = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109{,}47^\circ \] dir. \(\cos\theta_2 < 0\) olduğundan \(u\), \(Y\)-ekseninin pozitif yönüyle geniş açı yapar; bunun nedeni ikinci bileşenin negatif olmasıdır. Buna göre (Sonuç 8.2) \(u\) yönündeki birim vektör \[ u_0 = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \] dır.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.14 (Eksenlerle eşit açı yapan vektör) Üç koordinat ekseninin pozitif yönleriyle eşit dar açılar yapan birim vektörü ve bu açıyı bulunuz.
Çözüm
Açıların üçü de \(\theta\) olsun. Kareler toplamı bağıntısından \[ 3\cos^2\theta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} \] bulunur. Açı dar olduğundan kosinüs pozitiftir: \(\cos\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\) ve \[ \theta = \arccos\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 54{,}74^\circ. \] Aranan birim vektör, Sonuç 8.2 gereğince koordinatları bu kosinüsler olan vektördür: \[ u_0 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right). \] Bu, \((1, 1, 1)\) vektörünün, yani birim küpün köşegeninin doğrultusudur.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.15 (İki doğrultu açısı verilince üçüncüsü) Bir \(u\) vektörü \(X\)- ve \(Y\)-eksenlerinin pozitif yönleriyle \(\tfrac{\pi}{3}\)’er radyanlık açı yapıyor. \(u\)’nun \(Z\)-ekseniyle yaptığı açı ne olabilir? \(u\) yönündeki birim vektörü bulunuz.
Çözüm
\(\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}\) olduğundan kareler toplamı bağıntısı \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2\theta_3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\theta_3 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta_3 = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \] verir. \([0, \pi]\) aralığında bunun iki çözümü vardır: \[ \theta_3 = \frac{\pi}{4} \qquad\text{ya da}\qquad \theta_3 = \frac{3\pi}{4}. \] Buna karşılık gelen birim vektörler \[ u_0 = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \qquad\text{ya da}\qquad u_0 = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] dır. Birincisi \(XY\)-düzleminin üstünde, ikincisi altında kalır; ikisi bu düzleme göre birbirinin simetriğidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 8.16 (Olamayacak doğrultu açıları) \(X\)- ve \(Y\)-eksenlerinin pozitif yönleriyle \(\tfrac{\pi}{6}\)’şar radyanlık açı yapan bir vektör var mıdır?
Çözüm
Böyle bir vektör olsaydı \(\cos\theta_1 = \cos\theta_2 = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) olurdu ve kareler toplamı bağıntısından \[ \cos^2\theta_3 = 1 - \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \] çıkardı. Bir reel sayının karesi negatif olamayacağından bu imkânsızdır; böyle bir vektör yoktur. Sezgisel olarak: bir vektör \(X\)-eksenine \(30^\circ\) kadar yakınsa, ondan \(90^\circ\) uzaktaki \(Y\)-eksenine de \(30^\circ\) kadar yakın olamaz.
\(\blacksquare\)
8.8 Alıştırmalar
Aşağıdaki alıştırmalar iç çarpımın cebirsel özelliklerini, açı ve diklik ölçütünü ve izdüşüm formülünü birlikte kullanır.
Alıştırma 8.1 (Dik üçgenin kenar vektörleri) \(u = (2, -1, 1)\), \(v = (1, -3, -5)\) ve \(w = (3, -4, -4)\) vektörlerinin bir dik üçgenin kenarlarını oluşturabileceğini gösteriniz.
Çözüm
Bir \(ABC\) üçgeninde \(\overrightarrow{AB}\) kenarı \(u\) ile, \(\overrightarrow{BC}\) kenarı \(v\) ile, \(\overrightarrow{AC}\) kenarı \(w\) ile temsil edilsin. Bunun mümkün olması için önce \(A\)’dan \(B\)’ye, oradan \(C\)’ye gitmenin \(A\)’dan \(C\)’ye gitmekle aynı olması, yani \(u + v = w\) olması gerekir. Gerçekten \[ (2, -1, 1) + (1, -3, -5) = (3, -4, -4) = w. \] Şimdi \(B\) köşesindeki açıya bakalım: \[ \langle u, v\rangle = 2 \cdot 1 + (-1)(-3) + 1 \cdot (-5) = 2 + 3 - 5 = 0. \] \(u\) ve \(v\) sıfırdan farklı olduğundan \(u \perp v\)’dir (Önerme 8.2). Sıfırdan farklı iki dik vektör paralel olamaz; dolayısıyla \(A\), \(B\), \(C\) bir doğru üzerinde değildir ve gerçekten bir üçgen oluşur. \(AB\) ve \(BC\) kenarları dik olduğundan bu üçgen, dik açısı \(B\)’de olan bir dik üçgendir.
Sağlama olarak Pisagor bağıntısını görelim: \(\|u\|^2 = 6\), \(\|v\|^2 = 35\), \(\|w\|^2 = 41\) ve gerçekten \(6 + 35 = 41\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.2 (Toplamı sıfır olan üç birim vektör) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) için \(u + v + w = 0\) ve \(\langle u, u\rangle = \langle v, v\rangle = \langle w, w\rangle = 1\) olsun. \(\langle u, v\rangle\) değerini bulunuz.
Çözüm
\(u + v + w = 0\) eşitliğinden \(w = -(u + v)\) yazılabilir. Bunu \(\langle w, w\rangle = 1\) koşulunda yerine koyalım: \[ \begin{aligned} 1 = \langle w, w\rangle &= \langle -(u + v), -(u + v)\rangle = \langle u + v, u + v\rangle \\ &= \langle u, u\rangle + 2\langle u, v\rangle + \langle v, v\rangle \\ &= 1 + 2\langle u, v\rangle + 1. \end{aligned} \] İlk satırda bilineerlikle iki \((-1)\) çarpanını dışarı aldık (\((-1)^2 = 1\)). Buradan \(2\langle u, v\rangle = -1\), yani \[ \langle u, v\rangle = -\frac{1}{2} \] bulunur.
Geometrik anlamı: \(u\) ile \(v\) birim vektör olduğundan \(\cos\measuredangle(u, v) = -\tfrac{1}{2}\) ve \(\measuredangle(u, v) = \tfrac{2\pi}{3}\)’tür. Aynı hesap her çift için yapılabilir; üç birim vektör ikişer ikişer \(120^\circ\)’lik açılar yapar. Uç uca eklendiklerinde başladıkları noktaya dönerler ve kenar uzunluğu \(1\) olan bir eşkenar üçgen oluştururlar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.3 (Paralelkenar kuralı) Her \(u, v \in \mathbb{R}^3\) için \[ \|u + v\|^2 + \|u - v\|^2 = 2\big(\|u\|^2 + \|v\|^2\big) \] olduğunu gösteriniz.
Çözüm
İki kareyi ayrı ayrı iç çarpım olarak açalım: \[ \begin{aligned} \|u + v\|^2 &= \langle u, u\rangle + \langle u, v\rangle + \langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle, \\ \|u - v\|^2 &= \langle u, u\rangle - \langle u, v\rangle - \langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle. \end{aligned} \] Taraf tarafa toplayınca karma terimler birbirini götürür: \[ \begin{aligned} \|u + v\|^2 + \|u - v\|^2 &= 2\langle u, u\rangle + 2\langle v, v\rangle \\ &= 2\|u\|^2 + 2\|v\|^2 = 2\big(\|u\|^2 + \|v\|^2\big). \end{aligned} \]
Adının kaynağı şudur: kenarları \(u\) ve \(v\) olan bir paralelkenarın köşegenleri \(u + v\) ve \(u - v\)’dir. Kural, köşegenlerin karelerinin toplamının dört kenarın karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler (karşılıklı kenarlar eşit olduğundan dört kenarın kareleri toplamı \(2\|u\|^2 + 2\|v\|^2\)’dir). Örneğin \(u = (4, 0, 0)\) ve \(v = (1, 2, 0)\) için \(\|u + v\|^2 = 29\), \(\|u - v\|^2 = 13\) ve \(29 + 13 = 42 = 2(16 + 5)\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.4 (Polarizasyon özdeşliği) Her \(u, v \in \mathbb{R}^3\) için \[ \langle u, v\rangle = \frac{\|u + v\|^2 - \|u - v\|^2}{4} \] olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Bir önceki alıştırmadaki açılımları bu kez birbirinden çıkaralım: \[ \begin{aligned} \|u + v\|^2 - \|u - v\|^2 &= \langle u, u\rangle + \langle u, v\rangle + \langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle \\ &\quad - \big(\langle u, u\rangle - \langle u, v\rangle - \langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle\big) \\ &= 2\langle u, v\rangle + 2\langle v, u\rangle \\ &= 4\langle u, v\rangle. \end{aligned} \] Son adımda simetriyi kullandık. İki tarafı \(4\)’e bölünce özdeşlik elde edilir.
Yani iç çarpım, yalnız uzunluklar bilinerek geri elde edilebilir: \(u + v\) ve \(u - v\) vektörlerinin uzunluklarını bilmek, \(\langle u, v\rangle\)’yi bilmek için yeter.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.5 (Köşegenleri eşit paralelkenar) Her \(u, v \in \mathbb{R}^3\) için \[ \|u + v\| = \|u - v\| \iff \langle u, v\rangle = 0 \] olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Uzunluklar negatif olmadığından iki uzunluğun eşit olması, karelerinin eşit olmasına denktir. Kareleri açarak \[ \begin{aligned} \|u + v\| = \|u - v\| &\iff \langle u + v, u + v\rangle = \langle u - v, u - v\rangle \\ &\iff \|u\|^2 + 2\langle u, v\rangle + \|v\|^2 = \|u\|^2 - 2\langle u, v\rangle + \|v\|^2 \\ &\iff 4\langle u, v\rangle = 0 \\ &\iff \langle u, v\rangle = 0 \end{aligned} \] bulunur. Her adım iki yönlüdür: ikinci satırdan üçüncüye geçerken iki taraftan aynı terimleri çıkardık, bu işlem geri alınabilir.
Geometrik anlamı: kenarları \(u\) ve \(v\) olan paralelkenarın köşegenleri ancak ve ancak kenarlar birbirine dik olduğunda, yani paralelkenar bir dikdörtgen olduğunda eşit uzunluktadır. Örneğin \(u = (3, 0, 0)\) ve \(v = (0, 2, 0)\) için iki köşegenin uzunluğu da \(\sqrt{13}\)’tür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.6 (Farkların arasındaki eşit açılar) \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\) birbirinden farklı vektörler olsun ve \[ \langle u, u\rangle = \langle v, v\rangle = \langle w, w\rangle, \qquad \langle u, w\rangle = \langle w, v\rangle = \langle u, v\rangle \] eşitlikleri sağlansın. \(u - v\), \(v - w\) ve \(w - u\) vektörlerinin ikişer ikişer aralarındaki açıların eşit ve \(\tfrac{2\pi}{3}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kısaltma için ortak değerlere ad verelim: \[ a = \langle u, u\rangle = \langle v, v\rangle = \langle w, w\rangle, \qquad b = \langle u, v\rangle = \langle v, w\rangle = \langle w, u\rangle. \] (Simetriden \(\langle w, v\rangle = \langle v, w\rangle\) ve \(\langle u, w\rangle = \langle w, u\rangle\) olduğunu kullandık.)
Uzunluklar. Üç farkın uzunluk kareleri aynıdır: \[ \begin{aligned} \|u - v\|^2 &= \langle u, u\rangle - 2\langle u, v\rangle + \langle v, v\rangle = 2a - 2b, \\ \|v - w\|^2 &= \langle v, v\rangle - 2\langle v, w\rangle + \langle w, w\rangle = 2a - 2b, \\ \|w - u\|^2 &= \langle w, w\rangle - 2\langle w, u\rangle + \langle u, u\rangle = 2a - 2b. \end{aligned} \] \(u \neq v\) olduğundan \(\|u - v\|^2 > 0\), yani \(a - b > 0\)’dır. Demek ki üç fark da sıfırdan farklıdır ve aralarındaki açılar tanımlıdır.
İç çarpımlar. Bilineerlikle açarsak \[ \begin{aligned} \langle u - v, v - w\rangle &= \langle u, v\rangle - \langle u, w\rangle - \langle v, v\rangle + \langle v, w\rangle \\ &= b - b - a + b = b - a, \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \langle v - w, w - u\rangle &= \langle v, w\rangle - \langle v, u\rangle - \langle w, w\rangle + \langle w, u\rangle \\ &= b - b - a + b = b - a, \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \langle w - u, u - v\rangle &= \langle w, u\rangle - \langle w, v\rangle - \langle u, u\rangle + \langle u, v\rangle \\ &= b - b - a + b = b - a \end{aligned} \] bulunur.
Açılar. \(\theta = \measuredangle(u - v, v - w)\) olsun. Açı formülünden \[ \cos\theta = \frac{\langle u - v, v - w\rangle}{\|u - v\|\,\|v - w\|} = \frac{b - a}{2(a - b)} = -\frac{1}{2} \] ve dolayısıyla \(\theta = \tfrac{2\pi}{3}\) elde edilir. Diğer iki çiftte pay yine \(b - a\), paydadaki uzunlukların çarpımı yine \(2(a - b)\) olduğundan \(\gamma = \measuredangle(v - w, w - u)\) ve \(\alpha = \measuredangle(w - u, u - v)\) için de \[ \cos\gamma = \cos\alpha = -\frac{1}{2}, \qquad \gamma = \alpha = \frac{2\pi}{3} \] bulunur. Böylece üç açı eşittir ve \(\tfrac{2\pi}{3}\)’tür.
Geometrik anlamı: \(u\), \(v\), \(w\) vektörlerinin uçları \(U\), \(V\), \(W\) olsun. Uzunluk hesabı \(|UV| = |VW| = |WU|\) olduğunu, yani \(UVW\)’nin eşkenar üçgen olduğunu gösterir. \(u - v = \overrightarrow{VU}\), \(w - u = \overrightarrow{UW}\), \(v - w = \overrightarrow{WV}\) vektörleri bu üçgenin kenarlarını sırayla dolaşır; ardışık iki kenar vektörü arasındaki açı, eşkenar üçgenin dış açısı olan \(\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\)’tür. Örneğin \(u = e_1\), \(v = e_2\), \(w = e_3\) koşulları sağlar (\(a = 1\), \(b = 0\)).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.7 (Eşit uzunluklu vektörlerin toplamı ve farkı) \(\|u\| = \|v\|\) olacak biçimde seçilen her \(u, v \in \mathbb{R}^3\) çifti için \(u - v\) vektörünün \(u + v\) vektörüne dik olduğunu gösteriniz.
Çözüm
İki vektörün iç çarpımını bilineerlikle açalım: \[ \begin{aligned} \langle u - v, u + v\rangle &= \langle u, u\rangle + \langle u, v\rangle - \langle v, u\rangle - \langle v, v\rangle \\ &= \|u\|^2 - \|v\|^2. \end{aligned} \] Simetriden \(\langle u, v\rangle - \langle v, u\rangle = 0\) olduğu için karma terimler gitti. \(\|u\| = \|v\|\) olduğundan sonuç \(0\)’dır; dolayısıyla \(u - v \perp u + v\) bulunur (Önerme 8.2). (Bu hesap tersini de gösterir: \(u - v \perp u + v\) ise \(\|u\|^2 = \|v\|^2\), yani \(\|u\| = \|v\|\) olur.)
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.8 (Eşkenar dörtgenin köşegenleri) Eşit uzunluklu iki vektörün toplamı ile farkının dik olduğunu söyleyen sonucu (Alıştırma 8.7) \(\mathbb{R}^2\)’de geometrik olarak yorumlayınız.
Çözüm
Düzlemdeki vektörleri \(XY\)-düzleminde yatan \((u_1, u_2, 0)\) biçimindeki uzay vektörleri olarak düşünürsek iç çarpım, uzunluk ve diklik aynen geçerlidir ve bir önceki alıştırma düzlemde de doğrudur.
\(u\) ve \(v\)’yi aynı \(O\) noktasından çizip üzerlerine bir paralelkenar kuralım. Bu paralelkenarın köşegenleri \(u + v\) (O’dan karşı köşeye) ve \(u - v\)’dir (bir kenarın ucundan ötekinin ucuna). \(\|u\| = \|v\|\) koşulu paralelkenarın komşu kenarlarının, dolayısıyla dört kenarının da eşit olduğunu, yani paralelkenarın bir eşkenar dörtgen olduğunu söyler. O hâlde sonuç şudur: eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir. Tersi de doğrudur: köşegenleri dik olan paralelkenar eşkenar dörtgendir.
Bir örnekle: \(u = (3, 1)\) ve \(v = (1, 3)\) için \(\|u\|^2 = \|v\|^2 = 10\)’dur; köşegenler \(u + v = (4, 4)\) ve \(u - v = (2, -2)\) olup \[ \langle (4, 4), (2, -2)\rangle = 8 - 8 = 0 \] çıkar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.9 (İzdüşüm: dik vektörler) \(v = (1, 3, 1)\) ve \(u = (-1, 1, -2)\) için \(\operatorname{izd}_u(v)\) vektörünü bulunuz.
Çözüm
\(\operatorname{izd}_u(v) = \dfrac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle}\, u\) formülünü kullanıyoruz (Teorem 8.3). \[ \langle u, v\rangle = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = -1 + 3 - 2 = 0 \] ve \[ \langle u, u\rangle = (-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6. \] \(\dfrac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle} = \dfrac{0}{6} = 0\) olduğundan \[ \operatorname{izd}_u(v) = 0 \cdot u = (0, 0, 0) \] bulunur. Bu sonucu Örnek 8.10 içinde de bulmuştuk: \(v\), \(u\)’ya diktir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.10 (İzdüşüm: negatif bileşen) \(v = (-4, 1, 2)\) ve \(u = (2, -1, 3)\) için \(\operatorname{izd}_u(v)\) vektörünü bulunuz.
Çözüm
\[ \langle u, v\rangle = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = -8 - 1 + 6 = -3 \] ve \[ \langle u, u\rangle = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 = 4 + 1 + 9 = 14 \] olduğundan \(\dfrac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle} = -\dfrac{3}{14}\) ve \[ \operatorname{izd}_u(v) = -\frac{3}{14}\,(2, -1, 3) = \left(-\frac{3}{7}, \frac{3}{14}, -\frac{9}{14}\right) \] bulunur. Bileşen negatif olduğundan izdüşüm \(u\) ile zıt yönlüdür; bu sonuç Örnek 8.11 ile aynıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.11 (İzdüşüm: kesirli bileşen) \(v = (1, -2, 1)\) ve \(u = (4, -4, 7)\) için \(\operatorname{izd}_u(v)\) vektörünü bulunuz.
Çözüm
\[ \langle u, v\rangle = 4 \cdot 1 + (-4) \cdot (-2) + 7 \cdot 1 = 4 + 8 + 7 = 19 \] ve \[ \langle u, u\rangle = 4^2 + (-4)^2 + 7^2 = 16 + 16 + 49 = 81 \] olduğundan \(\operatorname{bil}_u(v) = \dfrac{19}{81}\) ve \[ \operatorname{izd}_u(v) = \frac{19}{81}\,(4, -4, 7) = \left(\frac{76}{81}, -\frac{76}{81}, \frac{133}{81}\right) \] bulunur. Bileşen pozitif olduğundan izdüşüm \(u\) ile aynı yönlüdür.
Sağlama: \(v - \operatorname{izd}_u(v) = \left(\tfrac{5}{81}, -\tfrac{86}{81}, -\tfrac{52}{81}\right)\) ve \[ \left\langle \left(\tfrac{5}{81}, -\tfrac{86}{81}, -\tfrac{52}{81}\right), (4, -4, 7)\right\rangle = \frac{20 + 344 - 364}{81} = 0, \] yani fark gerçekten \(u\)’ya diktir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.12 (Aynı eksen üzerindeki vektörler) \(u = (0, 1, 0)\), \(v = (0, 2, 0)\) ve \(w = (0, 3, 0)\) vektörlerini geometrik olarak yorumlayınız.
Çözüm
\(v = 2u\) ve \(w = 3u\) olduğundan üç vektör de \(u\)’nun pozitif katlarıdır. Bir vektörü pozitif bir sayıyla çarpmak doğrultusunu ve yönünü değiştirmez; yalnız uzunluğunu ölçekler. O hâlde \(u\), \(v\) ve \(w\) aynı doğrultuya ve aynı yöne sahiptir, yani birbirine paraleldir.
Bunu iç çarpımla da görebiliriz: \(\langle u, v\rangle = 2\) ve \(\|u\|\,\|v\| = 1 \cdot 2 = 2\) olduğundan \[ \cos\measuredangle(u, v) = \frac{2}{2} = 1, \qquad \measuredangle(u, v) = 0 \] olur; Cauchy–Schwarz eşitsizliği eşitliğe dönüşmüştür (Önerme 8.2, iv). Aynı hesap \(u\) ile \(w\) ve \(v\) ile \(w\) için de açıyı \(0\) verir.
Üç vektör de \(Y\)-ekseninin pozitif kısmı üzerinde yatar; uzunlukları \(1\), \(2\) ve \(3\)’tür. Ortak birim vektörleri \(u_0 = (0, 1, 0) = e_2\)’dir, dolayısıyla doğrultman kosinüsleri \((0, 1, 0)\) ve doğrultu açıları \(\theta_1 = \tfrac{\pi}{2}\), \(\theta_2 = 0\), \(\theta_3 = \tfrac{\pi}{2}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 8.13 (Aynı doğru üzerindeki vektörler) \(x = (0, 1, 1)\), \(y = (0, 3, 3)\) ve \(z = (0, 6, 6)\) vektörlerini geometrik olarak yorumlayınız.
Çözüm
\(y = 3x\) ve \(z = 6x\) olduğundan üç vektör de \(x\)’in pozitif katlarıdır; dolayısıyla aynı doğrultuya ve aynı yöne sahiptirler, yani birbirine paraleldirler. Örneğin \[ \langle x, y\rangle = 0 + 3 + 3 = 6, \qquad \|x\|\,\|y\| = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \] olduğundan \(\cos\measuredangle(x, y) = 1\) ve \(\measuredangle(x, y) = 0\)’dır.
Birinci bileşenleri \(0\) olduğundan üç vektör de \(YZ\)-düzleminde yatar; ikinci ve üçüncü bileşenleri eşit olduğundan bu düzlemde \(y = z\) açıortay doğrusu üzerindedirler. Uzunlukları \(\sqrt{2}\), \(3\sqrt{2}\) ve \(6\sqrt{2}\)’dir. Ortak birim vektörleri \[ x_0 = \frac{x}{\|x\|} = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] olduğundan doğrultu açıları \(\theta_1 = \tfrac{\pi}{2}\), \(\theta_2 = \theta_3 = \tfrac{\pi}{4}\)’tür: vektörler \(X\)-eksenine dik, \(Y\)- ve \(Z\)-eksenleriyle eşit \(45^\circ\)’lik açılar yapar.
\(\blacksquare\)
İç çarpım iki vektörden bir sayı üretti ve bu sayı bize uzunluğu, açıyı ve dikliği verdi. Bir sonraki bölümde, Vektörel ve Karma Çarpım bölümünde, iki vektörden bu kez yeni bir vektör üreten ve ikisine birden dik olan vektörel çarpımı tanıyacağız.