19 Hiperbol
Elips bölümünde iki sabit noktaya uzaklıklarının toplamı sabit olan noktaları incelemiştik. Toplam yerine farkı alırsak bambaşka bir eğri çıkar: birbirinden ayrı iki koldan oluşan, uzaklara gittikçe iki doğruya yapışan bir eğri. Bu eğri hiperboldür ve koniklerin ikincisidir; bir dik koni yüzeyini, koninin eksenine paralel bir düzlemle kestiğimizde ortaya çıkar (böyle bir düzlem koninin iki yaprağını da keser) (konik kavramı için bkz. Elips). Bu bölümde hiperbolü önce geometrik olarak tanımlayacak, sonra uygun bir koordinat sisteminde standart denklemini kuracak ve bu denklemden asimptotlarını, teğetlerini, dış merkezliğini ve parametrik gösterimini çıkaracağız.
19.1 Hiperbolün Tanımı ve Temel Öğeleri
Bir düzlemde iki sabit nokta alalım. Bu iki noktaya olan uzaklıklarının farkı hep aynı kalan noktalar nerede durur? Tanım bu soruyu sorar.
Tanım 19.1 (Hiperbol) Bir düzlemde sabit iki noktaya olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol denir.
\(F_1, F_2 \in \mathbb{R}^2\) farklı iki sabit nokta, \(|F_1F_2| = 2c\) ve \(0 < a < c\) olmak üzere, \(\mathcal{H} = \mathcal{H}(F_1, F_2, a)\) ile gösterilen hiperbol
\[ \mathcal{H} = \big\{\, P \in \mathbb{R}^2 \;:\; \big|\, |PF_1| - |PF_2| \,\big| = 2a \,\big\} \]
kümesidir.
Yani bir \(P\) noktası hiperbolün üzerindeyse, \(P\)’den iki sabit noktaya olan uzaklıklardan büyüğü küçüğünü tam \(2a\) kadar geçer. Hangisinin büyük olduğu önemli değildir: \(|PF_1| - |PF_2| = 2a\) olan noktalar bir parça, \(|PF_2| - |PF_1| = 2a\) olan noktalar başka bir parça oluşturur. Hiperbolün iki ayrı kolu olmasının nedeni budur.
Tanımda \(a < c\) koşulunu koyduk. Bu keyfi bir seçim değildir; aşağıdaki önerme, farkın \(2c\)’ye ulaştığı ya da onu aştığı durumda eğri diye bir şey kalmadığını gösterir.
Önerme 19.1 (Uzaklık farkı odaklar arası uzaklığı geçemez) \(F_1 \neq F_2\) ve \(|F_1F_2| = 2c\) olsun. Düzlemdeki her \(P\) noktası için
\[ \big|\, |PF_1| - |PF_2| \,\big| \le 2c \]
dir. Eşitlik yalnız \(P\), \(F_1F_2\) doğrusu üzerinde ve \(F_1\) ile \(F_2\) arasındaki açık doğru parçasının dışında olduğunda sağlanır. Buna göre \(a > c\) ise \(\mathcal{H}(F_1, F_2, a)\) boş kümedir, \(a = c\) ise bu küme \(F_1F_2\) doğrusunun \(F_1\)’den ve \(F_2\)’den dışarı doğru çıkan iki ışınıdır.
İspat
\(PF_1F_2\) “üçgeninde” üçgen eşitsizliği \(|PF_1| \le |PF_2| + |F_2F_1|\) ve \(|PF_2| \le |PF_1| + |F_1F_2|\) verir. Bu iki eşitsizlik
\[ -2c \le |PF_1| - |PF_2| \le 2c \]
demektir; bu da istenen eşitsizliktir.
Eşitlik durumuna bakalım. \(|PF_1| - |PF_2| = 2c\), yani \(|PF_1| = |PF_2| + |F_2F_1|\) olması, \(F_2\)’nin \(P\) ile \(F_1\)’i birleştiren doğru parçası üzerinde bulunması demektir. Bu da \(P\)’nin \(F_1F_2\) doğrusu üzerinde, \(F_2\)’den başlayıp \(F_1\)’den uzaklaşan ışın üzerinde olmasıdır. Benzer biçimde \(|PF_2| - |PF_1| = 2c\) eşitliği, \(P\)’nin \(F_1\)’den başlayıp \(F_2\)’den uzaklaşan ışın üzerinde olmasıdır.
Böylece \(a > c\) iken \(2a > 2c\) olduğundan koşulu sağlayan nokta yoktur; \(a = c\) iken koşulu sağlayan noktalar tam bu iki ışındır.
\(\blacksquare\)
Hiperbolün adlandırılmış noktaları ve doğruları elipstekilere çok benzer.
Tanım 19.2 (Odaklar) Hiperbolün tanımındaki (Tanım 19.1) \(F_1\) ve \(F_2\) noktalarına \(\mathcal{H}\) hiperbolünün odakları denir.
Tanım 19.3 (Merkez) \(M = \dfrac{1}{2}(F_1 + F_2)\) noktasına, yani \([F_1F_2]\) doğru parçasının orta noktasına, \(\mathcal{H}\) hiperbolünün merkezi denir.
Tanım 19.4 (Asal eksen) \(\mathcal{H}\) hiperbolünün \(F_1\) ve \(F_2\) odaklarını birleştiren doğruya hiperbolün asal ekseni denir.
Tanım 19.5 (Köşeler) \(\mathcal{H}\) hiperbolünün asal ekseni kestiği \(A_1\) ve \(A_2\) noktalarına hiperbolün köşeleri denir.
Tanım 19.6 (Asal çember) \([A_1A_2]\) doğru parçasını çap kabul eden çembere \(\mathcal{H}\) hiperbolünün asal çemberi denir.
Yani odaklar hiperbolü belirleyen iki sabit nokta, merkez bu ikisinin tam ortası, asal eksen ikisinden geçen doğrudur. Köşeler hiperbolün asal eksen üzerindeki noktalarıdır; birazdan her kolda tam bir köşe bulunduğunu ve köşelerin odakların arasında kaldığını göreceğiz. Asal çember de merkezi \(M\) olan ve iki köşeden geçen çemberdir.
Koordinat hesabı yapmak için hiperbolü rahat bir konuma yerleştirelim. Öteleme ve dönme ile (Öteleme, Döndürme ve Paralel Eksenler) koordinat sistemini, merkezi \(O(0, 0)\) başlangıç noktasına ve asal ekseni \(X\)-eksenine gelecek biçimde seçebiliriz. Bu işlemler uzaklıkları değiştirmediğinden hiperbolün tanımı etkilenmez.
Teorem 19.1 (Odakların ve köşelerin koordinatları) \(XY\) dik koordinat sisteminde \(\mathcal{H} = \mathcal{H}(F_1, F_2, a)\) hiperbolünün merkezi \(O(0, 0)\) ve asal ekseni \(X\)-ekseni olsun. Bu durumda odaklar
\[ F_1(c, 0), \qquad F_2(-c, 0) \]
ve köşeler
\[ A_1(a, 0), \qquad A_2(-a, 0) \]
noktalarıdır (adlar, \(F_1\) pozitif tarafta kalacak biçimde verilmiştir). Özellikle hiperbol \(X\)-eksenini tam iki noktada keser ve köşeler iki odağın arasındadır.
İspat
Adım 1: odaklar. Odaklar asal eksen, yani \(X\)-ekseni üzerinde olduğundan \(F_1(f_1, 0)\) ve \(F_2(f_2, 0)\) biçimindedir. Merkez başlangıç noktası olduğundan
\[ (0, 0) = \frac{1}{2}(F_1 + F_2) = \frac{1}{2}(f_1 + f_2,\ 0) \]
olur; buradan \(f_2 = -f_1\) çıkar. Ayrıca
\[ 2c = |F_1F_2| = \sqrt{(f_2 - f_1)^2 + (0 - 0)^2} = |-2f_1| = 2|f_1| \]
olduğundan \(|f_1| = c\)’dir. \(F_1\)’i pozitif tarafta seçersek \(f_1 = c\) ve \(f_2 = -c\) bulunur.
Adım 2: köşeler. \(X\)-ekseni üzerindeki bir \(P(t, 0)\) noktası için
\[ |PF_1| = |t - c|, \qquad |PF_2| = |t + c| \]
dir. İki durum vardır.
\(|t| \le c\) ise \(t - c \le 0 \le t + c\) olduğundan
\[ |PF_1| - |PF_2| = (c - t) - (c + t) = -2t \]
olur. Koşul \(|-2t| = 2a\), yani \(t = a\) ya da \(t = -a\) verir. \(0 < a < c\) olduğundan bu iki değer gerçekten \(|t| \le c\) aralığındadır.
\(|t| > c\) ise \(t - c\) ile \(t + c\) aynı işaretlidir ve
\[ \big||t - c| - |t + c|\big| = |(t - c) - (t + c)| = 2c \]
olur. \(2c \ne 2a\) olduğundan bu noktalar hiperbolde değildir.
Demek ki hiperbol \(X\)-eksenini yalnız \(A_1(a, 0)\) ve \(A_2(-a, 0)\) noktalarında keser ve \(-c < -a < a < c\) olduğundan köşeler odakların arasındadır.
\(\blacksquare\)
19.2 Standart Denklem
Artık hiperbolün denklemini kurabiliriz. Hesabın sonunda \(c^2 - a^2\) ifadesi kendiliğinden ortaya çıkacak; \(a < c\) olduğundan bu sayı pozitiftir ve onu bir karenin adıyla anmak denklemi sadeleştirir.
Teorem 19.2 (Hiperbolün standart denklemi) Merkezi \(O(0, 0)\), asal ekseni \(X\)-ekseni, odakları \(F_1(c, 0)\) ve \(F_2(-c, 0)\) olan \(\mathcal{H}(F_1, F_2, a)\) hiperbolünü alalım ve
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} > 0 \]
diyelim. Bir \(P(x, y)\) noktasının \(\mathcal{H}\) üzerinde olması için gerek ve yeter koşul
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
olmasıdır.
İspat
Adım 1: tanımdan denkleme. \(P(x, y) \in \mathcal{H}\) olsun. Uzaklık formülüyle tanımdaki koşul
\[ \sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = \pm 2a \]
olur. İkinci kökü sağa geçirip iki tarafın karesini alalım:
\[ \begin{aligned} (x - c)^2 + y^2 &= 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} \\[1mm] &\quad + (x + c)^2 + y^2 . \end{aligned} \]
Kareleri açınca \(x^2\), \(y^2\) ve \(c^2\) terimleri iki tarafta da aynıdır ve sadeleşir:
\[ -2cx = 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + 2cx . \]
Buradan
\[ -4cx - 4a^2 = \pm 4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2}, \]
yani
\[ cx + a^2 = \mp\, a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} \]
bulunur. Bir kez daha kare alalım:
\[ c^2x^2 + 2a^2cx + a^4 = a^2\big(x^2 + 2cx + c^2 + y^2\big). \]
\(2a^2cx\) terimleri sadeleşir ve kalan terimler düzenlenince
\[ (c^2 - a^2)\,x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) \]
elde edilir. \(c^2 - a^2 = b^2\) yazarsak \(b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2\) olur; iki taraf \(a^2b^2\)’ye bölünerek
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
bulunur.
Adım 2: denklemden tanıma. Tersine, \(P(x, y)\) standart denklemi sağlasın. Denklemden \(y^2 = b^2\Big(\dfrac{x^2}{a^2} - 1\Big)\) ve \(b^2 = c^2 - a^2\) olduğundan
\[ \begin{aligned} |PF_1|^2 &= x^2 - 2cx + c^2 + y^2 \\[1mm] &= x^2 - 2cx + c^2 + \frac{c^2 - a^2}{a^2}\,x^2 - c^2 + a^2 \\[1mm] &= \frac{c^2}{a^2}\,x^2 - 2cx + a^2 = \Big(\frac{c}{a}x - a\Big)^2 \end{aligned} \]
olur. Aynı hesapta \(-2cx\) yerine \(+2cx\) yazılarak \(|PF_2|^2 = \Big(\dfrac{c}{a}x + a\Big)^2\) bulunur. Denklemden \(\dfrac{x^2}{a^2} = 1 + \dfrac{y^2}{b^2} \ge 1\), yani \(|x| \ge a\) çıkar; o zaman \(\dfrac{c}{a}|x| \ge c > a\) olur.
\(x \ge a\) ise \(\dfrac{c}{a}x - a > 0\) ve \(\dfrac{c}{a}x + a > 0\) olduğundan \(|PF_2| - |PF_1| = 2a\) olur.
\(x \le -a\) ise \(\dfrac{c}{a}x + a < 0\) ve \(\dfrac{c}{a}x - a < 0\) olduğundan
\[ |PF_1| - |PF_2| = \Big(a - \frac{c}{a}x\Big) - \Big(-\frac{c}{a}x - a\Big) = 2a \]
olur.
İki durumda da \(\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a\), yani \(P \in \mathcal{H}\)’dir.
\(\blacksquare\)
İspatın ikinci adımı, tanımdan denkleme giderken kare almanın fazladan nokta eklemediğini güvenceye alır.
Tanım 19.7 (Standart denklem) \(a, b > 0\) olmak üzere
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
denklemine hiperbolün standart denklemi denir. Burada \(c^2 = a^2 + b^2\) olup odaklar \((\pm c, 0)\), köşeler \((\pm a, 0)\) noktalarıdır.
Yani standart denklemi gören biri hemen \(a\)’yı ve \(b\)’yi okur, odakları da \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) bağıntısıyla bulur. Elipsteki \(a^2 = b^2 + c^2\) bağıntısıyla karıştırmamak gerekir: hiperbolde \(c\) en büyüğüdür, \(c^2 = a^2 + b^2\)’dir. Ayrıca elipsin aksine hiperbolde \(a\) ile \(b\) arasında büyüklük sırası yoktur; \(a < b\), \(a = b\) ya da \(a > b\) olabilir.
İspatın ikinci adımında \(|PF_1|\) ve \(|PF_2|\) için bulduğumuz ifadeleri ileride de kullanacağız; bunları ayrıca kaydedelim.
Sonuç 19.1 (Odak uzaklıkları) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün bir \(P(x, y)\) noktası için
\[ |PF_1| = \Big|\frac{c}{a}x - a\Big|, \qquad |PF_2| = \Big|\frac{c}{a}x + a\Big| \]
dir. Sağ kolda (\(x \ge a\)) \(|PF_1| = \dfrac{c}{a}x - a\), sol kolda (\(x \le -a\)) \(|PF_1| = a - \dfrac{c}{a}x\) olur.
İspat
Teorem 19.2 ispatının ikinci adımında \(|PF_1|^2 = \Big(\dfrac{c}{a}x - a\Big)^2\) ve \(|PF_2|^2 = \Big(\dfrac{c}{a}x + a\Big)^2\) bulundu. Uzaklıklar negatif olmadığından karekök alınca mutlak değerli ifadeler çıkar. İşaretler de aynı yerde incelendi: \(x \ge a\) iken \(\dfrac{c}{a}x - a > 0\), \(x \le -a\) iken \(\dfrac{c}{a}x - a < 0\)’dır.
\(\blacksquare\)
Standart denklem hiperbolün biçimi hakkında hemen bilgi verir.
Sonuç 19.2 (Simetri ve iki kol) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolü
- \(X\)-eksenine, \(Y\)-eksenine ve başlangıç noktasına göre simetriktir;
- \(-a < x < a\) şeridinde hiç noktası olmayan, biri \(x \ge a\) yarı düzleminde (sağ kol), öteki \(x \le -a\) yarı düzleminde (sol kol) duran iki parçadan oluşur;
- \(Y\)-eksenini kesmez.
İspat
Denklemde yalnız \(x^2\) ve \(y^2\) geçer. Bu yüzden \((x, y)\) denklemi sağlıyorsa \((x, -y)\), \((-x, y)\) ve \((-x, -y)\) de sağlar; bunlar sırasıyla \(X\)-eksenine, \(Y\)-eksenine ve başlangıç noktasına göre simetrik noktalardır.
Denklemden \(\dfrac{x^2}{a^2} = 1 + \dfrac{y^2}{b^2} \ge 1\) olduğundan her noktada \(|x| \ge a\)’dır. Demek ki \(-a < x < a\) şeridinde nokta yoktur; özellikle \(x = 0\) doğrusu, yani \(Y\)-ekseni hiperbolü kesmez. Öte yandan her \(x\) (\(|x| \ge a\)) için \(y = \pm\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}\) iki (ya da \(|x| = a\) iken bir) nokta verir; böylece iki yarı düzlemin her birinde eğrinin bir parçası vardır.
\(\blacksquare\)
19.3 Asimptotlar
Hiperbolün kolları sonsuza uzanır. Uzaklara gittikçe bir kolun bir parçası, merkezden geçen bir doğruya gittikçe daha çok yaklaşır. Bu doğrular hiperbolü çizmenin anahtarıdır.
Tanım 19.8 (Asimptot) Bir hiperbolün merkezinden geçen ve hiperbolün kollarının sonsuzda yaklaştığı doğrulara, yani bir kol parçasının \(y = f(x)\) grafiği olarak yazıldığında bu grafiğin eğik asimptotu olan doğrulara hiperbolün asimptotları denir.
Yani asimptot, kolun sonsuzda “teğet olduğu” doğrudur: eğri ona hiçbir zaman değmez ama aradaki fark sıfıra gider. Analizden hatırlayalım: \(y = f(x)\) grafiğinin \(x \to \infty\) iken eğik asimptotu, limitler var olduğunda
\[ m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x \to \infty} \big(f(x) - mx\big) \]
olmak üzere \(y = mx + n\) doğrusudur.
Teorem 19.3 (Hiperbolün asimptotları) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün asimptotları
\[ y = \frac{b}{a}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{b}{a}\,x \]
doğrularıdır.
İspat
Adım 1: kolları fonksiyon olarak yazmak. Denklemden
\[ y^2 = b^2\Big(\frac{x^2}{a^2} - 1\Big) \;\Longrightarrow\; y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2} \]
bulunur. Önce sağ kolun üst yarısını, yani \(x \ge a\) için \(f(x) = \dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}\) fonksiyonunu inceleyelim.
Adım 2: eğim. \(x > 0\) iken \(\sqrt{x^2} = x\) olduğundan
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} &= \lim_{x \to \infty}\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{x}\sqrt{x^2\Big(1 - \frac{a^2}{x^2}\Big)} \\[1mm] &= \lim_{x \to \infty}\frac{b}{a}\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} = \frac{b}{a} \end{aligned} \]
olur. Demek ki \(m_1 = \dfrac{b}{a}\)’dır.
Adım 3: kesen. Eşleniğiyle genişletelim:
\[ \begin{aligned} f(x) - \frac{b}{a}x &= \frac{b}{a}\big(\sqrt{x^2 - a^2} - x\big) \\[1mm] &= \frac{b}{a}\cdot\frac{(x^2 - a^2) - x^2}{\sqrt{x^2 - a^2} + x} \\[1mm] &= \frac{b}{a}\cdot\frac{-a^2}{\sqrt{x^2 - a^2} + x}. \end{aligned} \]
\(x \ge a\) iken payda \(\sqrt{x^2 - a^2} + x \ge x > 0\) olduğundan
\[ -\frac{a^2}{x} \le \frac{-a^2}{\sqrt{x^2 - a^2} + x} \le 0 \]
dır. Sol taraf \(x \to \infty\) iken \(0\)’a gider; sıkıştırma teoreminden ortadaki ifade de \(0\)’a gider. Böylece \(n_1 = 0\) ve sağ kolun üst yarısının asimptotu \(y = \dfrac{b}{a}x\)’tir.
Adım 4: öteki parçalar. Sağ kolun alt yarısı \(-f(x)\) grafiğidir; aynı hesap \(m_2 = -\dfrac{b}{a}\) ve \(n_2 = 0\) verir, yani asimptotu \(y = -\dfrac{b}{a}x\)’tir. Sol kolun parçaları sağ koldakilerin başlangıç noktasına göre simetriğidir (Sonuç 19.2); başlangıca göre simetri, orijinden geçen bir doğruyu kendine götürdüğünden sol kolun asimptotları da aynı iki doğrudur. İki doğru merkezden, yani \(O\)’dan geçer.
\(\blacksquare\)
Asimptotlar kolların “yönünü” verir, ama kollara hiç değmez.
Sonuç 19.3 (Asimptotlar hiperbolü kesmez) \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) asimptotlarının \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolüyle ortak noktası yoktur. Ayrıca hiperbolün bütün noktaları, iki asimptotun ayırdığı dört açısal bölgeden \(X\)-eksenini içeren ikisinde, yani \(|y| < \dfrac{b}{a}|x|\) bölgesinde bulunur.
İspat
\(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) denklemde yerine yazılırsa sol taraf \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 0\) olur; \(0 = 1\) olamayacağından ortak nokta yoktur.
Hiperbolün her noktasında \(\dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{x^2}{a^2} - 1 < \dfrac{x^2}{a^2}\) olduğundan \(|y| < \dfrac{b}{a}|x|\)’tir.
\(\blacksquare\)
19.4 Yedek Eksen ve Hiperbolü Çizmek
Elipste iki eksen vardı. Hiperbolde asal eksen odaklardan geçer; ona dik olan ikinci eksen ise hiperbolü kesmez ama \(b\) sayısına geometrik bir anlam verir.
Tanım 19.9 (Yedek eksen) Hiperbolün merkezinde asal eksene dik olan ve uç noktaları merkezden \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) birim uzakta bulunan doğru parçasına hiperbolün yedek ekseni denir.
Yani \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünde yedek eksen, uçları \(B_1(0, b)\) ve \(B_2(0, -b)\) olan \([B_1B_2]\) doğru parçasıdır; uzunluğu \(2b\)’dir. Asal eksen uzunluğu ise \(|A_1A_2| = 2a\)’dır. Yedek eksenin uçları hiperbolün noktaları değildir, çünkü hiperbol \(Y\)-eksenini kesmez (Sonuç 19.2).
Yedek eksen, asimptotları çizmenin en pratik yolunu verir.
Önerme 19.2 (Asimptotlar temel dikdörtgenin köşegenleridir) Kenarları eksenlere paralel olan ve köşeleri \((\pm a, \pm b)\) noktaları olan dikdörtgene hiperbolün temel dikdörtgeni diyelim. \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün asimptotları bu dikdörtgenin köşegenlerini taşıyan doğrulardır. Ayrıca dikdörtgenin köşegen uzunluğunun yarısı \(c\)’dir.
İspat
\((a, b)\) ile \((-a, -b)\) köşelerinden geçen doğru orijinden geçer ve eğimi \(\dfrac{b}{a}\)’dır; bu \(y = \dfrac{b}{a}x\) asimptotudur. \((-a, b)\) ile \((a, -b)\) köşelerinden geçen doğru orijinden geçer ve eğimi \(-\dfrac{b}{a}\)’dır; bu da \(y = -\dfrac{b}{a}x\) asimptotudur (Teorem 19.3). Köşegenin yarısı, \(O\) ile \((a, b)\) arasındaki uzaklıktır: \(\sqrt{a^2 + b^2} = c\).
\(\blacksquare\)
Son cümle, odakları pergelle bulmayı da sağlar: merkezi \(O\), yarıçapı temel dikdörtgenin yarı köşegeni olan çember asal ekseni tam odaklarda keser.
- Standart denklemden \(a\)’yı ve \(b\)’yi okuyun; köşeleri \((\pm a, 0)\) ve yedek eksenin uçlarını \((0, \pm b)\) işaretleyin.
- Köşeleri \((\pm a, \pm b)\) olan temel dikdörtgeni kesikli çizin.
- Dikdörtgenin köşegenlerini uzatın; bunlar \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) asimptotlarıdır.
- Kolları köşelerden başlatıp dışa doğru, asimptotlara yaklaşacak biçimde çizin; odakları \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) ile \((\pm c, 0)\)’a koyun.
Örnek 19.1 (Bir hiperbolü çizmek) \(x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1\) hiperbolünü çiziniz.
Çözüm
Adım 1: \(a\) ve \(b\). Denklem \(\dfrac{x^2}{1^2} - \dfrac{y^2}{(\sqrt{3})^2} = 1\) biçimindedir; \(a = 1\) ve \(b = \sqrt{3}\)’tür. Köşeler \(A_1(1, 0)\) ve \(A_2(-1, 0)\)’dır.
Adım 2: odaklar. \(c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 3 = 4\) olduğundan \(c = 2\)’dir; odaklar \(F_1(2, 0)\) ve \(F_2(-2, 0)\)’dır.
Adım 3: asimptotlar. \(\dfrac{b}{a} = \sqrt{3}\) olduğundan asimptotlar
\[ y = \sqrt{3}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\sqrt{3}\,x \]
doğrularıdır. Temel dikdörtgenin köşeleri \((\pm 1, \pm\sqrt{3})\)’tür.
Adım 4: kollar. Sağ kol \(A_1\)’den başlar ve \(y = \pm\sqrt{3}\sqrt{x^2 - 1}\) ile verilir; örneğin \(x = 2\) iken \(y = \pm 3\) olur. Sol kol bunun \(Y\)-eksenine göre simetriğidir.
\(\blacksquare\)
19.5 Odakları Y-Ekseninde ya da Merkezi Kaymış Hiperbol
Hiperbolü her zaman asal ekseni \(X\)-ekseni olacak biçimde yerleştirmek zorunda değiliz. Asal eksen \(Y\)-ekseni olursa \(x\) ile \(y\)’nin rolleri değişir.
Önerme 19.3 (Odakları Y-ekseninde olan hiperbol) Merkezi \(O(0, 0)\), odakları \(F_1(0, c)\) ve \(F_2(0, -c)\) olan ve \(\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a\) (\(0 < a < c\)) koşuluyla tanımlanan hiperbolün denklemi, \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) olmak üzere
\[ \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \]
dir. Bu hiperbolün köşeleri \(A_1(0, a)\) ve \(A_2(0, -a)\), yedek ekseninin uçları \(B_1(b, 0)\) ve \(B_2(-b, 0)\), yedek eksen uzunluğu \(2b\), asimptotları da
\[ y = \frac{a}{b}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{a}{b}\,x \]
doğrularıdır.
İspat
\((x, y) \mapsto (y, x)\) yer değiştirmesi, yani \(y = x\) doğrusuna göre yansıma, uzaklıkları korur ve \((0, \pm c)\) odaklarını \((\pm c, 0)\) noktalarına götürür. Bu yüzden bir \(P(x, y)\) noktası verilen hiperbolün üzerindedir ancak ve ancak \(P'(y, x)\) noktası odakları \((\pm c, 0)\) olan hiperbolün üzerindedir. Teorem 19.2 gereğince bu \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\) demektir. Köşeler, yedek eksenin uçları ve asimptotlar da aynı yer değiştirmeyle \((\pm a, 0) \mapsto (0, \pm a)\), \((0, \pm b) \mapsto (\pm b, 0)\) ve \(y = \pm\dfrac{b}{a}x \mapsto x = \pm\dfrac{b}{a}y\), yani \(y = \pm\dfrac{a}{b}x\) olarak elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 19.2 (Kolları yukarı ve aşağı açılan hiperbol) \(9y^2 - 16x^2 = 144\) hiperbolünün köşelerini, odaklarını ve asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: standart biçim. İki tarafı \(144\)’e bölelim:
\[ \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1 . \]
Pozitif işaretli terim \(y^2\)’li terim olduğundan asal eksen \(Y\)-eksenidir; \(a^2 = 16\), \(b^2 = 9\), yani \(a = 4\) ve \(b = 3\)’tür.
Adım 2: köşeler ve odaklar. Köşeler \(A_1(0, 4)\) ve \(A_2(0, -4)\)’tür. \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\) olduğundan \(c = 5\) ve odaklar \(F_1(0, 5)\), \(F_2(0, -5)\)’tir.
Adım 3: asimptotlar. Önerme 19.3 gereğince asimptotlar \(y = \pm\dfrac{a}{b}x\), yani
\[ y = \frac{4}{3}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{4}{3}\,x \]
doğrularıdır. Kontrol olarak denklemde \(9y^2 = 16x^2\) yazıp sağ taraftaki \(144\)’ü yok sayarsak aynı doğrular çıkar.
\(\blacksquare\)
Son kontroldeki gözlem genel bir kısayoldur: standart denklemde sağ taraftaki \(1\) yerine \(0\) yazılırsa \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0\), yani \(\Big(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\Big)\Big(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\Big) = 0\) olur ve bu tam iki asimptotun birleşimidir.
Merkez başlangıç noktasında değilse eksenleri ötelemek yeterlidir.
Önerme 19.4 (Merkezi başlangıçta olmayan hiperbol) Merkezi \(M(m_1, m_2)\) olan ve asal ekseni \(X\)-eksenine paralel olan hiperbolün denklemi
\[ \frac{(x - m_1)^2}{a^2} - \frac{(y - m_2)^2}{b^2} = 1 \]
dir. Odakları \((m_1 \pm c,\ m_2)\), köşeleri \((m_1 \pm a,\ m_2)\) ve asimptotları
\[ y - m_2 = \pm\frac{b}{a}\,(x - m_1) \]
doğrularıdır. Asal eksen \(Y\)-eksenine paralelse \(x\) ile \(y\)’nin rolleri Önerme 19.3 içindeki gibi değişir.
İspat
Eksenleri \(\overrightarrow{OM} = (m_1, m_2)\) vektörü kadar öteleyelim. Teorem 16.4 gereğince yeni koordinatlar \(x' = x - m_1\), \(y' = y - m_2\)’dir. Yeni \(X'Y'\) sisteminde hiperbolün merkezi başlangıç noktası, asal ekseni de \(X'\)-eksenidir; öteleme uzaklıkları koruduğundan hiperbolün \(a\), \(b\), \(c\) sayıları değişmez. Teorem 19.2 gereğince yeni sistemde denklem \(\dfrac{x'^2}{a^2} - \dfrac{y'^2}{b^2} = 1\)’dir; bu sistemde odakların koordinatları \((\pm c, 0)\), köşelerinki \((\pm a, 0)\), asimptotlar da \(y' = \pm\dfrac{b}{a}x'\)’tür. \(x' = x - m_1\), \(y' = y - m_2\) yazılınca iddialar elde edilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 19.3 (Tam kareye tamamlayarak merkezi bulmak) \(9x^2 - 4y^2 - 36x - 8y - 4 = 0\) denkleminin bir hiperbol belirttiğini gösteriniz; merkezini, köşelerini, odaklarını ve asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: tam kareye tamamlama. \(x\)’li ve \(y\)’li terimleri gruplayalım:
\[ \begin{aligned} 9(x^2 - 4x) - 4(y^2 + 2y) &= 4 \\[1mm] 9(x - 2)^2 - 36 - 4(y + 1)^2 + 4 &= 4 \\[1mm] 9(x - 2)^2 - 4(y + 1)^2 &= 36 . \end{aligned} \]
İki tarafı \(36\)’ya bölersek
\[ \frac{(x - 2)^2}{4} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1 \]
bulunur. Bu, Önerme 19.4 içindeki biçimdir: \(M(2, -1)\), \(a = 2\), \(b = 3\).
Adım 2: köşeler ve odaklar. Köşeler \((2 \pm 2, -1)\), yani \((4, -1)\) ve \((0, -1)\)’dir. \(c^2 = 4 + 9 = 13\) olduğundan odaklar \(\big(2 + \sqrt{13}, -1\big)\) ve \(\big(2 - \sqrt{13}, -1\big)\)’dir.
Adım 3: asimptotlar. \(y + 1 = \pm\dfrac{3}{2}(x - 2)\), yani
\[ y = \frac{3}{2}x - 4 \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{3}{2}x + 2 \]
doğrularıdır.
\(\blacksquare\)
19.6 İkizkenar Hiperbol
\(a\) ile \(b\) eşit olduğunda temel dikdörtgen bir kareye döner ve hiperbol özellikle simetrik bir biçim alır.
Tanım 19.10 (İkizkenar hiperbol) Asal eksen uzunluğu ile yedek eksen uzunluğu eşit, yani \(a = b\) olan hiperbole ikizkenar hiperbol (eşkenar hiperbol) denir.
Yani ikizkenar hiperbolün standart denklemi \(x^2 - y^2 = a^2\) biçimindedir; temel dikdörtgeni kenarı \(2a\) olan bir karedir.
Sonuç 19.4 (İkizkenar hiperbolün asimptotları) Bir ikizkenar hiperbolün, standart konumda, asimptotları \(y = x\) ve \(y = -x\) doğrularıdır; bu iki asimptot birbirine diktir.
İspat
\(a = b\) iken Teorem 19.3 içindeki \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) doğruları \(y = \pm x\) olur. Eğimlerin çarpımı \(1 \cdot (-1) = -1\) olduğundan doğrular diktir.
\(\blacksquare\)
Asimptotları dik olduğu için ikizkenar hiperbolü \(\dfrac{\pi}{4}\) döndürüp asimptotlarını koordinat eksenleri yapabiliriz. Döndürme ve Paralel Eksenler bölümündeki Örnek 17.8 tam bunu tersinden gösterir: \(xy = 1\) eğrisi, eksenler \(\dfrac{\pi}{4}\) döndürülünce \(x'^2 - y'^2 = 2\) olur. Demek ki \(xy = 1\), asimptotları \(X\)- ve \(Y\)-eksenleri olan, \(a = b = \sqrt{2}\) olan bir ikizkenar hiperboldür.
19.7 Hiperbolün Parametresi
Elipste olduğu gibi, odaktan asal eksene dik çizilen kiriş hiperbolün ne kadar “açık” olduğunu ölçer.
Tanım 19.11 (Hiperbolün parametresi) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün \(F_1(c, 0)\) odağından asal eksene çizilen dikmenin hiperbolü kestiği noktalar \(M_1\) ve \(M_2\) olsun. \(|M_1M_2|\) uzunluğuna hiperbolün parametresi denir.
Yani parametre, odaktan geçen ve asal eksene dik olan kirişin uzunluğudur. Hiperbol \(Y\)-eksenine göre simetrik olduğundan öteki odak da aynı uzunlukta bir kiriş verir.
Teorem 19.4 (Parametrenin değeri) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün parametresi
\[ |M_1M_2| = \frac{2b^2}{a} \]
dır.
İspat
\(F_1(c, 0)\)’dan asal eksene (\(X\)-eksenine) dik çizilen doğru \(x = c\) doğrusudur. Bu doğrunun hiperbolle kesişim noktaları \(M_1(c, y_1)\) ve \(M_2(c, -y_1)\) olsun (\(y_1 > 0\)). \(M_1\) hiperbolde olduğundan ve \(c^2 - a^2 = b^2\) olduğundan
\[ y_1 = \frac{b}{a}\sqrt{c^2 - a^2} = \frac{b}{a}\cdot b = \frac{b^2}{a} \]
bulunur. \(M_1\) ile \(F_1\)’in apsisleri aynı olduğundan
\[ |M_1F_1| = \sqrt{(c - c)^2 + (y_1 - 0)^2} = y_1 \]
dir. Simetriden \(|M_2F_1| = y_1\) olur ve
\[ |M_1M_2| = 2\,|M_1F_1| = \frac{2b^2}{a} \]
elde edilir.
\(\blacksquare\)
19.8 Teğet ve Normal
Hiperbolün bir noktasındaki teğeti bulmak için kolun o noktanın çevresindeki parçasını bir fonksiyonun grafiği olarak düşünür ve türev alırız. \(y = f(x)\) grafiğinin \(x_0\)’daki teğetinin eğimi \(m = f'(x_0)\)’dır. \(y\)’yi \(x\)’in fonksiyonu sayıp denklemin iki tarafının türevini alırken zincir kuralından \((y^2)' = 2yy'\) olduğunu kullanacağız.
Teorem 19.5 (Bir noktadaki teğetin denklemi) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün bir \(P(x_0, y_0)\) noktasındaki teğetinin (\(T_d\)) denklemi
\[ \frac{x_0\,x}{a^2} - \frac{y_0\,y}{b^2} = 1 \]
dir.
İspat
Adım 1: \(y_0 \ne 0\) durumu. Denklemin iki tarafının \(x\)’e göre türevini alalım:
\[ \frac{2x}{a^2} - \frac{2y\,y'}{b^2} = 0 \;\Longrightarrow\; y' = \frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y}. \]
Buna göre \(P\)’deki teğetin eğimi \(m_{T_d} = \dfrac{b^2}{a^2}\cdot\dfrac{x_0}{y_0}\) ve teğetin denklemi
\[ y - y_0 = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\,(x - x_0) \]
dir. İki tarafı \(\dfrac{y_0}{b^2}\) ile çarpıp düzenleyelim:
\[ \frac{y_0\,y}{b^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{x_0\,x}{a^2} - \frac{x_0^2}{a^2} \;\Longrightarrow\; \frac{x_0\,x}{a^2} - \frac{y_0\,y}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}. \]
\(P\) hiperbolde olduğundan sağ taraf \(1\)’dir.
Adım 2: \(y_0 = 0\) durumu. O zaman \(P\) bir köşedir, \(x_0 = \pm a\)’dır. Köşenin çevresinde kolu \(y\)’nin fonksiyonu olarak yazalım. Denklemden \(x^2 = a^2\Big(1 + \dfrac{y^2}{b^2}\Big)\) olduğundan sağ kolda \(+\), sol kolda \(-\) işaretiyle
\[ x = \pm a\sqrt{1 + \frac{y^2}{b^2}} \]
bulunur. Türev alırsak
\[ \frac{dx}{dy} = \pm\frac{a\,y}{b^2\sqrt{1 + \dfrac{y^2}{b^2}}} \]
olur ve \(y = 0\)’da \(\dfrac{dx}{dy} = 0\)’dır. Yani köşede \(x\), \(y\)’ye göre değişmez; teğet \(Y\)-eksenine paraleldir, yani düşeydir ve köşeden geçtiği için \(x = \pm a\) doğrusudur. Formül de \(\dfrac{\pm a\,x}{a^2} = 1\), yani \(x = \pm a\) verir. Böylece formül bu durumda da doğrudur.
\(\blacksquare\)
Formülü hatırlamanın kolay yolu: standart denklemde \(x^2\) yerine \(x_0x\), \(y^2\) yerine \(y_0y\) yazmak.
Örnek 19.4 (Verilen noktadaki teğet) \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\) hiperbolünün \(P\Big(5, \dfrac{16}{3}\Big)\) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: nokta hiperbolde mi? \(\dfrac{25}{9} - \dfrac{256/9}{16} = \dfrac{25}{9} - \dfrac{16}{9} = 1\) olduğundan \(P\) hiperbolün üzerindedir.
Adım 2: formül. \(a^2 = 9\), \(b^2 = 16\), \(x_0 = 5\), \(y_0 = \dfrac{16}{3}\) için Teorem 19.5
\[ \frac{5x}{9} - \frac{(16/3)\,y}{16} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{5x}{9} - \frac{y}{3} = 1 \]
verir. İki tarafı \(9\) ile çarparsak teğet \(5x - 3y = 9\) doğrusudur.
Adım 3: kontrol. \(5 \cdot 5 - 3 \cdot \dfrac{16}{3} = 25 - 16 = 9\) olduğundan doğru \(P\)’den geçer.
\(\blacksquare\)
Teğet formülü, hiperbolün dışındaki bir noktadan çizilen teğetleri bulmakta da işe yarar: değme noktası \((x_0, y_0)\) bilinmeyen alınır ve teğetin verilen noktadan geçmesi istenir.
Örnek 19.5 (Bir noktadan çizilen teğetler) \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) hiperbolüne \(P(1, 0)\) noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini ve değme noktalarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: değme noktasının apsisi. Değme noktası \((x_0, y_0)\) olsun. Bu noktadaki teğet \(\dfrac{x_0x}{4} - \dfrac{y_0y}{9} = 1\)’dir. Teğet \(P(1, 0)\)’dan geçtiğinden
\[ \frac{x_0 \cdot 1}{4} - \frac{y_0 \cdot 0}{9} = 1 \;\Longrightarrow\; x_0 = 4 \]
olur.
Adım 2: değme noktasının ordinatı. \((4, y_0)\) hiperbolde olduğundan
\[ \frac{16}{4} - \frac{y_0^2}{9} = 1 \;\Longrightarrow\; y_0^2 = 27 \;\Longrightarrow\; y_0 = \pm 3\sqrt{3} \]
bulunur. Değme noktaları \(\big(4, 3\sqrt{3}\big)\) ve \(\big(4, -3\sqrt{3}\big)\)’tür.
Adım 3: teğetler. \(\big(4, 3\sqrt{3}\big)\) için teğet
\[ \frac{4x}{4} - \frac{3\sqrt{3}\,y}{9} = 1 \;\Longrightarrow\; x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1 \]
ve \(\big(4, -3\sqrt{3}\big)\) için teğet
\[ \frac{4x}{4} + \frac{3\sqrt{3}\,y}{9} = 1 \;\Longrightarrow\; x + \frac{y}{\sqrt{3}} = 1 \]
doğrusudur. İkisi de \(x = 1\), \(y = 0\) için sağlanır, yani \(P\)’den geçer.
\(\blacksquare\)
Bir noktadaki teğete o noktada dik olan doğru, eğrinin o noktadaki normalidir. Teğet formülünden normali hemen yazabiliriz.
Önerme 19.5 (Bir noktadaki normalin denklemi) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün bir \(P(x_0, y_0)\) noktasındaki normalinin denklemi
\[ a^2 y_0\, x + b^2 x_0\, y = c^2 x_0 y_0 \]
dir. \(y_0 \ne 0\) ise bu denklem
\[ \frac{a^2 x}{x_0} + \frac{b^2 y}{y_0} = c^2 \]
biçiminde de yazılabilir; \(y_0 = 0\) ise normal \(X\)-eksenidir.
İspat
Teğet \(\dfrac{x_0}{a^2}x - \dfrac{y_0}{b^2}y = 1\) doğrusudur; katsayılarından oluşan \(\Big(\dfrac{x_0}{a^2}, -\dfrac{y_0}{b^2}\Big)\) vektörü teğete diktir. Normal, \(P\)’den geçen ve bu vektöre paralel olan doğrudur. Bu vektörün \(a^2b^2\) katı olan \((b^2x_0, -a^2y_0)\) vektörü de aynı doğrultudadır. Bu vektöre paralel ve \(P\)’den geçen doğrunun noktaları için \((x - x_0, y - y_0)\) vektörü \((b^2x_0, -a^2y_0)\) ile paraleldir, yani
\[ -a^2y_0\,(x - x_0) - b^2x_0\,(y - y_0) = 0 \]
olur. Düzenlersek
\[ a^2y_0\,x + b^2x_0\,y = a^2x_0y_0 + b^2x_0y_0 = c^2x_0y_0 \]
bulunur; burada \(a^2 + b^2 = c^2\) kullanıldı. \(y_0 \ne 0\) ise \(|x_0| \ge a > 0\) olduğundan iki taraf \(x_0y_0\)’a bölünebilir ve ikinci biçim çıkar. \(y_0 = 0\) ise denklem \(b^2x_0\,y = 0\), yani \(y = 0\) olur.
\(\blacksquare\)
Örnek 19.6 (Verilen noktadaki normal) \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1\) hiperbolünün \(P\Big(5, \dfrac{16}{3}\Big)\) noktasındaki normalinin denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: veriler. \(a^2 = 9\), \(b^2 = 16\) ve \(c^2 = 9 + 16 = 25\)’tir. \(P\)’nin hiperbolde olduğunu Örnek 19.4 içinde gördük.
Adım 2: formül. Önerme 19.5 içindeki ikinci biçimle
\[ \frac{9x}{5} + \frac{16\,y}{16/3} = 25 \;\Longrightarrow\; \frac{9x}{5} + 3y = 25 \]
bulunur. \(5\) ile çarparsak normal \(9x + 15y = 125\) doğrusudur.
Adım 3: kontrol. \(9 \cdot 5 + 15 \cdot \dfrac{16}{3} = 45 + 80 = 125\) olduğundan doğru \(P\)’den geçer. Normalin eğimi \(-\dfrac{9}{15} = -\dfrac{3}{5}\), Örnek 19.4 içinde bulunan \(5x - 3y = 9\) teğetinin eğimi \(\dfrac{5}{3}\)’tür; çarpımları \(-1\) olduğundan iki doğru diktir.
\(\blacksquare\)
19.9 Hiperbol ile Doğru
Bir doğrunun hiperbolle kaç ortak noktası olduğunu, tıpkı çemberde ve elipste olduğu gibi, doğru denklemini hiperbol denkleminde yerine yazıp çıkan ikinci dereceden denklemin diskriminantıyla anlarız. Hiperbolde bir fark vardır: asimptotlara paralel doğrularda denklemin ikinci dereceden terimi kaybolur.
Teorem 19.6 (Doğru ile hiperbolün ortak noktaları) \(\mathcal{H}: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolü ve \(d: y = mx + n\) doğrusu verilsin.
- \(m = \pm\dfrac{b}{a}\), yani \(d\) bir asimptota paralel ise: \(n \ne 0\) için \(d\) hiperbolü tek noktada keser; \(n = 0\) için \(d\) asimptottur ve hiperbolle ortak noktası yoktur.
- \(m \ne \pm\dfrac{b}{a}\) ise:
- \(n^2 > a^2m^2 - b^2\) olduğunda \(d\) hiperbolü iki noktada keser;
- \(n^2 = a^2m^2 - b^2\) olduğunda \(d\) hiperbole teğettir;
- \(n^2 < a^2m^2 - b^2\) olduğunda \(d\) ile hiperbolün ortak noktası yoktur.
İspat
Adım 1: kesişme denklemi. \(y = mx + n\)’yi \(b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2\) denkleminde yerine yazalım:
\[ b^2x^2 - a^2(m^2x^2 + 2mnx + n^2) = a^2b^2, \]
yani
\[ (b^2 - a^2m^2)\,x^2 - 2a^2mn\,x - a^2(n^2 + b^2) = 0 . \]
Ortak noktaların apsisleri bu denklemin kökleridir ve her apsis tek bir ortak nokta verir.
Adım 2: asimptota paralel doğru. \(m = \pm\dfrac{b}{a}\) ise \(b^2 - a^2m^2 = 0\) olur ve denklem \(-2a^2mn\,x = a^2(n^2 + b^2)\) biçimine iner. \(n \ne 0\) ise \(m \ne 0\) olduğundan tek bir kök vardır. \(n = 0\) ise sol taraf \(0\), sağ taraf \(a^2b^2 > 0\) olur ve kök yoktur (Sonuç 19.3).
Adım 3: diskriminant. \(m \ne \pm\dfrac{b}{a}\) ise denklem gerçekten ikinci derecedendir. Diskriminantın dörtte biri
\[ \begin{aligned} \frac{\Delta}{4} &= a^4m^2n^2 + a^2(b^2 - a^2m^2)(n^2 + b^2) \\[1mm] &= a^2\big(a^2m^2n^2 + b^2n^2 + b^4 - a^2m^2n^2 - a^2b^2m^2\big) \\[1mm] &= a^2b^2\big(n^2 + b^2 - a^2m^2\big) \end{aligned} \]
dir. \(a^2b^2 > 0\) olduğundan \(\Delta\)’nın işareti \(n^2 - (a^2m^2 - b^2)\)’nin işaretidir. \(\Delta > 0\) iki farklı kök, \(\Delta = 0\) çakışık iki kök, yani tek bir değme noktası, \(\Delta < 0\) ise kök olmaması demektir.
\(\blacksquare\)
Teğet durumunu ayrıca kaydedelim; değme noktasını da verelim.
Sonuç 19.5 (Teğet olma koşulu) \(y = mx + n\) doğrusunun \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolüne teğet olması için gerek ve yeter koşul
\[ a^2m^2 - b^2 = n^2 \ne 0 \]
olmasıdır. Bu durumda değme noktası \(\Big(-\dfrac{a^2m}{n},\ -\dfrac{b^2}{n}\Big)\)’dir. Özellikle bir teğetin eğimi \(|m| > \dfrac{b}{a}\)’yı sağlar.
İspat
Teorem 19.6 gereğince teğetlik, \(m \ne \pm\dfrac{b}{a}\) ve \(n^2 = a^2m^2 - b^2\) olmasıdır. \(n^2 = a^2m^2 - b^2\) iken \(m = \pm\dfrac{b}{a}\) olması \(n = 0\) demektir; tersine \(n \ne 0\) ise \(a^2m^2 - b^2 = n^2 > 0\), yani \(|m| > \dfrac{b}{a}\) olur. Böylece iki koşul birlikte \(a^2m^2 - b^2 = n^2 \ne 0\)’a denktir.
Değme noktasında çift kök
\[ x = \frac{2a^2mn}{2(b^2 - a^2m^2)} = \frac{a^2mn}{-n^2} = -\frac{a^2m}{n} \]
dir; burada \(b^2 - a^2m^2 = -n^2\) kullanıldı. Ordinat
\[ y = mx + n = -\frac{a^2m^2}{n} + n = \frac{n^2 - a^2m^2}{n} = -\frac{b^2}{n} \]
olur.
\(\blacksquare\)
Düşey doğrular \(y = mx + n\) biçiminde yazılamaz; onlar için durum kolaydır: \(x = k\) doğrusu \(|k| > a\) iken hiperbolü iki noktada keser, \(|k| = a\) iken köşede teğettir, \(|k| < a\) iken hiperbolle buluşmaz (Sonuç 19.2).
Örnek 19.7 (Eğimi verilen teğetler) \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) hiperbolünün eğimi \(2\) olan teğetlerini ve değme noktalarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: koşul. \(a^2 = 4\), \(b^2 = 9\), \(m = 2\) için Sonuç 19.5
\[ n^2 = a^2m^2 - b^2 = 4 \cdot 4 - 9 = 7 \]
verir. \(n = \sqrt{7}\) ya da \(n = -\sqrt{7}\)’dir; teğetler \(y = 2x + \sqrt{7}\) ve \(y = 2x - \sqrt{7}\) doğrularıdır.
Adım 2: değme noktaları. \(n = \sqrt{7}\) için değme noktası
\[ \Big(-\frac{4 \cdot 2}{\sqrt{7}},\ -\frac{9}{\sqrt{7}}\Big) = \Big(-\frac{8}{\sqrt{7}},\ -\frac{9}{\sqrt{7}}\Big), \]
\(n = -\sqrt{7}\) için \(\Big(\dfrac{8}{\sqrt{7}}, \dfrac{9}{\sqrt{7}}\Big)\)’dir.
Adım 3: kontrol. \(\dfrac{64/7}{4} - \dfrac{81/7}{9} = \dfrac{16}{7} - \dfrac{9}{7} = 1\) olduğundan noktalar hiperboldedir.
Eğimi \(1\) olan bir teğet ise yoktur: \(a^2 \cdot 1 - b^2 = 4 - 9 < 0\) olduğundan \(n^2 = -5\) olamaz. Gerçekten \(1 < \dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2}\)’dir; asimptotlardan daha yatık bir doğru hiperbole teğet olamaz.
\(\blacksquare\)
19.10 Dış Merkezlik ve Doğrultmanlar
Elipsin ne kadar basık olduğunu dış merkezlikle ölçmüştük (Elips). Aynı oran hiperbolde de kullanılır; bu kez değeri hep \(1\)’den büyüktür.
Önerme 19.6 (Hiperbolün dış merkezliği) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün dış merkezliği
\[ e = \frac{|F_1F_2|}{|A_1A_2|} = \frac{c}{a} \]
sayısıdır ve \(e > 1\)’dir. Ayrıca asimptotların eğimi için
\[ \frac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1} \]
bağıntısı vardır.
İspat
\(|F_1F_2| = 2c\) ve \(|A_1A_2| = 2a\) olduğundan oran \(\dfrac{2c}{2a} = \dfrac{c}{a}\)’dır. Tanımda \(0 < a < c\) olduğundan \(e > 1\)’dir. \(b^2 = c^2 - a^2\) eşitliğini \(a^2\)’ye bölersek \(\dfrac{b^2}{a^2} = e^2 - 1\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Yani \(e\), asimptotların ne kadar dik olduğunu belirler. \(e\) büyüdükçe \(\dfrac{b}{a}\) büyür: asimptotlar dikleşir ve kollar asal eksenden uzaklaşıp geniş açılır, hiperbol yassılaşır. \(e\) \(1\)’e yaklaştıkça \(\dfrac{b}{a}\) sıfıra gider ve kollar asal eksene doğru daralır. İkizkenar hiperbolde \(a = b\) olduğundan \(e = \sqrt{2}\)’dir.
Elipste olduğu gibi, her odağa bir doğru eşlenir.
Tanım 19.12 (Hiperbolün doğrultmanları) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolü için
\[ \Delta_1: x = \frac{a}{e} = \frac{a^2}{c}, \qquad \Delta_2: x = -\frac{a}{e} = -\frac{a^2}{c} \]
doğrularına hiperbolün doğrultmanları denir. \(\Delta_1\)’e \(F_1(c, 0)\) odağına ait doğrultman, \(\Delta_2\)’ye \(F_2(-c, 0)\) odağına ait doğrultman denir.
Yani doğrultmanlar asal eksene dik iki doğrudur. \(\dfrac{a^2}{c} < a\) olduğundan (çünkü \(a < c\)) doğrultmanlar iki köşenin arasında, hiperbolün hiç noktası olmayan şeritte kalır; her doğrultman kendi odağıyla aynı taraftadır.
Teorem 19.7 (Odak ve doğrultman özelliği) Düzlemdeki bir \(P(x, y)\) noktasının \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolü üzerinde olması için gerek ve yeter koşul, bu noktanın hiperbolün bir odağına olan uzaklığının o odağa ait doğrultmana olan uzaklığına oranının \(e\)’ye eşit olmasıdır.
İspat
\(F_1(c, 0)\) odağını ve ona ait \(\Delta_1: x = \dfrac{a^2}{c}\) doğrultmanını alalım; \(F_2\) ile \(\Delta_2\) için hesap, \(Y\)-eksenine göre simetriyle aynıdır. \(P\)’den \(\Delta_1\)’e inilen dikmenin ayağı \(H\) olsun; \(H = \Big(\dfrac{a^2}{c}, y\Big)\) ve
\[ |PH| = \Big|x - \frac{a^2}{c}\Big| = \Big|x - \frac{a}{e}\Big| = \frac{1}{e}\,|ex - a| \]
dir. Göstereceğimiz şey: \(P \in \mathcal{H} \iff \dfrac{|PF_1|}{|PH|} = e\).
(\(\Rightarrow\)) \(P\) hiperbolde olsun. Sonuç 19.1 gereğince \(|PF_1| = \Big|\dfrac{c}{a}x - a\Big| = |ex - a|\)’dır. \(|x| \ge a\) ve \(\dfrac{a}{e} < a\) olduğundan \(x \ne \dfrac{a}{e}\), yani \(|PH| \ne 0\)’dır. Buna göre
\[ \frac{|PF_1|}{|PH|} = \frac{|ex - a|}{\frac{1}{e}\,|ex - a|} = e \]
olur.
(\(\Leftarrow\)) \(x \ne \dfrac{a^2}{c}\) ve \(\dfrac{|PF_1|}{|PH|} = e\) olsun. İki tarafın karesini alıp paydaları eşitleyelim:
\[ (x - c)^2 + y^2 = e^2\Big(x - \frac{a^2}{c}\Big)^2 . \]
\(e = \dfrac{c}{a}\) olduğundan sağ taraf
\[ e^2x^2 - 2\,\frac{c^2}{a^2}\cdot\frac{a^2}{c}\,x + \frac{c^2}{a^2}\cdot\frac{a^4}{c^2} = e^2x^2 - 2cx + a^2 \]
dir. Sol tarafı açarsak
\[ x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = e^2x^2 - 2cx + a^2 \]
ve \(-2cx\) terimleri sadeleşince
\[ (1 - e^2)\,x^2 + y^2 = a^2 - c^2 \]
bulunur. \(1 - e^2 = \dfrac{a^2 - c^2}{a^2} = -\dfrac{b^2}{a^2}\) ve \(a^2 - c^2 = -b^2\) olduğundan
\[ -\frac{b^2}{a^2}\,x^2 + y^2 = -b^2 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
elde edilir.
\(\blacksquare\)
Bu teorem hiperbolü odaklar çifti yerine tek bir odak ve tek bir doğru ile anlatmamızı sağlar.
Sonuç 19.6 (Hiperbolün ikinci tanımı) Sabit bir \(F\) noktası, \(F\)’den geçmeyen sabit bir \(\Delta\) doğrusu ve \(e > 1\) sayısı verilsin. Bir noktaya olan uzaklığının \(\Delta\)’ya olan uzaklığına oranı \(e\) olan noktaların geometrik yeri bir hiperboldür; \(F\) bu hiperbolün bir odağı, \(\Delta\) o odağa ait doğrultmanı, \(e\) de dış merkezliğidir.
İspat
\(F\)’nin \(\Delta\)’ya uzaklığı \(p > 0\) olsun. \(a = \dfrac{pe}{e^2 - 1}\) ve \(c = ae\) alalım; \(e > 1\) olduğundan \(0 < a < c\)’dir ve
\[ c - \frac{a^2}{c} = ae - \frac{a}{e} = a\,\frac{e^2 - 1}{e} = p \]
olur. Koordinat sistemini, \(X\)-ekseni \(F\)’den geçip \(\Delta\)’ya dik olacak, \(F = (c, 0)\) olacak ve \(\Delta\), \(F\)’nin sol tarafında kalacak biçimde seçelim (öteleme ve dönme uzaklıkları korur). O zaman \(\Delta\) doğrusu \(x = c - p = \dfrac{a^2}{c}\) doğrusudur. \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) ile \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolünün dış merkezliği \(\dfrac{c}{a} = e\), \(F\) odağı ve \(\Delta\) bu odağa ait doğrultmanıdır. Teorem 19.7 gereğince verilen oran koşulunu sağlayan noktalar tam bu hiperbolün noktalarıdır.
\(\blacksquare\)
Yani hiperbol, “odağa uzaklık, doğrultmana uzaklığın \(e\) katı” olan noktalardan oluşur. Elipste aynı tanım \(e < 1\) ile yapılır; bir sonraki bölümde parabolün tam \(e = 1\) durumu olduğunu göreceğiz.
Örnek 19.8 (Odağı ve doğrultmanı verilen hiperbol) Bir odağı \(F(4, 0)\), bu odağa ait doğrultmanı \(x = 1\) doğrusu ve dış merkezliği \(e = 2\) olan hiperbolün denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: oran koşulu. \(P(x, y)\) için \(|PF| = 2\,|x - 1|\) olmalıdır. İki tarafın karesini alalım:
\[ (x - 4)^2 + y^2 = 4(x - 1)^2 . \]
Adım 2: sadeleştirme. Açarsak \(x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4\), yani
\[ 3x^2 - y^2 = 12 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1 \]
bulunur.
Adım 3: kontrol. \(a = 2\), \(b^2 = 12\) ve \(c^2 = 4 + 12 = 16\), yani \(c = 4\)’tür. Odak gerçekten \((4, 0)\)’dır, \(e = \dfrac{c}{a} = 2\)’dir ve doğrultman \(x = \dfrac{a^2}{c} = \dfrac{4}{4} = 1\)’dir.
\(\blacksquare\)
19.11 Parametrik Denklem
Elipsi \(x = a\cos\theta\), \(y = b\sin\theta\) ile parametrelemiştik (Elips). Hiperbolde \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) özdeşliğinin yerini \(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\) özdeşliği alır.
Teorem 19.8 (Hiperbolün parametrik denklemi) \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) hiperbolü
\[ x = a\sec\theta, \qquad y = b\tan\theta \]
parametrik denklemleriyle verilir. \(\theta \in \Big(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\Big)\) sağ kolu, \(\theta \in \Big(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\Big)\) sol kolu bir kez tarar.
İspat
Adım 1: geometrik anlam. Hiperbolün sağ kolunda, üst yarıda bir \(P(x, y)\) noktası alalım ve \(H(x, 0)\) onun \(X\)-eksenindeki izdüşümü olsun. \(H\)’den asal çembere (\(x^2 + y^2 = a^2\)) çizilen teğetin üst yarıdaki değme noktası \(T\) olsun ve \(\theta = \widehat{TOH}\) diyelim. Yarıçap teğete dik olduğundan \(OTH\) dik üçgeninde
\[ \cos\theta = \frac{|OT|}{|OH|} = \frac{a}{x} \;\Longrightarrow\; x = \frac{a}{\cos\theta} = a\sec\theta \]
olur. Buradan
\[ \begin{aligned} y = \frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2} &= \frac{b}{a}\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\theta} - a^2} \\[1mm] &= \frac{b}{a}\sqrt{\frac{a^2(1 - \cos^2\theta)}{\cos^2\theta}} = b\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = b\tan\theta \end{aligned} \]
bulunur (\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) iken \(\sin\theta > 0\), \(\cos\theta > 0\)).
Adım 2: denklemi sağlama. Her \(\theta\) için (\(\cos\theta \ne 0\))
\[ \frac{a^2\sec^2\theta}{a^2} - \frac{b^2\tan^2\theta}{b^2} = \sec^2\theta - \tan^2\theta = \frac{1 - \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = 1 \]
olduğundan \((a\sec\theta, b\tan\theta)\) noktası hiperboldedir.
Adım 3: her noktanın bir parametresi var. Hiperbolün bir \((x, y)\) noktası verilsin. Sağ kolda (\(x \ge a\)) \(\dfrac{a}{x} \in (0, 1]\) olduğundan \(\cos\theta = \dfrac{a}{x}\) koşulu \(\Big(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\Big)\) aralığında işaretçe zıt iki çözüm (ya da \(x = a\) iken yalnız \(\theta = 0\)) verir. Bunlar için \(\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1 = \dfrac{x^2}{a^2} - 1 = \dfrac{y^2}{b^2}\) olduğundan \(|b\tan\theta| = |y|\)’dir; \(\tan\theta\), \(\theta\) ile aynı işaretli olduğundan işareti \(y\)’ninkine uyan \(\theta\) seçilir ve \(b\tan\theta = y\) olur. Bu aralıkta \(\sec\theta\) çift, \(\tan\theta\) tek ve artan olduğundan her nokta tek bir \(\theta\)’ya karşılık gelir. Sol kolda (\(x \le -a\)) \(\theta\) yerine \(\theta + \pi\) alınır: \(\sec(\theta + \pi) = -\sec\theta\) ve \(\tan(\theta + \pi) = \tan\theta\) olduğundan \(\Big(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\Big)\) aralığı sol kolu aynı biçimde tarar.
\(\blacksquare\)
Örnek 19.9 (Parametrik denklemden nokta bulmak) \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) hiperbolünün \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\) parametresine karşılık gelen noktasını bulunuz ve bu noktadaki teğeti yazınız.
Çözüm
Adım 1: nokta. \(a = 2\), \(b = 3\) ve \(\sec\dfrac{\pi}{3} = 2\), \(\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) olduğundan
\[ x = 2 \cdot 2 = 4, \qquad y = 3\sqrt{3} \]
bulunur. Nokta \(\big(4, 3\sqrt{3}\big)\)’tür; kontrol: \(\dfrac{16}{4} - \dfrac{27}{9} = 4 - 3 = 1\).
Adım 2: teğet. Teorem 19.5 ile \(\dfrac{4x}{4} - \dfrac{3\sqrt{3}\,y}{9} = 1\), yani \(x - \dfrac{y}{\sqrt{3}} = 1\) bulunur. Bu, Örnek 19.5 içinde \(P(1, 0)\)’dan çizilen teğetlerden biridir.
\(\blacksquare\)
19.12 Alıştırmalar
Aşağıdaki sorularda hiperbolün öğelerini standart denklemden okuyacak, teğet koşulunu ve diskriminantı kullanacağız. İlk soru, dış merkezlik ve doğrultman kavramlarının elipsteki karşılıklarını hatırlatır.
Alıştırma 19.1 (Odağı ve dış merkezliği verilen elips: standart denklem) Odaklarından biri \(F_1(8, 0)\) olan ve dış merkezliği \(\dfrac{4}{5}\) olan, merkezi başlangıç noktasında ve asal ekseni \(X\)-ekseni olan elipsin standart denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(a\). Elipste \(e = \dfrac{c}{a}\)’dır (Elips). \(c = 8\) olduğundan
\[ \frac{8}{a} = \frac{4}{5} \;\Longrightarrow\; a = 10 \]
bulunur.
Adım 2: \(b\). Elipste \(a^2 = b^2 + c^2\) olduğundan \(b^2 = 100 - 64 = 36\), yani \(b = 6\)’dır.
Adım 3: denklem. Elipsin standart denklemi
\[ \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1 \]
dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.2 (Odağı ve dış merkezliği verilen elips: doğrultmanlar) Odaklarından biri \(F_1(8, 0)\) olan ve dış merkezliği \(\dfrac{4}{5}\) olan, merkezi başlangıç noktasında ve asal ekseni \(X\)-ekseni olan elipsin doğrultmanlarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: elips. Bir önceki alıştırmada \(a = 10\), \(c = 8\) ve elipsin \(\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{36} = 1\) olduğunu bulduk.
Adım 2: doğrultmanlar. Elipsin doğrultmanları \(x = \pm\dfrac{a}{e} = \pm\dfrac{a^2}{c}\) doğrularıdır (Elips). Buna göre
\[ \Delta_1: x = \frac{100}{8} = \frac{25}{2}, \qquad \Delta_2: x = -\frac{25}{2} \]
bulunur; \(\Delta_1\), \(F_1(8, 0)\) odağına aittir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.3 (Hiperbol 4x² − 45y² = 180: köşeler) \(4x^2 - 45y^2 = 180\) hiperbolünün köşelerini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: standart biçim. İki tarafı \(180\)’e bölelim:
\[ \frac{x^2}{45} - \frac{y^2}{4} = 1 . \]
Pozitif işaretli terim \(x^2\)’li terim olduğundan asal eksen \(X\)-eksenidir; \(a^2 = 45\) ve \(b^2 = 4\), yani \(a = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) ve \(b = 2\)’dir.
Adım 2: köşeler. Köşeler \((\pm a, 0)\) noktalarıdır (Teorem 19.1):
\[ A_1\big(3\sqrt{5}, 0\big), \qquad A_2\big(-3\sqrt{5}, 0\big). \]
Kontrol: \(4 \cdot 45 - 45 \cdot 0 = 180\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.4 (Hiperbol 4x² − 45y² = 180: odaklar) \(4x^2 - 45y^2 = 180\) hiperbolünün odaklarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(a\) ve \(b\). İki tarafı \(180\)’e bölünce \(\dfrac{x^2}{45} - \dfrac{y^2}{4} = 1\) bulunur; asal eksen \(X\)-eksenidir, \(a^2 = 45\) ve \(b^2 = 4\)’tür.
Adım 2: odaklar. Hiperbolde \(c^2 = a^2 + b^2\) olduğundan
\[ c^2 = 45 + 4 = 49 \;\Longrightarrow\; c = 7 \]
ve odaklar
\[ F_1(7, 0), \qquad F_2(-7, 0) \]
noktalarıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.5 (Hiperbol 4x² − 45y² = 180: dış merkezlik) \(4x^2 - 45y^2 = 180\) hiperbolünün dış merkezliğini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(a\) ve \(c\). Standart biçim \(\dfrac{x^2}{45} - \dfrac{y^2}{4} = 1\)’dir; \(a = 3\sqrt{5}\) ve \(c = \sqrt{45 + 4} = 7\)’dir.
Adım 2: dış merkezlik. Önerme 19.6 gereğince
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{7}{3\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{15} \]
bulunur. \(e \approx 1{,}04\)’tür; \(1\)’e çok yakın olduğundan kollar asal eksene doğru dar açılır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.6 (Hiperbol 4x² − 45y² = 180: asimptotlar) \(4x^2 - 45y^2 = 180\) hiperbolünün asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(a\) ve \(b\). Standart biçim \(\dfrac{x^2}{45} - \dfrac{y^2}{4} = 1\)’dir; \(a = 3\sqrt{5}\) ve \(b = 2\)’dir.
Adım 2: asimptotlar. Teorem 19.3 gereğince asimptotlar \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) doğrularıdır. \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{3\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{15}\) olduğundan
\[ y = \frac{2\sqrt{5}}{15}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{2\sqrt{5}}{15}\,x \]
bulunur. Kontrol: sağ taraftaki \(180\) yerine \(0\) yazarsak \(4x^2 = 45y^2\), yani \(y = \pm\dfrac{2}{\sqrt{45}}\,x\) çıkar; bu aynı iki doğrudur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.7 (Hiperbol 49y² − 16x² = 784: köşeler) \(49y^2 - 16x^2 = 784\) hiperbolünün köşelerini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: standart biçim. İki tarafı \(784\)’e bölelim; \(784 = 49 \cdot 16\) olduğundan
\[ \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{49} = 1 \]
bulunur. Pozitif işaretli terim \(y^2\)’li terim olduğundan asal eksen \(Y\)-eksenidir. Önerme 19.3 içindeki gösterimle \(a^2 = 16\) ve \(b^2 = 49\), yani \(a = 4\) ve \(b = 7\)’dir. Burada \(a < b\) olduğuna dikkat edelim; hiperbolde \(a\) her zaman asal eksene ait sayıdır, büyük olan değil.
Adım 2: köşeler. Köşeler \((0, \pm a)\) noktalarıdır:
\[ A_1(0, 4), \qquad A_2(0, -4). \]
Kontrol: \(49 \cdot 16 - 16 \cdot 0 = 784\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.8 (Hiperbol 49y² − 16x² = 784: odaklar) \(49y^2 - 16x^2 = 784\) hiperbolünün odaklarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(a\) ve \(b\). Standart biçim \(\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{49} = 1\)’dir; asal eksen \(Y\)-eksenidir, \(a^2 = 16\) ve \(b^2 = 49\)’dur.
Adım 2: odaklar. \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 49 = 65\) olduğundan \(c = \sqrt{65}\)’tir. Odaklar asal eksen, yani \(Y\)-ekseni üzerindedir (Önerme 19.3):
\[ F_1\big(0, \sqrt{65}\big), \qquad F_2\big(0, -\sqrt{65}\big). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.9 (Hiperbol 49y² − 16x² = 784: dış merkezlik) \(49y^2 - 16x^2 = 784\) hiperbolünün dış merkezliğini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(a\) ve \(c\). Standart biçim \(\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{49} = 1\)’dir; \(a = 4\) ve \(c = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\)’tir.
Adım 2: dış merkezlik. Dış merkezlik odaklar arası uzaklığın köşeler arası uzaklığa oranıdır (Önerme 19.6); bu oran asal eksenin hangi eksen olduğuna bağlı değildir. Buna göre
\[ e = \frac{|F_1F_2|}{|A_1A_2|} = \frac{2\sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{\sqrt{65}}{4} \]
bulunur; \(e \approx 2{,}02\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.10 (Hiperbol 49y² − 16x² = 784: asimptotlar) \(49y^2 - 16x^2 = 784\) hiperbolünün asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \(a\) ve \(b\). Standart biçim \(\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{49} = 1\)’dir; \(a = 4\) ve \(b = 7\)’dir.
Adım 2: asimptotlar. Asal eksen \(Y\)-ekseni olduğundan Önerme 19.3 gereğince asimptotlar \(y = \pm\dfrac{a}{b}x\), yani
\[ y = \frac{4}{7}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{4}{7}\,x \]
doğrularıdır. Bunlar \(x = \pm\dfrac{7}{4}\,y\) biçiminde de yazılabilir. Kontrol: sağ taraftaki \(784\) yerine \(0\) yazarsak \(49y^2 = 16x^2\), yani \(7y = \pm 4x\) çıkar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.11 (x² − y² = 25: köşeler) \(x^2 - y^2 = 25\) hiperbolünün köşelerini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: standart biçim. İki tarafı \(25\)’e bölersek
\[ \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{25} = 1 \]
bulunur. Asal eksen \(X\)-eksenidir ve \(a = b = 5\)’tir; yani hiperbol bir ikizkenar hiperboldür (Tanım 19.10).
Adım 2: köşeler. Köşeler \((\pm a, 0)\) noktalarıdır:
\[ A_1(5, 0), \qquad A_2(-5, 0). \]
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.12 (x² − y² = 25: odaklar) \(x^2 - y^2 = 25\) hiperbolünün odaklarını bulunuz.
Çözüm
Standart biçim \(\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{25} = 1\)’dir; \(a^2 = b^2 = 25\)’tir. \(c^2 = a^2 + b^2 = 50\) olduğundan \(c = 5\sqrt{2}\) ve odaklar
\[ F_1\big(5\sqrt{2}, 0\big), \qquad F_2\big(-5\sqrt{2}, 0\big) \]
noktalarıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.13 (x² − y² = 25: dış merkezlik) \(x^2 - y^2 = 25\) hiperbolünün dış merkezliğini bulunuz.
Çözüm
Standart biçimden \(a = 5\), \(c = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}\) bulunur. Buna göre
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{5\sqrt{2}}{5} = \sqrt{2} \]
dir. Bu, her ikizkenar hiperbol için geçerli olan \(e = \sqrt{2}\) değeridir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.14 (x² − y² = 25: asimptotlar) \(x^2 - y^2 = 25\) hiperbolünün asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
\(a = b = 5\) olduğundan \(\dfrac{b}{a} = 1\)’dir ve Sonuç 19.4 gereğince asimptotlar
\[ y = x \qquad \text{ve} \qquad y = -x \]
doğrularıdır; bu iki doğru birbirine diktir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.15 (Asal eksen uzunluğu ve odakları verilen hiperbol) Asal eksen uzunluğu \(8\) birim, odakları \(F_1(5, 0)\) ve \(F_2(-5, 0)\) olan hiperbolün denklemini yazınız.
Çözüm
Adım 1: merkez ve asal eksen. Merkez \([F_1F_2]\)’nin orta noktası \(O(0, 0)\)’dır ve asal eksen \(X\)-eksenidir. Bu yüzden denklem \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) biçimindedir.
Adım 2: \(a\), \(c\), \(b\). Asal eksen uzunluğu \(2a = 8\) olduğundan \(a = 4\)’tür; köşeler \(A_1(4, 0)\) ve \(A_2(-4, 0)\)’dır. Odaklardan \(c = 5\)’tir. Buna göre
\[ b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9 . \]
Adım 3: denklem.
\[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 . \]
Kontrol: odaktan geçen \(x = 5\) doğrusu üzerindeki \(\Big(5, \dfrac{9}{4}\Big)\) noktası için \(\dfrac{25}{16} - \dfrac{81/16}{9} = \dfrac{25}{16} - \dfrac{9}{16} = 1\)’dir; bu noktanın odaklara uzaklıkları \(\dfrac{9}{4}\) ve \(\sqrt{100 + \dfrac{81}{16}} = \dfrac{41}{4}\) olup farkları \(8 = 2a\)’dır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.16 (Yedek eksen uzunluğu ve odakları verilen hiperbol) Yedek eksen uzunluğu \(24\) birim, odakları \(F_1(0, 13)\) ve \(F_2(0, -13)\) olan hiperbolün denklemini yazınız.
Çözüm
Adım 1: merkez ve asal eksen. Merkez \([F_1F_2]\)’nin orta noktası \(O(0, 0)\)’dır; odaklar \(Y\)-ekseni üzerinde olduğundan asal eksen \(Y\)-eksenidir. Önerme 19.3 gereğince denklem \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\) biçimindedir.
Adım 2: \(b\), \(c\), \(a\). Yedek eksen uzunluğu \(2b = 24\) olduğundan \(b = 12\)’dir. Odaklardan \(c = 13\)’tür. Buna göre
\[ a^2 = c^2 - b^2 = 169 - 144 = 25 \;\Longrightarrow\; a = 5 . \]
Adım 3: denklem.
\[ \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1 . \]
Köşeler \((0, \pm 5)\) noktalarıdır. Kontrol: odaktan geçen \(y = 13\) doğrusu üzerindeki \(\Big(\dfrac{144}{5}, 13\Big)\) noktası için
\[ \frac{169}{25} - \frac{144^2/25}{144} = \frac{169}{25} - \frac{144}{25} = 1 \]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.17 (Merkezi, bir odağı ve bir köşesi verilen hiperbol) Merkezi \(O(0, 0)\), bir odağı \(F_1(8, 0)\) ve bir köşesi \(A_1(6, 0)\) olan hiperbolün denklemini yazınız.
Çözüm
Adım 1: asal eksen. Merkez, odak ve köşe \(X\)-ekseni üzerindedir; asal eksen \(X\)-eksenidir ve denklem \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) biçimindedir.
Adım 2: \(a\), \(c\), \(b\). Köşe merkezden \(a\), odak merkezden \(c\) uzaklıkta olduğundan \(a = 6\) ve \(c = 8\)’dir. Buna göre
\[ b^2 = c^2 - a^2 = 64 - 36 = 28 . \]
Adım 3: denklem.
\[ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{28} = 1 . \]
Öteki odak \(F_2(-8, 0)\), öteki köşe \(A_2(-6, 0)\)’dır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.18 (Odak, köşe, asimptot ve çizim) \(3x^2 - 4y^2 = 12\) hiperbolünün odaklarını, köşelerini ve asimptotlarını bulup şeklini çiziniz.
Çözüm
Adım 1: standart biçim. İki tarafı \(12\)’ye bölelim:
\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1 . \]
Buna göre \(a^2 = 4\), \(b^2 = 3\), yani \(a = 2\) ve \(b = \sqrt{3}\)’tür; asal eksen \(X\)-eksenidir.
Adım 2: köşeler ve odaklar. Köşeler \(A_1(2, 0)\) ve \(A_2(-2, 0)\)’dır. \(c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 3 = 7\) olduğundan \(c = \sqrt{7}\) ve odaklar \(F_1\big(\sqrt{7}, 0\big)\), \(F_2\big(-\sqrt{7}, 0\big)\)’dır.
Adım 3: asimptotlar. \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\), yani
\[ y = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\,x \]
doğrularıdır.
Adım 4: çizim. Köşeleri \((\pm 2, \pm\sqrt{3})\) olan temel dikdörtgeni çizip köşegenlerini uzatırız; kolları \((\pm 2, 0)\) köşelerinden başlatıp asimptotlara yaklaştırırız. Örneğin \(x = 4\) iken \(y^2 = 3\Big(\dfrac{16}{4} - 1\Big) = 9\), yani \(y = \pm 3\)’tür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.19 (Odakları ve köşeleri verilen hiperbol) Odakları \(F_1(4, 1)\) ve \(F_2(-8, 1)\), köşeleri \(A_1(2, 1)\) ve \(A_2(-6, 1)\) olan hiperbolün denklemini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: asal eksen ve merkez. Odakların ordinatları aynı olduğundan asal eksen \(y = 1\) doğrusudur; yani asal eksen \(X\)-eksenine paraleldir. Merkez
\[ M = \frac{1}{2}(F_1 + F_2) = \frac{1}{2}(4 - 8,\ 1 + 1) = (-2, 1) \]
dir.
Adım 2: \(a\), \(b\), \(c\).
\[ \begin{aligned} 2c &= |F_1F_2| = |4 - (-8)| = 12 \;\Longrightarrow\; c = 6, \\[1mm] 2a &= |A_1A_2| = |2 - (-6)| = 8 \;\Longrightarrow\; a = 4, \\[1mm] b^2 &= c^2 - a^2 = 36 - 16 = 20 . \end{aligned} \]
Adım 3: denklem. Önerme 19.4 gereğince hiperbolün denklemi
\[ \frac{(x + 2)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{20} = 1 \]
dir. Paydaları kaldırıp açarsak \(5x^2 - 4y^2 + 20x + 8y - 64 = 0\) biçimi de elde edilir.
Adım 4: kontrol. \(A_1(2, 1)\) için \(\dfrac{16}{16} - 0 = 1\); \(A_2(-6, 1)\) için \(\dfrac{16}{16} - 0 = 1\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.20 (Birinci hiperbol: odaklar) \(\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\) hiperbolünün odaklarını bulunuz.
Çözüm
\(a^2 = 12\) ve \(b^2 = 4\) olduğundan \(c^2 = a^2 + b^2 = 12 + 4 = 16\), yani \(c = 4\)’tür. Asal eksen \(X\)-ekseni olduğundan odaklar
\[ F_1(4, 0), \qquad F_2(-4, 0) \]
noktalarıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.21 (Birinci hiperbol: dış merkezlik) \(\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\) hiperbolünün dış merkezliğini bulunuz.
Çözüm
\(a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) ve \(c = \sqrt{12 + 4} = 4\)’tür. Önerme 19.6 gereğince
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]
bulunur. \(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}15 > 1\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.22 (Birinci hiperbol: parametre) \(\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\) hiperbolünün parametresini bulunuz.
Çözüm
Parametre, \(F_1(4, 0)\) odağından asal eksene dik çizilen kirişin uzunluğudur ve Teorem 19.4 gereğince \(\dfrac{2b^2}{a}\)’ya eşittir. \(a = 2\sqrt{3}\), \(b^2 = 4\) olduğundan
\[ |M_1M_2| = \frac{2 \cdot 4}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]
bulunur. Doğrudan kontrol: \(x = 4\) için \(y^2 = 4\Big(\dfrac{16}{12} - 1\Big) = \dfrac{4}{3}\), yani \(y = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) ve kirişin uzunluğu \(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)’tür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.23 (Birinci hiperbol: asimptotlar) \(\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\) hiperbolünün asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
\(a = 2\sqrt{3}\), \(b = 2\) olduğundan \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)’tür. Teorem 19.3 gereğince asimptotlar
\[ y = \frac{1}{\sqrt{3}}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{1}{\sqrt{3}}\,x \]
doğrularıdır. Bunlar \(X\)-ekseniyle \(\dfrac{\pi}{6}\) ve \(-\dfrac{\pi}{6}\) açısı yapar.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.24 (Birinci hiperbol: doğrultmanlar) \(\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\) hiperbolünün doğrultmanlarını bulunuz.
Çözüm
Tanım 19.12 gereğince doğrultmanlar \(x = \pm\dfrac{a}{e} = \pm\dfrac{a^2}{c}\) doğrularıdır. \(a^2 = 12\) ve \(c = 4\) olduğundan
\[ \Delta_1: x = \frac{12}{4} = 3, \qquad \Delta_2: x = -3 \]
bulunur. Gerçekten \(3 < a = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) olduğundan doğrultmanlar köşelerin arasındadır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.25 (İkinci hiperbol: odaklar) \(\dfrac{x^2}{10} - \dfrac{y^2}{6} = 1\) hiperbolünün odaklarını bulunuz.
Çözüm
\(a^2 = 10\) ve \(b^2 = 6\) olduğundan \(c^2 = 10 + 6 = 16\), yani \(c = 4\)’tür. Odaklar
\[ F_1(4, 0), \qquad F_2(-4, 0) \]
noktalarıdır. Bu hiperbolün odakları bir önceki gruptaki \(\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\) hiperbolünün odaklarıyla aynıdır; iki hiperbol aynı odaklı, farklı \(a\)’lı iki hiperboldür.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.26 (İkinci hiperbol: dış merkezlik) \(\dfrac{x^2}{10} - \dfrac{y^2}{6} = 1\) hiperbolünün dış merkezliğini bulunuz.
Çözüm
\(a = \sqrt{10}\) ve \(c = 4\) olduğundan
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5} \]
bulunur; \(e \approx 1{,}26\)’dır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.27 (İkinci hiperbol: parametre) \(\dfrac{x^2}{10} - \dfrac{y^2}{6} = 1\) hiperbolünün parametresini bulunuz.
Çözüm
Teorem 19.4 gereğince parametre \(\dfrac{2b^2}{a}\)’dır. \(a = \sqrt{10}\), \(b^2 = 6\) olduğundan
\[ |M_1M_2| = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{12\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{10}}{5} \]
bulunur. Doğrudan kontrol: \(x = 4\) için \(y^2 = 6\Big(\dfrac{16}{10} - 1\Big) = \dfrac{18}{5}\), yani \(|y| = \dfrac{3\sqrt{10}}{5}\) ve kirişin uzunluğu \(\dfrac{6\sqrt{10}}{5}\)’tir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.28 (İkinci hiperbol: asimptotlar) \(\dfrac{x^2}{10} - \dfrac{y^2}{6} = 1\) hiperbolünün asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
\(\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{3}{5}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}\) olduğundan asimptotlar
\[ y = \frac{\sqrt{15}}{5}\,x \qquad \text{ve} \qquad y = -\frac{\sqrt{15}}{5}\,x \]
doğrularıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.29 (İkinci hiperbol: doğrultmanlar) \(\dfrac{x^2}{10} - \dfrac{y^2}{6} = 1\) hiperbolünün doğrultmanlarını bulunuz.
Çözüm
Doğrultmanlar \(x = \pm\dfrac{a^2}{c}\) doğrularıdır. \(a^2 = 10\) ve \(c = 4\) olduğundan
\[ \Delta_1: x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \qquad \Delta_2: x = -\frac{5}{2} \]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.30 (x² − y² = 36: odaklar) \(x^2 - y^2 = 36\) hiperbolünün odaklarını bulunuz.
Çözüm
İki tarafı \(36\)’ya bölersek \(\dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{36} = 1\) olur; \(a^2 = b^2 = 36\), yani \(a = b = 6\)’dır. \(c^2 = a^2 + b^2 = 72\) olduğundan \(c = 6\sqrt{2}\) ve odaklar
\[ F_1\big(6\sqrt{2}, 0\big), \qquad F_2\big(-6\sqrt{2}, 0\big) \]
noktalarıdır.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.31 (x² − y² = 36: dış merkezlik) \(x^2 - y^2 = 36\) hiperbolünün dış merkezliğini bulunuz.
Çözüm
\(a = 6\) ve \(c = 6\sqrt{2}\) olduğundan
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2} \]
bulunur.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.32 (x² − y² = 36: asimptotlar) \(x^2 - y^2 = 36\) hiperbolünün asimptotlarını bulunuz.
Çözüm
\(a = b = 6\) olduğundan \(\dfrac{b}{a} = 1\)’dir ve asimptotlar
\[ y = x \qquad \text{ve} \qquad y = -x \]
doğrularıdır. Aynı sonuca denklemde sağ taraftaki \(36\) yerine \(0\) yazarak da ulaşırız: \(x^2 - y^2 = 0\) denklemi \((x - y)(x + y) = 0\) demektir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.33 (x² − y² = 36: doğrultmanlar) \(x^2 - y^2 = 36\) hiperbolünün doğrultmanlarını bulunuz.
Çözüm
Doğrultmanlar \(x = \pm\dfrac{a}{e} = \pm\dfrac{a^2}{c}\) doğrularıdır. \(a^2 = 36\) ve \(c = 6\sqrt{2}\) olduğundan
\[ \frac{a^2}{c} = \frac{36}{6\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \]
ve doğrultmanlar \(\Delta_1: x = 3\sqrt{2}\), \(\Delta_2: x = -3\sqrt{2}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.34 (x² − y² = 36: ikizkenar mı) \(x^2 - y^2 = 36\) hiperbolünün ikizkenar hiperbol olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
Standart biçim \(\dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{36} = 1\)’dir; \(a = 6\) ve \(b = 6\)’dır. Asal eksen uzunluğu \(2a = 12\), yedek eksen uzunluğu \(2b = 12\) olup eşittir. Tanım 19.10 gereğince hiperbol ikizkenardır. Bununla uyumlu olarak asimptotları \(y = \pm x\) birbirine diktir (Sonuç 19.4) ve dış merkezliği \(\sqrt{2}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.35 (Bir doğru hiperbole teğet mi) \(3x - 4y - 5 = 0\) doğrusunun \(x^2 - 4y^2 = 5\) hiperbolüne teğet olup olmadığını araştırınız.
Çözüm
Adım 1: standart biçimler. Doğru \(y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{5}{4}\) biçiminde yazılır; \(m = \dfrac{3}{4}\), \(n = -\dfrac{5}{4}\)’tür. Hiperbolün iki tarafını \(5\)’e bölersek
\[ \frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5/4} = 1 \]
bulunur; \(a^2 = 5\), \(b^2 = \dfrac{5}{4}\)’tür.
Adım 2: teğet koşulu. Sonuç 19.5 gereğince teğetlik için \(a^2m^2 - b^2 = n^2 \ne 0\) olmalıdır.
\[ a^2m^2 - b^2 = 5 \cdot \frac{9}{16} - \frac{5}{4} = \frac{45}{16} - \frac{20}{16} = \frac{25}{16}, \qquad n^2 = \Big(-\frac{5}{4}\Big)^2 = \frac{25}{16}. \]
İki değer eşit ve sıfırdan farklı olduğundan doğru hiperbole teğettir.
Adım 3: değme noktası. Değme noktası
\[ \Big(-\frac{a^2m}{n},\ -\frac{b^2}{n}\Big) = \Big(-\frac{5 \cdot 3/4}{-5/4},\ -\frac{5/4}{-5/4}\Big) = (3, 1) \]
dir. Kontrol: \(3 \cdot 3 - 4 \cdot 1 - 5 = 0\) ve \(9 - 4 \cdot 1 = 5\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.36 (Parametreye göre doğru ile hiperbolün durumu) \(5x - 2y + \lambda = 0\) doğrusu ile \(4x^2 - y^2 = 36\) hiperbolünün birbirine göre durumunu \(\lambda\) parametresinin değerlerine göre inceleyiniz.
Çözüm
Adım 1: kesişme denklemi. Doğrudan \(y = \dfrac{5x + \lambda}{2}\) bulunur. Bunu hiperbolde yerine yazalım:
\[ 4x^2 - \frac{(5x + \lambda)^2}{4} = 36 . \]
İki tarafı \(4\) ile çarpıp açalım:
\[ 16x^2 - 25x^2 - 10\lambda x - \lambda^2 = 144, \]
yani
\[ 9x^2 + 10\lambda x + \lambda^2 + 144 = 0 . \]
Hiperbolün standart biçimi \(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{36} = 1\) olduğundan \(a = 3\), \(b = 6\) ve asimptotların eğimleri \(\pm\dfrac{b}{a} = \pm 2\)’dir. Doğrunun eğimi \(\dfrac{5}{2}\) olup hiçbir asimptota paralel olmadığından denklem gerçekten ikinci derecedendir; nitekim \(x^2\)’nin katsayısı \(9 \ne 0\)’dır.
Adım 2: diskriminant.
\[ \begin{aligned} \Delta &= (10\lambda)^2 - 4 \cdot 9\,(\lambda^2 + 144) \\[1mm] &= 100\lambda^2 - 36\lambda^2 - 5184 \\[1mm] &= 64\lambda^2 - 5184 = 64\,(\lambda^2 - 81). \end{aligned} \]
Adım 3: işaret incelemesi. \(\lambda^2 - 81 = (\lambda - 9)(\lambda + 9)\) olduğundan
| \(\lambda\) | \((-\infty, -9)\) | \(-9\) | \((-9, 9)\) | \(9\) | \((9, \infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\Delta\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
tablosu çıkar. Buna göre:
- \(-9 < \lambda < 9\) ise doğru hiperbolü kesmez;
- \(\lambda < -9\) ya da \(\lambda > 9\) ise doğru hiperbolü iki noktada keser;
- \(\lambda = -9\) ya da \(\lambda = 9\) ise doğru hiperbole teğettir.
Adım 4: değme noktaları. Çift kök \(x = -\dfrac{10\lambda}{2 \cdot 9} = -\dfrac{5\lambda}{9}\)’dur.
- \(\lambda = -9\) için \(x = 5\) ve \(y = \dfrac{5 \cdot 5 - 9}{2} = 8\); değme noktası \((5, 8)\)’dir.
- \(\lambda = 9\) için \(x = -5\) ve \(y = \dfrac{5 \cdot (-5) + 9}{2} = -8\); değme noktası \((-5, -8)\)’dir.
Kontrol: \(4 \cdot 25 - 64 = 36\).
\(\blacksquare\)
Alıştırma 19.37 (Bir noktadan çizilen teğetler) \(\mathcal{H}: x^2 - y^2 = 16\) hiperbolüne \(P(-1, -7)\) noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: iki koşul. Aranan teğet \(y = mx + n\) olsun. (Düşey bir teğet \(x = \pm 4\) olurdu; bunlar \(P\)’den geçmez.) Teğet \(P\)’den geçtiğinden
\[ -7 = m \cdot (-1) + n \;\Longrightarrow\; n = m - 7 \]
olur. Ayrıca kesişme denkleminin çift kökü olmalıdır.
Adım 2: kesişme denklemi ve diskriminant. \(x^2 - (mx + n)^2 = 16\), yani
\[ (1 - m^2)\,x^2 - 2mn\,x - (n^2 + 16) = 0 . \]
Diskriminantın dörtte biri
\[ \begin{aligned} \frac{\Delta}{4} &= m^2n^2 + (1 - m^2)(n^2 + 16) \\[1mm] &= m^2n^2 + n^2 + 16 - m^2n^2 - 16m^2 \\[1mm] &= n^2 + 16 - 16m^2 \end{aligned} \]
dir. Bu, Sonuç 19.5 içindeki \(n^2 = a^2m^2 - b^2\) koşulunun \(a^2 = b^2 = 16\) için yazılmış hâlidir.
Adım 3: eğimler. \(n = m - 7\) yazıp sıfıra eşitleyelim:
\[ (m - 7)^2 - 16m^2 + 16 = 0 \;\Longrightarrow\; 15m^2 + 14m - 65 = 0 . \]
Diskriminant
\[ 14^2 + 4 \cdot 15 \cdot 65 = 196 + 3900 = 4096 = 64^2 \]
olduğundan
\[ m = \frac{-14 \pm 64}{30}, \qquad m_1 = -\frac{13}{5}, \quad m_2 = \frac{5}{3} \]
bulunur. İkisi de \(\pm 1\)’den farklıdır, yani teğetler asimptotlara paralel değildir.
Adım 4: teğetler. \(m_1 = -\dfrac{13}{5}\) için \(n_1 = -\dfrac{13}{5} - 7 = -\dfrac{48}{5}\); \(m_2 = \dfrac{5}{3}\) için \(n_2 = \dfrac{5}{3} - 7 = -\dfrac{16}{3}\)’tür. Teğetler
\[ t_1: y = -\frac{13}{5}x - \frac{48}{5}, \qquad t_2: y = \frac{5}{3}x - \frac{16}{3} \]
doğrularıdır.
Adım 5: değme noktaları. Sonuç 19.5 içindeki \(\Big(-\dfrac{a^2m}{n}, -\dfrac{b^2}{n}\Big)\) formülü \(t_1\) için \(\Big(-\dfrac{13}{3}, \dfrac{5}{3}\Big)\), \(t_2\) için \((5, 3)\) verir. Kontrol: \(\dfrac{169}{9} - \dfrac{25}{9} = 16\) ve \(25 - 9 = 16\).
\(\blacksquare\)
Bu bölümde hiperbolü iki odağa uzaklık farkıyla tanımladık, standart denklemini kurduk ve asimptotlarından dış merkezliğine kadar bütün öğelerini bu denklemden okuduk. Dış merkezliğin \(e > 1\) olduğunu ve odak–doğrultman özelliğini gördükten sonra sıra, bu özelliğin \(e = 1\) durumuna, yani Parabol bölümüne geliyor.